I . dt
sin ( 5 /l' i — 2 ni + 5 e' — 2 e ) cos(5n'i — int -\- 5e' — 2 s)
et calculer son mouvement et son rayon vecteur elliptique avec cette longitude moyenne ainsi corrigée.
Le diviseur {5n' — 2ny rend les inégalités précédentes très sensibles, quoique leurs valeurs dépendent des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites. Ces valeurs ne sont pas rigoureuses, parce que nous avons négligé les termes qui ont Sn' — in pour diviseur; mais, à cause de la petitesse de ^n' — in, on peut, sans erreur sensible, négliger ^ , — vis-à-vis
<^6 TT-, — — Tï- Au reste, nous donnerons dans la suite un moven d'ap-
précier le degré de précision des valeurs précédentes, et nous ferons voir qu'elles sont très approchées.
On peut observer que ces deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne ont la même période et qu'elles ont un signe contraire; d'où il suit que, si la première fait paraître le mouvement de Saturne de plus en plus lent, la seconde fera paraître celui de Jupiter de plus en
plus rapide. Ces deux inégalités sont d'ailleurs dans le rapport constant de in}arn! à ^n'^a'm, rapport qui, comme on le verra ci-après, est environ celui de 3 à 7. Ainsi le ralentissement apparent de Saturne est plus grand que l'accélération apparente de Jupiter dans la raison de 7 à 3.
Déterminons présentement les valeurs de k, k et de leurs différences; pour cela, nous reprendrons la valeur de R de l'article VII
R = -^ — ji co?,{v'— v) —
[r'— irr' \Ji — s'* ç,o%{v'— v) -t- r'»]*
Si l'on nomme II la distance du nœud de Saturne à la ligne fixe d'où l'on compte les v; y la tangente de l'inclinaison de l'orbite de Saturne sur celle de Jupiter, et v\ la longitude de Saturne comptée sur son orbite, on aura, aux quantités près de l'ordre y%
5'= y sin(Pi — H)
et, aux quantités près de l'ordre y*,
v'=: v\ — {y^sinall — |y' sin2(p, — H);
d'où l'on tire, en négligeant les quantités de l'ordre y*.
R— ^ ,, — cosCt''— ^') j
[r-—irr'co^{v\ — v) + r'*'\^
, , y*[cos(t'', + f — îH) + sin2nsin(p', — v) — cos(f', — v)]
[r^—'2.rr'co?>{v\ — v) + r'*y
Il est facile de s'assurer que les parties
v__ cos(/— p)
et
— |rr'y'[sin2nsin(p', — v) — cos(f', — v)]
de cette expression de R ne produisent aucun terme de la forme
sin cos
{5n' t — 2/î^ + 5e' — as)
lorsque l'on n'a égard qu'aux cubes et aux produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites; en sorte que la seule partie de R que nous devons considérer est
I I rr'y' cos ((^'i H- p — 211)
[r*— 2 rr' cos (t^'i — f) H- r'«p [r^— 2 rr' cos {i>\ — v) + r'^Y
Cette partie ne change point en y changeant r et ^^ dans r' et ç\f et réciproquement; or cette permutation donne la partie de R qui, dans la théorie des perturbations de Saturne par l'action de Jupiter, produit les termes dépendants de l'angle 5n't — int + 5e'— it\ ces deux parties de R sont donc exactement les mêmes dans les deux théories de Jupiter et de Saturne, comme nous l'avons annoncé dans l'article précédent.
Maintenant on a, par la théorie du mouvement elliptique,
r = a[n-|e2+ (e — f e^) cos(«i H- e — gt)
— |e^cos2(niH-e — ct) + f e^cos3(ni + s
(^mz/ii + e — (2e — \e^) %v(\{nt + e — cr)
+ |e^ sin2(rt^H- £ — ro) — Il e' sin 3 (ni H- s — gj) H-. , ..
On aura les valeurs de f et de v\ en marquant d'un trait, dans celles de r et de v, les lettres «, tî, e, £ et vs. Cela posé, l'expression de R sera de cette forme
R MC'^e'* cos (5/1 + M'i>e'2 ecos(5/i 4-M(*^e'e2 cos (5/1 |.]yi(3)g3 cos(5n 4 M<*>e'y2cos(5/i
i — ifit -{- 5 s' — 2 6 — 3gt')
t — lnt-\-^z' — 26 — ITxS' — gt) t — lnt-\'^z' — 26 — TS' — 2CJ) t — 2/if + 5 s' — 2 6 — 3gt)
t — int -h 56' — 26 — 2X1 — Gj') M'5'e y^ co?>{h n' t — int -\- 5t' —■ it — 2!! — gt).
et l'on trouvera
\ «'a <?a' ^ da<?a' <?a'* dada'*)
M'"= iVl - 352 AW-i 12a -^ + 44a' 11--^ 8a«^^ + i4aa':^-^, 4- a=a'-^LiL ), \ oa da' da^ ^ dada' da^da'J
De là on tire, par l'article XV,
/ c?6',»' rf»6;" ^6',»'
a'MW= J3 ( 3896(2) 4 201 a— 1- + 27a
a'M(«) = -:jL (4o2 6'/'4-i93a-j^+26a2
c?è(,3) i/îè',3) d^b[^)
da} dot}
a'M")= tV l Sgô^»'*' + i84a-^ + 26
c?6',*' rfîfe',*' rf'^U)
doL dot} dot}
dbf d^b[^^ d^b^l^
16 V ^1 ^" rfa
On aura ensuite
k= M«»e'*sin3e'4-M'*)e'*esin(2©'+5T)+M(»'e'e»sin(cT' -f-2GT) + M(')e' sinScT -HM(*)e'y«sin(2n + cy') + M<''>ey' sin(2nH- cr),
A:' = — M'"')e'» cos3gj'— M(*'e'«e cos(2gj'+ gt ) — M(«'e'e* cos(nj' 4- acr) — M'3)e' cos3nj — M'*>e'y»cos(2n + 5j') — M(*)ey*cos(2n+ rs). OEuvres de L. — XI. 20
En différentiant ces valeurs de k et de k par rapport à e, e' , vs, vs' et H, et en substituant, au lieu des différences de ces dernières quantités,
les valeurs qui résultent des articles XVI et suivants, on aura les
A àk . , dk' expressions de -^ et de -s--
Il existe encore dans la théorie des perturbations de Jupiter et de Saturne des inégalités sensibles, dépendantes du rapport approché de commensurabilité qui a lieu entre les mouvements de ces deux planètes. Supposons, en effet, que, dans l'équation différentielle (lo) de l'article VII, l'approximation étendue jusqu'aux carrés et aux produits deux à deux des excentricités et des inclinaisons des orbites introduise un terme de la forme A ("dut — 5/z'^4-3£ — 5e'), il est visible
