COS
qu'il en résultera dans la valeur de r^r le terme
^^"(3nf-5/i'^-f-3e-5£');
/i^— (3/i — 5/i')2 COS
or on a
n"- — {"i n — ^n'y— {^ n' — in) {^n — ^ n').
Ainsi l'intégration donne au terme dont il s'agit le très petit diviseur 5/i' — 2/î, et, comme ce terme n'est que de l'ordre des carrés des excentricités, on voit qu'il peut en résulter des inégalités sensibles dans les valeurs de — et de ^v. Ces inégalités sont liées à celle qui dépend de l'angle ^n't — int + 5e'— 2£ par un rapport assez remarquable qui les donne fort simplement au moyen des valeurs de k et de k! de l'article précédent.
Pour cela, soit p la partie de rh qui, dépendante de l'angle 5/i'/ — 2wf-)-5£'— 2£, a pour diviseur ^n! — in\ représentons ensuite par
Psin(3/t< — 5/i'<-h3e — 5£') + Qcos(3n« — 5«'^ + 3e — 5 e') la partie de — qui dépend de l'angle Znt — 5/i'/ -i- 3e — 5e', P et Q
ayant, comme on vient de le voir, Sn' — in pour diviseur. Si, dans l'équation (lo) de l'article VII, on n'a égard qu'aux termes dépendants de l'angle Sn't — int -{- 5e'— 2e, et qui ont en même temps Sn' — in pour diviseur, on aura
o— -^ 4-eP sin(5/i'« — 2nf + 5£'— 2£ — gt)
— e Q cos {^n' t — int -\-bt' — 2e — ru) -\- 2a I dR,
pourvu que, dans l'intégrale / dR, on ne conserve que les termes qui dépendent de l'angle Sn't — int -+- 5t' — iz. Cette équation ne suffit pas pour déterminer les quantités p, P et Q ; mais on peut en avoir une seconde entre les mêmes quantités, de cette manière.
Si l'on multiplie la première des équations (A) de l'article I par j, la seconde par — Xy et qu'ensuite on les ajoute, l'intégrale de leur somme sera
xdy — y dx , C 1 ( x' y — y' x dl dl\
or on a
X dy — y dx ^ d^>
di "~ ^
et si, comme nous l'avons fait précédemment, on prend pour le plan fixe des oc et des y celui de l'orbite primitive de m, on aura
x'y — y'x âl dX rJi — s'- . , ,
rr' y/ 1 — 5'^ sin ( / — p ) dK
[/•2 2 rr' s/ 1 — 5" ces (f ' — t') + r" ]*■
la différence partielle -j- étant prise en ne faisant varier que v dans
l'expression de R de l'article VII et en regardant r, r\ v' et s' comme constants. On aura donc
, c — m' I dt -r-
dv J Qv
dt~ r^ '
d'où l'on tire
dSv 2 car J dv ^
~dt ^ 7^ 7^ '
or on a
et, si l'on ne considère que les termes dépendants de l'angle Sn't — int -+- Si' — 11, qui ont pour diviseur ^ii!—in, on a, par l'article XXI,
on aura donc, à très peu près, en ne considérant que les termes qui dépendent du même angle et qui ont le même diviseur,
3rt / <fR = ^ — 3eP sin (hn! t — 2nt + 6s' — 2e — cr)
-h3eQcos{5n' t — 2nt + 5t' — 2e — rs) — a 1 n
Cette équation, comparée à celle que nous avons trouvée ci-dessus entre les mêmes quantités p, P et Q, donne
eP sin (5/i'f — 2nt -}- 5b' — 22 — m) — eQ cos {on' t — 2nt -h 5e' — 2£ — GT) = a / ( dR — n dt -r- j •
<?R Pour avoir -r-? nous observerons que R est fonction de t^' — v, r,
r' et /, et, comme dans la supposition de l'orbite circulaire de Jupiter r est constant et ^ = wi + £, on aura, dans cette supposition,
dv ds
Cette équation n'a plus lieu lorsque l'orbite de Jupiter est elliptique, parce que l'ellipticité introduit l'angle s dans r et dans ç^; mais on voit par les expressions elliptiques de r et de v, données dans l'article précédent, que £ est toujours accompagné de — cr dans ce qui a rapport à l'ellipticité, d'où il suit que, pourvu que l'on suppose £ — cj con-
stant, on aura encore, dans le cas où l'orbite de Jupiter est elliptique,
àR m
dv ~ dt
En substituant donc, au lieu de R, la partie de sa valeur qui dépend de l'angle ^n't — int + 5e' — 2 s, et dont nous avons donné l'expression dans l'article précédent, on aura
-j- = 2M(*"e'3 sin(5n'^ — 2/1^ + 56'— 2e — Sct')
+ 3M(*)e"esin(5n'^— int + ^t'— 2e — 2gi'— ts) 4-4M(2)e'e*sin(5/i'i — 2ni + 5e'— 2e— cr'- 2m) + 5M(*^e' sin'(5n'«— int-^^t'— 2e — 3ct) 4- 2M<*>e'y*sin(5/î'^— 2n^4-5e'— 2e — 2!! — gt') 4-3M(5)ey»sin(5n'<— 2/if + 5e'— 2e — 211 — cr )
et, par conséquent,
a I ldR — ndt-^) = --, -5-
J \ av ) bn' — in de
nea V dk . ,^ ,
= ^ — ; ^r- sin (5/i'< — 2««H- 5e — 2e)
5/1 — 2n L de '
— --r-cos(5n'i— 2/i<-h5e'— 2e) .
De là, il est aisé de conclure
dk' . \ -^sinmj,
^ ..^ /dk' dk . \
„ na ( dk
P = ^-7 -r- COSCT
5/// — in\de
On aura la partie de ^v qui dépend de l'angle 'int — 5/2'/ 4- 3e — 5e' au moyen de la formule (9) de l'article VII; en observant que, si l'on n'a égard qu'aux termes du second ordre dépendants de cet angle et qui ont en même temps 5/2'— in pour diviseur, cette formule donne à très peu près
irdèr
'ndt'
d'où l'on tire, en négligeant 5n' — nn vis-à-vis de /?,
ôp= 2Pcos(3«^ — 5n'f + 3£ — 5e') ,
— 2Q %m(Znt — 5/i'i + 3e — 5e').
La même raison qui nous oblige d'avoir égard, dans les expressions
de — et de ^ç' aux termes dépendants de l'angle 3/zz — 5n'z-f- 3 £ — 5 e',
rend également nécessaire la considération des termes dépendants de
l'angle int — [\r\! l h- 2£ — 4^' dans les expressions de -7 et de Sç»,,
<J^ étant la longitude de Saturne comptée sur son orbite. Il est aisé de voir, en effet, qu'en intégrant l'équation différentielle du second ordre, qui donne T''^f y les termes dépendants de l'angle dont il s'agit acquièrent le diviseur
n'^ — (2« — 4^^')^ ou (2n — 3«')(5n' — 2n), et deviennent très sensibles par la petitesse de 5/i' — in. Soit donc
F' sin [^int — (\n' t -\- -xt — 4e') + Q'cos(2«i — 4«'^ -h 26 — 4e')
la partie de —7- qui dépend de l'angle int — [\rit +it — 4^'; on trou-
vera, par une analyse entièrement semblable à celle de l'article précédent, '
n'a' fdk , dk' . A
hn' — 2/i \de'
... n'a' (dk'
, dk . \ '-^sin..'j.
On aura ensuite, en n'ayant égard qu'aux termes dépendants du même angle,
Ôp'i= 2P'C0S(2Wf 4'^'^ + 2£ 4e')
— 2Q'sin(2n« — [\n' t + ie — 4e).
Il nous reste présentement à considérer les parties de S* et de ^s', qui dépendent des carrés et des produits de deux dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites. Pour cela, nous reprendrons la formule (7) de l'article VI, et nous supposerons d'abord, comme dans l'article XI, que le plan des x et des y est celui de l'orbite primitive de m, ce qui donne z = o et s = o. Cette formule devient alors, en négligeant les quantités du troisième ordre,
05= — / ndty -X ~ I ndtx-^r-
r J -^ dz r J dz
Considérons les termes de cette valeur de h, qui, n'étant que du second ordre, ont pour diviseur ^n' — in. Il est visible que ces termes ne peuvent être produits que par l'intégration des fonctions différentielles
ndty-^ et ndtx
dz "^-"^ dz
or, l'intégration de ces formules ne peut introduire 5^' — in en diviseur qu'au moyen des termes de la forme {^n't — int -f- 5e' — 2£)
qu'elles renferment; voyons donc les termes de cette forme, qui peuvent exister parmi les quantités du second ordre, renfermées dans les fonctions différentielles précédentes.
Si l'on substitue, au lieu de R, sa valeur donnée dans l'article IV, on
aura
dR /V yz^
^^ '■" \i,x'-xy^+{y~yy^{z'-zr-Y
En négligeant les quantités du troisième ordre et en substituant au lieu de ^r, j, 5, a/, y, z' leurs valeurs, on trouvera
|^/T^y[cos(t^i H- p — n) — cos(/i — t^ — H)]
'' dz ir
[r»— 2r/-'cos(t^i — p) -f-r"]
nii
Il est facile de s'assurer que les quantités
et
J^ [cos ((^; p H) - cosCc^; + (^ - H)]
|/Vycos(Pi — c^ — II) [,.2 2rr'cos(p;— t^) +r'2]2
ne produisent aucun terme du second ordre dépendant de l'angle ^n't — 2/î/ + 5e'— 2£. La quantité
\rr'y cos(Pi -\- v — H)
[r2— 2/-r'cos((^; — p)4-r'2p
en produit de semblables, et il est aisé de voir, par l'article XXIV, que, pour les obtenir, il suffit : i*" de changer 211 en II dans les termes de l'expression deR, multipliés pary^ ; 2° de multiplier ensuite ces termes par — -• La partie de la quantité précédente qui dépend de l'angle ^7^'^ — int 4- 5s'— 2£ sera conséquemment
— •2M'*^e'ycos(5/i'^ — int-\- 5e'— 2 £ — II — w'),
— ^W^'^e y cos (5 «'i— 2/i« + 5e'— 2s— H — cy),
ce qui donne
r ^R 2y/i r e'Mt*)sin(5/i'i — 2«i + 5e' — 2e — H — nj')1
J ' '^^'d^ ~~ 5/i'— 2/iL+eM(s)sin(5/i'^ — 2ni + 5e' — 2£-n-w )J*
On trouvera, par une analyse semblable,
r dR T.yn r e'M<*Uos(5/i'^— 2/i« + 5e'— 2e— n — cj')l
j dz ~ 5n'— 2/iL4-e M^*^ cos(5/i'< — 2/1^4- 5e' — 2e — II — ny)J
La valeur précédente de h deviendra donc, en n'ayant égard qu'aux termes du second ordre, qui ont pour diviseur Sn' ~ 2.n,
. 2ayn [" e'M<*>sin(3/î^ — 5/î'i H- 3e — 5e' + 11 + cj')"| Supposons maintenant que le plan fixe des x et des y, au lieu d'être
celui de l'orbite primitive de m, soit un plan fixe quelconque, qui lui soit très peu incliné; l'expression que nous venons de trouver pour m' S* sera encore la partie des perturbations de m en latitude, qui a pour diviseur 5n' — in, et qu'il faut ajouter à la latitude de m, calculée dans l'hypothèse où son mouvement a lieu sur le plan de l'orbite primitive.
Une analyse semblable donnera
a '— "^^'y^' \ e'M^*^sin(2n« — 4/i'^H- ae — 46' + Il -i- gt')"| ~~ bu' —in L+e M""sin(2ni — 4«'^ + 2£ — 4e'+n-i-Bj)J'
Il suit de ce qui précède que les inégalités un peu considérables, dépendantes des carrés et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons des orbites, sont liées entre elles par des rapports qui les déterminent au moyen des valeurs de k et de k' . Ces inégalités ont pour arguments les angles Sn't— int -\- 5e'— 2£, 3/z^ — 5/ï'^ -h 3e — 5e', int — [\n!t-^it — 4^'» 5/i'/ — /î^ -h 5e'— e, G/i'i — 2/1/ -h 6e' — 2£. Les inégalités relatives à ces deux derniers arguments résultent de la substitution de la longitude moyenne corrigée par l'article XXIII dans les expressions du mouvement elliptique de Jupiter et de Saturne; elles dépendent des quatrièmes puissances et des produits de quatre dimensions, des excentricités et des inclinaisons des orbites; et, comme elles sont fort sensibles, on voit la nécessité de porter dans la théorie de Jupiter et de Saturne l'approximation jusqu'aux quantités du quatrième ordre.
Toutes ces inégalités peuvent être considérées comme le résultat de variations dans les éléments des orbites elliptiques, dépendantes de l'angle ^n't — int -\-^z' — it. On a déjà vu, dans l'article XXIII, qu'il faut corriger les longitudes moyennes de Jupiter et de Saturne par des inégalités dépendantes de cet angle; il est facile, d'ailleurs, de s'assurer que les inégalités déterminées dans les articles XXV et XXVI représentent des variations dans les équations du centre de
OEuvres de L.— W. 21
Jupiter et de Saturne et dans la position de leurs aphélies, dépendantes du même angle, et que, les inégalités déterminées dans l'article précédent, représentent des variations dans les nœuds et les inclinaisons des orbites qui dépendent encore de cet angle.
Les coefficients de ces inégalités, étant fonctions des éléments des orbites, varient avec ces éléments; il faut donc, à la rigueur, substituer dans les expressions analytiques de ces coefficients leurs valeurs déterminées par les articles XVI et suivants; mais il est beaucoup plus commode, pour les usages astronomiques, de déterminer les valeurs de ces coefficients à différentes époques, et d'avoir ainsi la loi de leurs variations, comme nous l'avons proposé, relativement aux inégalités séculaires des éléments des orbites.
