I - o,oo3i [ I (fx"- i) ^- aY'') -f- a Y(*) -h

qui, par l'article VIII, résulte des observations de la longueur du pendule, satisfait aux phénomènes de la précession et de la nutation. Sans se donner la peine de les calculer de nouveau, on peut aisément parvenir aux résultats que donne cette expression par les considérations suivantes.

Le mouvement de l'axe d'une planète autour de son centre de gravité dépend, comme l'on sait, des moments d'inertie de la planète par rapport aux plans de ses trois axes principaux et des moments des forces perturbatrices. Considérons d'abord les moments d'inertie de la planète par rapport aux plans de ses axes principaux.

a(n- aj) étant le rayon d'une couche de la planète, l'expression d'une molécule élémentaire sera

— |prfjjLc/cjrf[a'(n- aj)'],

la dernière différentielle étant relative à la variable a. On aura les moments d'inertie de cette molécule par rapport aux plans de ses trois axes principaux en multipliant son expression par les carrés de ses distances à ces plans, c'est-à-dire par

a2(i + aj)VS aMi-+-a7)Mi-fxî)cos2 7ïT, a'Cn- a7)'(i - f") singer;

d'où il est facile de conclure que les moments d'inertie de la planète

entière sont, en négligeant les quantités de l'ordre a",

— i yyy p fJi' c?^ û^tff rf[ a" ( 1 + 5 aj )],

— j /yY*p(i — iJ.^)cos*tJ3dixdTSjd[a*{i -t-Saj)],

— jffjp{^ — F-*) sin*TsdiidTnd[a^{i -+- Saj)].

Les quantités (x^(i — [jl') cos'ct, (i — \i^) sin'u sont réductibles à des quantités de cette forme U'"^+ U^^^; il faut donc, par le théorème de l'article VI, ne considérer dans j que les termes Y^°^ et Y^^^; mais le terme Y'"^ étant constant, il peut être censé compris dans la constante a. Les moments précédents deviendront ainsi

— i///p fx« rffx c?GJ rf[a8 (I 4- 5aY<«))],

— îfffpi^- fx*)cos»Gjc?/Jirf5Tc?[a5(n-5aY(*))],

— ifffpi^ — f^') sm^w diLdrsd[a^{\ -+- SaY^»))]- On a, par l'article VI,

-«/prf(a''Y(«))=z-[|«(p(fx^^i) + |aY(«)]/prfa»,

la valeur de aY^^^ du second membre de cette équation étant relative à la surface; cette valeur pour la Terre est, par l'article VIII, égale à — o,oo3i 1 i([Ji^ — I). En désignant donc par A la constante

(o,oo5i85 — f"'?) fpda^,

on aura, pour les moments d'inertie de la Terre par rapport aux plans de ses axes principaux.

On peut facilement, au moyen de l'analyse précédente, déterminer

la nature des solides homogènes, dont tous les axes passant par leur

centre de gravité sont des axes principaux de rotation; pour cela,

soit R le rayon mené de ce centre à une molécule quelconque dM du

solide; on aura

em = —R*dRdndTs,

d'où il est aisé de conclure que les moments d'inertie du solide, relativement aux plans de ses trois axes principaux, sont

— fffR'^dRiJ.^dixdtn,

— fffR^ dR{i — II-) sin^rsdiidrs.

Si l'on exécute les intégrations relatives à R et que Ton nomme R' le rayon R prolongé jusqu'à la surface, ces trois moments deviendront

-\ffW'li*dixdTs,

— I jy R'«(i — fx«) cos'cj dix disy

— \ffW»{i — fjL*) sin'GT dix dxs.

Maintenant, on sait que, si ces moments sont égaux entre eux, tous les axes du corps qui passent par son centre de gravité seront des axes principaux de rotation; or il est clair, par ce qui précède, que cette égalité aura lieu si la valeur de R' peut être mise sous cette forme

c'est-à-dire si la fonction Y^-^ disparaît de l'expression de R". Telle est donc l'équation générale des sphéroïdes homogènes dont tous les axes passant par le centre de gravité sont des axes principaux de rotation, et l'on voit que la sphère n'est pas le seul solide qui jouisse de cette propriété.

Considérons présentement les moments des forces perturbatrices. Si l'on nomme S la masse d'un astre quelconque éloigné de la planète; s la distance des centres de gravité de ces deux corps, que nous supposerons très grande relativement àa; v l'angle que forme s avec l'axe des X, et ^ l'angle que forme le plan de s et des ao avec celui des x et des y. Si l'on décompose ensuite l'action de S sur une molécule de la planète, parallèlement aux trois axes des x^ des y et des z, et que l'on en retranche les forces parallèles aux mêmes axes qui sollicitent le centre de gravité de la planète, on aura les trois forces suivantes :

a(i + xj) — [(3 cos*v — i)pL + 3 sinv cosvv/i — fJi*cos(cj — 4*)]»

a{i-^ ocy) -^ [(3 sinv cosv costl; — y^i — /Jt.' cosct

H- 3 v/i — /JL* sin*v cos^' cos(ct — 4')]»

a(i -+- a/)-^ [3p sinv cosvsin4' — V^i — fx^sinnj

+ 3 y/i — jji* sin*v sinti' cos(ro — ^)\.

Pour avoir les moments de ces forces, il faut les multiplier par la masse de la molécule, qui est égale à

Il faut multiplier ensuite respectivement ces produits par les distances de chaque force aux plans qui lui sont parallèles. Ces distances sont

a(i-+-ay)p, a(r + a/)v/i — fx*cosro,

a{i-+- ay) y/i — fJi* sincj; les moments des forces seront par conséquent de cette forme

Rp diJ.dmd[a'^{i + a/)'], R étant une fonction de

fji, y/i — /ji'cosw, \/i — fx'sincT,

OKurres de L. — XI.

comprise dans la forme 11'°^+ U^^^ Il faut ainsi, par le théorème de l'article V, ne considérer dans l'expression de j que le terme Y'^^;.or on a, par l'article précédent,

Y^'^ dans le second membre de cette équation étant relatif à la surface; on réduira donc les moments précédents à ne dépendre que de cette valeur de Y^^^ et des intégrales fpda^ et jpda^, prises depuis a = o jusqu'à a = i. Ce résultat est conforme à celui auquel nous sommes parvenu dans l'article précédent sur les moments d'inertie; d'où il suit que, relativement à la Terre, tous ces moments sont les mêmes que ceux d'un ellipsoïde de révolution, dans lequel les densités des couches suivent la même loi que les densités des couches terrestres, et dont le rayon de la surface extérieure est

I — 0,003l II (]JL^ — I).

Ainsi les quantités de la précession et de la nutation doivent être exactement les mêmes que celles que l'on obtient en supposant à cette planète la figure d'un semblable ellipsoïde.

J'ai déterminé ailleurs, dans cette hypothèse, les phénomènes de la précession et de la nutation [Mémoires de V Académie, année 1776, p. 25o et suiv. (')], et je suis parvenu aux résultats suivants.

Si l'on nomme q l'ellipticité de la Terre à sa surface extérieure et

que l'on suppose

{iq — «9) f pa^da

I pa'* da

si, de plus, on nomme S la masse du Soleil; s sa moyenne distance à la Terre; L la masse de la Lune; et / sa moyenne distance à la Terre. Si l'on prend ensuite pour unité de temps un jour sidéral et que l'on

(') Œuvres de Lapface, T. IX, p. 262 et suivantes.

nomme n dm les temps des révolutions du Soleil et du nœud de l'orbite lunaire; enfin, si l'on nomme e l'obliquité de l'écliptique, etc ia tangente de l'inclinaison moyenne de l'orbite lunaire, la précession moyenne annuelle des équinoxes sera

/ g L\ fnEcose(^^-h^j36o»,

et l'étendue entière de la nutation de l'axe terrestre sera

3mcE L „ COSÊTT i8o°.

Les observations donnent

6 = 23'>28'lO%

c =lang 5° 9' S", Logn =32,5637679, Log m =3,8335817.

La précession annuelle des équinoxes est de 5o"j, et, si cette détermination est fautive, ce ne peut être que d'une petite fraction de seconde, parce que l'accroissement à très peu près uniforme de la précession permet de répartir sur un grand intervalle les erreurs inévitables des observations. Suivant M. Bradley, l'étendue entière de la nutation est de 18"; mais, comme une petite erreur peut s'être glissée dans cette détermination, nous supposerons la nutation de i8"(i + y); nous aurons, cela posé, les deux équations suivantes

d'où l'on tire

Si la nutation était exactement de 18", on aurait y = o et, par conséquent,

l'effet de l'action du Soleil sur la précession serait donc à peu près la moitié de celui de la Lune. M. Daniel Bernoulli suppose ces deux effets dans le rapport de 2 à 5, d'après les observations des marées; cette supposition donne environ y = -^; la nutation serait ainsi de 19", 2, c'est-à-dire de i", 2 plus grande que suivant M. Bradley. Une aussi petite différence est très difficile à connaître par l'observation, et, si l'on considère l'incertitude des observations sur les marées, il doit paraître surprenant que la quantité de la nutation tirée de ce phénomène s'éloigne aussi peu du résultat de l'observation directe. Les équations précédentes donnent

o Aq38 — V /p^*^«

<7=r|a9 + o,ooooooi54i43 ' ^ ~F- J

^ j'pa^da

mais on a, par la théorie des forces centrales,

partant

yp «* da

y p «^ da

La valeur de q dépend de celle de Y et de la loi de densité des couches du sphéroïde terrestre; mais, quelle que soit cette loi, il est visible que, a étant moindre qUe l'unité, ^a" da est moindre que ^a-da et

I pa* da

qu'ainsi la fraction ^- — — est au-dessous de l'unité. Elle serait

I pa^ da

égale à l'unité si, la Terre étant creuse à son intérieur, toute sa masse était à sa surface; elle serait nulle si la masse de la Terre était réunie à son centre de gravité. Les deux limites de g sont, par conséquent,

0,0017801, o,oo5i474 — y. 0,0069205.

Nous avons vu dans l'article VIII que la valeur de q donnée par les observations de la longueur du pendule est égale ào,oo3£ii; elle est donc entre les limites précédentes; d'où il suit que les phénomènes

de la précession, de la nutation, de la variation de la pesanteur et du flux et reflux de la mer sont parfaitement d'accord entre eux.

Si la densité de la Terre était constante du cenlre à la surface, on

aurait

j ça'' da 3

rp a* da ^ partant

q = 0,0087805 — y.o,oo4i523.

Cette quantité est plus grande que o,oo3iii,en employant même la valeur de y donnée par les observations des marées; ainsi la Terre est plus dense à son centre qu'à la surface.

La comparaison des deux valeurs de q, tirées des observations du pendule et des mouvements de l'axe terrestre, donne la limite de la plus petite densité moyenne que l'on puisse supposer à la Terre; car, ces valeurs étant

^r=0,Oo3lII,

y p a* da

i ça? da

il est aisé d'en conclure

rp a* G?a =: (2,4747 — y. 5,0116) I pa'^da.

Or, si l'on nomme p' la densité d'une couche du sphéroïde terrestre vers la surface, le rapport de la densité moyenne de ce sphéroïde ii la

y p a' da

densité de cette couche sera — ; il sera donc égal à

I p' a* da

I pa* da

/ p' a' da

.Maintenant, la supposition la plus naturelle que l'on puisse faire sur la loi des densités des couches terrestres est celle d'une densité

croissante de la surface au centre. Dans ce cas, p est toujours plus grand que p', ce qui donne

fp'a^da ^'

la moyenne densité de la Terre est, par conséquent, au-dessus de

(1,52482 — y.3,oo696)p'.

Si Y = o, cette quantité surpasse |p'; ainsi la moyenne densité du globe terrestre est, dans ce cas, au moins | de la densité des couches dans laquelle nous pouvons pénétrer, et il est vraisemblable qu'elle est beaucoup plus grande.

Pour mieux saisir l'ensemble des phénomènes qui tiennent à la figure de la Terre et leur accord avec le principe de la pesanteur universelle, rappelons en peu de mots les résultats auxquels nous sommes parvenu, dans ce Mémoire, sur la nature des rayons terrestres.

L'expression du rayon d'un sphéroïde quelconque, très peu différent d'une sphère, peut être mise sous cette forme

Si l'on fixe, relativement à la Terre, l'origine de ce rayon au centre de gravité de cette planète, les conditions de l'équilibre de la mer donneront Y(*) = o et réduiront, par conséquent, l'expression du rayon terrestre à cette forme

L'état permanent de l'équilibre de la mer exige que l'axe de rotation de la Terre soit un de ses axes principaux, et pour cela il faut que Y<" soit de cette forme

H(/^'- i) + H'(l - fJL^) C0S2GJ,

H et H' étant deux constantes que l'observation seule peut déterminer et qui dépendent de la constitution du globe terrestre.

Ces résultats sont les seuls que fournit l'état permanent de l'équilibre de la Terre; ils sont communs à tous les corps célestes que recouvre un fluide en équilibre. Les observations sur la longueur du pendule à secondes ont porté plus loin nos connaissances sur la nature du rayon terrestre : elles nous ont appris que la constante H est à très peu près égale à — o,oo3iii; que la constante H' est nulle ou du moins insensible relativement à H; que la quantité Y^^' -f- Y^*^ -h . . . est pareillement très petite relativement à Y^'^^; qu'il en est de même des premières différences de cette quantité par rapport à celles de Y<"^; et qu'ainsi l'on peut, dans le calcul du rayon terrestre et de ses premières diff'érences, lui supposer sans erreur sensible cette forme

I — o,oo3ii I (fx- — I).

Les mesures des degrés des méridiens ont fait voir que cette supposition ne peut pas s'étendre aux secondes différences du rayon terrestre et que la fonction Y^'^ + Y^*^ -+- . . . devient sensible par une seconde différentiation; mais elles sont encore insuffisantes pour déterminer cette fonction.

Le phénomène de la précession des équinoxes et de la nutation de l'axe terrestre ne dépend que de Y^^'; il ne détermine pas la valeur de H, mais il donne les limites entre lesquelles cette valeur doit être comprise : la valeur que l'on trouve par la loi des variations de la pesanteur tombe entre ces limites; elle indique de plus une diminution dans la densité des couches terrestres, depuis le centre jusqu'à la surface, sans nous instruire cependant de la véritable loi de cette diminution, dont l'existence est prouvée d'ailleurs, soit par la stabilité de l'équilibre de la mer, soit par le peu d'action des montagnes sur le fil à plomb, soit enfin par les principes d'Hydrostatique qui exigent que, si la Terre a été primitivement fluide, les parties voisines du centre soient en même temps les plus denses.

On voit ainsi que chaque phénomène dépendant de la figure de la

Terre fournit de nouvelles lumières sur la nature du rayon terrestre et qu'ils sont tous parfaitement d'accord entre eux. Ils ne suffisent pas, à la vérité, pour nous faire connaître la constitution de la Terre, mais ils indiquent l'hypothèse la plus vraisemblable, celle d'une densité décroissante du centre à la surface. La loi de la pesanteur universelle est donc la vraie cause de ces phénomènes, et, si elle ne s'y manifeste pas d'une manière aussi précise que dans les mouvements célestes, cela vient de ce que les inégalités de la force attractive des planètes, qui tiennent à leur constitution intérieure, disparaissent à de grandes distances et ne laissent apercevoir que le simple phénomène de la tendance mutuelle de ces corps vers leurs centres de gravité.

SUR