THÉORIE DE SATURNE
Détermination numérique des inégalités de Saturne.
Pour réduire en nombres les inégalités auxquelles nous sommes parvenus dans la Section précédente, il faut connaître les constantes arbitraires qui entrent dans leurs expressions analytiques. Ces constantes relatives au mouvement elliptique de Jupiter et de Saturne sont leurs moyennes distances au Soleil, leurs longitudes moyennes à une époque donnée, leurs excentricités et les positions de leurs aphélies, les inclinaisons de leurs orbites et les positions de leurs nœuds. Les observations ne donnent que les mouvements vrais des planètes; pour en conclure les éléments précédents, il faudrait connaître d'avance l'effet des perturbations et le retrancher du résultat des observations pour avoir la partie due au mouvement elliptique; ainsi, la détermination des inégalités de Jupiter et de Saturne et celle des éléments
de leurs orbites dépendent réciproquement l'une de l'autre, et l'on ne peut parvenir à les bien connaître que par des approximations successives. C'est dans cette vue que j'ai commencé par tirer de l'analyse précédente une formule de correction des Tables de Saturne, do Halley. En comparant ensuite cette formule à un grand nombre d'oppositions, je suis parvenu à les représenter avec exactitude, et j'ai reconnu en même temps que les éléments des Tables de Halley avaient besoin de corrections considérables. J'ai suivi une autre méthode relativement à Jupiter; les Tables de cette planète, publiées par M. Vargentin, représentaient assez bien, à l'époque où elles ont paru, les observations faites depuis un siècle; ce savant astronome a eu égard, dans ces Tables, aux inégalités de Jupiter indépendantes des excentricités des orbites, et à celles qui ne dépendent que de leurs premières puissances; mais les grandes inégalités qui altèrent le moyen mouvement de cette planète, son excentricité et la position de son aphélie, lui étant inconnues, il a dû les comprendre dans les éléments elliptiques de ses Tables. Ainsi, pour corriger ces éléments, il suffit d'en retrancher l'effet de ces inégalités.
Les éléments suivants de Jupiter et de Saturne sont le résultat de ces calculs. Ils auront encore besoin d'être corrigés, surtout quand on comparera la théorie aux oppositions de Jupiter et de Saturne, discutées avec plus de soin et de précision qu'elles ne l'ont été jusqu'ici; mais ces corrections doivent être peu considérables et ne peuvent avoir qu'une très petite influence sur les inégalités de ces deux planètes.
L'époque à laquelle je rapporterai mes calculs est le milieu de ce siècle ou le commencement de 1750, à Paris, temps moyen. Je l'ai choisie parce qu'elle est à peu près moyenne entre les intervalles des bonnes observations modernes et que d'ailleurs les principaux éléments de l'Astronomie ont été déterminés vers cette époque par les travaux de plusieurs observateurs célèbres.
Éléments de Jupiter et de Saturne au commencement de 1750.
Longitude moyenne s' de Saturne ']* ii" i-j' 10"
Longitude moyenne nr' de son aphélie 8*28° 7' 24"
Excentricité e' o,o56263
Longitude moyenne /' de son nœud ascendant S'ai^Si' 17"
Inclinaison de son orbite à l'écliptique, ou ang. tang 9'. . a°3o'ao''
Moyen mouvement sidéral pendant une année commune
de 365 jours i2°i2'46'', 5 = 43966", 5
Moyenne distance au Soleil 9,54007
celle de la Terre au Soleil étant prise pour unité.
Quant à la masse ni de Saturne, j'adopterai celle que M. de la Grange a donnée dans les Mémoires de Berlin de 1782, page 186; en discutant avec soin les observations des satellites de cette planète, cet illustre géomètre a trouvé qu'il fallait un peu diminuer la masse de Saturne, déterminée par Newton, et ce qui ajoute à la probabilité de son résultat, c'est qu'il rapproche de l'observation, d'environ 10 jours, le calcul des perturbations de la comète de 1739; il réduit à i3 jours la différence de 28 jours que M. Clairaut a trouvée entre l'instant calculé et l'instant observé du passage de cette comète par son périhélie en 1769. En prenant donc pour unité la masse du Soleil, je supposerai
Relativement à Jupiter,
Ang. tang. 0 r= i^ig'io".
Le moyen mouvement sidéral de Jupiter, dans l'intervalle de 365 jours, est égal à 3o"i9'42"=: 109 182".
lo:;
Les valeurs précédentes de a et de a' donnent
-, — a = 0,545172; d'où j'ai conclu, par les formules de l'article XIV,
Ces valeurs m'ont donné les suivantes :
6^*' = o,o565ii6, s
dU^^
doL db^^^
dot.
dbf
— — zz: 0,162578,
dbf
-d7 = «'725968, db^;^^
da.
da' d^b^l^
, \ - — 2,3o3625, da/-
doi^
di —ï'^, 437940,
doc^
dcf? ~^"'"^^999'
bf — 2,0801 58,
dcn
Nous allons, d'après ces résultats, déterminer numériquement les inégalités séculaires des orbites de Jupiter et de Saturne. Nous commençons par ces inégalités, parce qu'elles influent sur les autres, et principalement sur celles qui dépendent de l'angle
5n't — 2nt-h5£' — 2e,
comme on l'a vu dans l'article XXIII.
Reprenons les formules de l'article XVIII
oe^ = I 1,0 [/esin(GT — ro'), ôxn'= (1,0) i — [T7Ô] — cos(cT — xn'), èe = I 0,1 \ie's'in{xn'—m), èrs = (0,1) i — [o7i| — cos(gî'— cj).
On a, par l'article XVI,
mais
partant
On aura de la même manière
I , mn'T
Le moyen mouvement sidéral de Saturne, dans l'intervalle de 365 jours, est, par l'article XXIX, égal à 43966", 5; en y ajoutant le mouvement de Saturne dans l'intervalle de six heures, on aura 43996", 5 pour le mouvement de cette planète pendant une année julienne; ce sera la valeur de n'T, et l'on trouvera
On trouvera pareillement
On aura ainsi, en désignant par i le nombre des années juliennes écoulées depuis 1730,
de' = — i. o,55o65,
ôro'= f. 10,81975,
àe = i. 0,27681,
(5cj=: i. 6,48092.
Mais, comme il est nécessaire d'avoir ces valeurs avec beaucoup de précision pour le calcul des observations anciennes, nous allons en donner de plus approchées. Pour cela, nous observerons que les valeurs précédentes donnent, en 750,
et, en réduisant les secondes en parties du rayon,
On avait, à la même époque,
nT'=8«23<'43'45"
et, relativement à Jupiter,
e = 0,046810, cj=:6«8°i4'48".
De là il est aisé de conclure, par l'article XVIII,
%- = 0,28687, ai
ce qui donne, par l'article cité, ces valeurs plus approchées que les
précédentes,
àe'^=^~i. o,55o65 — ^^.0,0000105, ^ ., -,
àm'= «.15,81975 + l^o,oooI3o24, ir, v-h de =: i. 0,27681 — t2.o,ooooo5o3, ôcT = i. 6,48092 4- i^.o,oooi8652.
On déterminera les inégalités séculaires des nœuds et des inclinaisons des orbites au moyen des valeurs de S6', SF, SÔ et o\ de l'article XIX, et l'on trouvera, en les réduisant en nombres,
ô0'== t. 0,094726, (31'—— t. 8,72696, àB z=z — i. 0,77443,
ÔI zz: i. 6, 53570.
On pourra, sans erreur sensible, étendre ces valeurs aux observations les plus anciennes; leur peu d'influence sur les inégalités de Saturne rendrait une plus grande précision tout à fait inutile.
Considérons présentement les inégalités périodiques du mouvement de Saturne, et d'abord celles qui sont indépendantes des excentricités et des inclinaisons des orbites. Pour cela, nous reprendrons les valeurs de M et de V de l'article IX, en y changeant a et n dans a' et n', et réciproquement; nous y supposerons ensuite i positif, ce qui revient à doubler les termes compris sous le signe S.
Cela posé, on aura, en n'ayant égard qu'au terme constant de l'expression de M,
a' " '''' da' ' mais on a, par l'article XV,
partant
a' 6\ i ^"^ dy.
dhf En substituant, au lieu de a, è',"' et — ^-j leurs valeurs données dans
l'article XXX, on aura
Si l'on n'a égard qu'à l'angle ni — n' i -f- £ — e', l'expression de u don-
nera
—r — , iTx ii\°' -Â-r ^ ' cos(nf — w'^-hé - e');
a (n — n')*— «'*[ aa' n—n J
OF.uvres de /,. — XI. 32
or on a, par l'article XV,
da on aura donc
-,^— „ H ^ ^V + « -^ - COS /i« - n'
(/^ — n')x^ n — n' l da J
L'article XXIX donne
n " 30» 19' 42" ~ '^ "^ ' on aura ainsi
— ^ rzz 0,910968 co?>{nt — n' t 4- s — s').
Si, dans l'expression de V, on change a et n dans a' et /z', et réciproquement, le coefficient de sin(nt — /î'/ h- e — s') sera égal à r-^- 7t^'
moins le produit de -, par le coefficient de cos(/ïi5 - n't -h i — t')
fî/"' dans l'expression de -— > ce qui donne, en n'ayant égard qu'à ce
sinus,
di>\ = 0,018942 sin(/ii — «'? + £ — e').
On trouvera de cette manière, en ne considérant que les inégalités indépendantes des excentricités et des inclinaisons des orbites,
èr'
+ 0,910968 cos {nt — n' t ^ s — s') -\- 0,154714 cos 2 {nt ~ n' t-h £ — e') + 0,035774 ces 3 (ni — n't-{-£ — c)
)v\t=: 0,018942 sin {nt — n' t -i- s — e')
— 0,162820 sin2{nt — n' t + e — s')
— 0,^033939 s,m3 {nt — n' t -h £ — s')
Pour avoir les inégalités dépendantes des excentricités des orbites, nous reprendrons les valeurs de u^ et de V, de l'article X, en y changeant a qX n dans a' et n' , et réciproquement, et en y supposant
successivement i= — i, i— - 2, i — — 3, ..., i — i, e = 2, On
trouvera d'abord, par l'article cité,
{n — n')ot} n — n' \ L '* I
Q étant le coefficient de cos(nt — n' i 4- £ - e) dans la partie de l'ex-
rir'
pression de — qui est indépendante des excentricités. En réduisant en nombres cette valeur de D^~'^ on aura
On trouvera ensuite
(n — n')ot}
En ne considérant donc, dans les expressions de w, et de V,, que les termes dépendants de l'angle m — in't h- £ — 2e' et multipliés par h et /', et en substituant, au lieu de h! et de /', leurs valeurs e'sincy' et e'costj', on aura
—j- = (\, 116009e' cos(«^ — in' t -\-t — 2 6' + ni'), ôcj rz: — 16,69873 e' sin (n/ -r aw'i 4- 6 — as'-h ni').
La supposition de « =^ — i donne encore
-- ir:— 12,5242676 COS(wi — 2n' t -h £ — 2e'-f-GT),
ôi^[zz= 44,84166 esinint— 2n't-h£ — 2e'-{-rs).
En réunissant ces termes, on aura pour les parties de -- et de ^v' relatives à la supposition de i= - i et dépendantes des excentricités des orbites
— - zrr 4,116009e' COS {nt — 2/i'i + £ — 2e' -H Cj' )
— 12,524257 e COS {nt — 2/i'i + e — 2e'-hCT),
ôp', =— 16,69873 e' sin (/if -- 2/i'^ + s — 2e'4-Gj') -T- 44>84i66 e sin (nt — 2n't + £ — 2e'H- cr ).
La supposition de î = — 2 donne
ôr'
— ,- rrr — 2 , 3o5467 e' COS {2nt — 3/i'iH- 2e — 3£'-+-cj')
-+- 1 , 445302 e COS (2 ni — 3/i'f4-2Ê — 3£'+ct ),
ôf', = 3, 157500e' sin {2nt — Zn' t + 2£ — Se'-hgt') — 1 , 89768 e sin ( 2 ni — 3 n' i + 2 e — 3 e' -t- cr ) .
La supposition de i~ — '^ donne
--0,402029e' cos(3ni — [\n' t-\- 3e — 4e'-i- w') -\- 0,249073 e COS (3 ni — 4'i'' + 3e — 4e'-HnT )
ôf'', = o, 441095e' sin (3ni — f\n' t-\~ 3e — [\&' -^ rs') — 0,261 836e sin (3ni — 4^^'^+ 3e — 4ê'-+-'ij ).
La diminution de ces valeurs successives de — r et de Bv\ fait voir qu'il est inutile de pousser plus loin les approximations relatives aux valeurs négatives de i. Les valeurs positives de i m'ont donné les résultats suivants :
Dans la supposition de ï = i ,
