e cos{nt H- e
-gt),
>[= 1 ,056044 e'sin («in- £ -
-ta')
~ 0, 135257e sin {nt -h s -
-GT).
Dans la supposition de i~- 2,
èr'
— 7 =— 0,079041 e'cos(2«^ — n't -+-2 2 — e'— ht')
— o,25o2i5e cos(2«^ — /i'i 4- 2e — e' — ccr ),
dv\ == 0,092949e' sin (2/ï« — n't-i- 2e — s'— sj')
— 0,287781 e sin (2ni — n't -h 2e — e'— ro ).
Je n'ai pas poussé plus loin l'approximation, à cause de la petitesse des termes que fournit déjà la supposition de i =- 2, et qui donne lieu de croire que les termes suivants sont insensibles.
On peut réduire dans un seul les deux termes que chaque supposi-
rir'
tion sur i fournit dans les valeurs de —r et de Bi^'. . Si Ton réunit ensuite ces différents termes et qu'on leur ajoute ceux de l'article XXXII, on aura les valeurs de -7 et de Bv\ approchées jusqu'aux premières puissances des excentricités des orbites, en faisant abstraction des termes qui renferment des arcs de cercle. Quant à ces termes, comme ils sont dus aux variations de l'excentricité et de l'aphélie de Saturne, on y aura égard en faisant varier ces quantités, conformément à l'article XXXI, dans le calcul du mouvement elliptique de Saturne.
Si l'on multiplie les termes de -r par ma' et ceux de Bv\ par m, on aura les perturbations du rayon vecteur r' et de la longitude v\ comptée sur l'orbite; mais on peut négliger dans ces perturbations celles dont l'effet est insensible : or la moyenne distance de Saturne au Soleil étant près de dix fois plus grande que celle du Soleil à la Terre, sa
tn THEORIE DE JUPITER ET DE SATURNE. •
parallaxe annuelle n'est que d'un petit nombre de degrés; il n'y a donc que les inégalités un peu considérables du rayon vecteur de cette planète qui puissent produire un effet sensible sur son lieu géocentrique. Nous négligerons celles dont l'effet est au-dessous de 8"; nous négligerons pareillement les inégalités de mS^', qui sont au-dessous de ce même nombre de secondes. Nous aurons ainsi, après avoir réduit en secondes de degré les termes de m §r', ,
m èr' =1 o , 0089047
-h 0,0081435 ces (n< — n' t -\- £ — e')
-f- o,oo536o5 sin {nt — 2n't -h e - 2e'-+-77°5o'46")>
m$i>\=: — Si" sin {2 nt ~ 2n't + 2e — 22')
-h 6' 6g", 3 sin {2 n' t — nt H-ae'— e + i5°o'57") — 35" cos {2 nt — 3n'< H- 2e — Se'-h 27°3o') + II" cos {nt +e).
Les termes de m^v\ sont peu considérables, à l'exception de celui qui dépend de l'angle 2n'i — nt ^ 2e'— £, et qui est à très peu près de 7' dans ce siècle; mais les changements que la suite des siècles amène dans les excentricités et dans la position des aphélies altèrent sensiblement sa valeur après un long intervalle. Pour avoir une expression de cette valeur qui puisse s'étendre à un grand nombre de siècles, j'ai déterminé ce terme pour l'an ySo, en substituant dans son expression analytique les valeurs des excentricités et des longitudes des aphélies qui avaient lieu à cette époque, et que l'on a par l'article XXXI. J'ai trouvé ainsi que ce terme était alors égal à
6'42",5sin(2«'i — ni4-2£'— s + i8°57'52"),
en sorte que, dans l'espace de mille ans, son coefficient a augmenté de 16", 8, et l'angle indépendant de t, sous le signe sin, a diminué de 142 1 5". On peut donc représenter le terme dont il s'agit par
(6'59",3 + i.o%oi68) sin(2n'^ - nt-\-2t' -t^ i5<'o'57"- i. i4",2i5),
et, sous cette forme, il peut s'étendre à deux mille ans avant et à mille ou douze cents ans après l'époque de 1700, d'où les i sont comptés.
Déterminons maintenant les inégalités qui dépendent des carrés et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons des orbites. Pour cela nous reprendrons les formules des articles XXIII et suivants. En réduisant en nombres les valeurs de a'M<"', a'W*\ ... de l'expression de a'R de l'article XXIV, j'ai trouvé
De là j'ai conclu pour 1750
En substituant ensuite dans les expressions de a k et de a'k\ au lieu de e, cT, e', ct , y et H, leurs valeurs relatives au commencement de iqSo, j'ai trouvé à cette seconde époque
Si l'on nomme T l'intervalle de deux cents ans compris entre ces
deux époques, la différence des deux valeurs de a'k, relatives à ces
époques, sera
,dk
(on' — 2n)T ■= — 7 :
on aura donc
(jn'— 2.n)T est égal à cinq fois le moyen mouvement de Saturne, moins deux fois celui de Jupiter, dans l'intervalle de deux cents ans;
d'où l'on tire
en réduisant ces degrés en parties de rayon, on trouvera
,dk
I) «' — 2 rt
On trouvera de la même manière
,dk'
5n' — in
on aura donc ainsi, à l'époque de lySo, les valeurs de j- et de -jqui pourront servir encore pour l'époque de igSo. Cette manière de les déterminer est beaucoup plus simple que la différentiation des valeurs de k et de k . Cela posé, j'ai trouvé que la grande inégalité de l'article XXIII, avec laquelle il faut corriger la longitude moyenne de Saturne, était à l'époque de lySo
iSn'^m r 0,00111965 sin (5/^'i — 2n^ + 5e'— 2ê)
n r 0,00111965 sin (5/^'i — 2n^ + 5e'— 2ê)'1 n)- L-i- 0,00010917 cos(5/i'f — ml + 5e'— 2e)J'
et par conséquent égale k
— 48'44"sin(5/i'i-2«f + 5e'-2e + 5°34'8").
J'ai calculé de la même manière cette grande inégalité pour trois autres époques dont les deux premières se rapportent aux observations anciennes de Saturne que Ptolémée nous a transmises. Ces époques sont l'an 228 avant notre ère, l'an 182 de notre ère et l'année igSo; j'ai trouvé les valeurs suivantes de cette grande inégalité :
Pour l'année 228 avant notre ère,
— 52'2o"sin(5«'^ — 2 ni -H 5e'— 2 6 4- 40^29' 87"); Pour l'année 182 de notre ère,
— 5i'47"sin(5/i'^ — 2/i« + 5£'— 2e + 34°39'2"); Pour l'année igSo,
— 48'24''sin(5n'i — 2«^ + 5e'— 2£ + 2° 17' 52").
En considérant la loi des coefficients des sinus de ces valeurs et celle des angles constants qui s'ajoutent à l'angle 5n't — 2nt -h 5e'— 2e, on voit que les uns et les autres vont en décroissant et que l'on peut représenter à peu près toutes ces valeurs par la suivante :
— (48'44''— ï.o%io836) sin(5n'« — 2ne -+- Ss'— 2e + 5°4o'— «.63',i34).
Cette valeur peut être étendue, sans erreur sensible, à deux mille ans avant et à mille ou douze cents ans après 1750; mais, dans le calcul des observations modernes, nous préférerons employer la valeur suivante que donne la comparaison des deux valeurs relatives aux années 1750 et igSo :
— (48'44"— i-o",i) sin{6n't — 2nt -h 5e'- 2e + 5<'34'8"- «.58% 88).
On a vu dans l'article XXIII qu'il faut corriger la longitude moyenne de Jupiter avec une inégalité semblable à la précédente, mais affectée d'un signe contraire et plus petite dans la raison de nn^arri à 5/^'*a'm; en sorte que, pour avoir l'inégalité relative à Jupiter, il faut multiplier
la quantité 48'44' — ï.o",i par k n < ' ^^ ^ura ainsi pour cette inégalité
(20' 49", 5 — i.o", 042733) sin(5/i'; — 2n< + 5e'— 2£ -H 5°34'8"- /.58",88).
Ces deux inégalités de Jupiter et de Saturne sont entre elles, à très peu près, dans le rapport de 3 à 7 ; le temps de leur période est déterminé par l'équation
^n't —int^ 5e'— 2e — ï.58",88 = 36o«>.
Pendant une année julienne, l'accroissement de l'angle
est de i4io",6, ce qui donne 918 ans f pour la durée de cette période. Les inégalités précédentes font paraître les moyens mouvements de
OEuvres de L. — XI. 33
Jupiter et de Saturne différents des véritables moyens mouvements. On aura le moyen mouvement apparent de Saturne durant une année commune de 365 jours en ajoutant à son moyen mouvement annuel la quantité dont la grande inégalité de Saturne varie dans cet intervalle, et cette quantité est, à fort peu près, égale à
— (48'44"— ï.o",i)sin23'3i"cos(5/i'^ — 2/ii + 5£'— 2£H-5°34'8"— t.58",88).
On aura le moyen mouvement annuel ap^tarent de Jupiter en ajoutant à son moyen mouvement annuel la quantité précédente affectée d'un signe contraire et diminuée dans le rapport de 3 à 7.
Cette quantité était à son maximum en i56o, où l'on a eu
5/i'« — 2/ii + 5e'- 2£ + 5° 34' 8"- f.58",88 = 0;
à cette époque, le moyen mouvement annuel apparent de Saturne était plus petit que le véritable de 20", i, et le moyen mouvement annuel apparent de Jupiter surpassait le véritable de 8", 6. Depuis ce temps, les moyens mouvements apparents des deux planètes se sont rapprochés sans cesse des véritables moyens mouvements, et, en 1789, ils leur seront égaux.
Ces résultats expliquent pourquoi la comparaison des observations modernes aux anciennes semble indiquer un ralentissement dans le moyen mouvement de Saturne et une accélération dans celui de Jupiter, tandis que là comparaison des observations modernes indique, au contraire, une accélération dans le mouvement moyen de Saturne, et un ralentissement dans celui de Jupiter. Ces deux phénomènes, opposés en apparence, dérivent également des inégalités précédentes, dont les observations futures feront de plus en plus reconnaître l'existence.
11 est fort remarquable que ce soit vers l'époque du renouvellement de l'Astronomie que les moyens mouvements apparents des deux planètes ont le plus différé des véritables, ce qui a donné lieu aux astronomes de croire que le mouvement de Saturne se ralentissait et que celui de Jupiter s'accélérait sans cesse; trois siècles plus tard, les
observations auraient fait naître une opinion contraire. Les mouvements que l'Astronomie d'un peuple assigne à Jupiter et à Saturne peuvent donc nous éclairer sur le temps où elle a été fondée. Suivant les Tables indiennes de Chrisnaburam, le moyen mouvement sidéral de Saturne, dans l'intervalle de 365 jours, est de 12° 12' 23", et celui de Jupiter est de 3o°i9'52". Le premier de ces mouvements est en défaut de 23"^, et le second est en excès de 10"; ces deux nombres sont h fort peu près dans le rapport de 7 à 3, comme cela doit être si l'erreur vient de ce que les moyens mouvements apparents de ces deux planètes ont été pris pour leurs véritables moyens mouvements. Les Indiens paraissent donc avoir bien déterminé ces moyens mouvements apparents; mais on voit, en même temps, qu'ils les ont déterminés dans une partie de la période des inégalités précédentes, dans laquelle le mouvement moyen apparent de Saturne était fort lent et celui de Jupiter très rapide. Ces peuples ont deux principales époques astronomiques qui paraissent liées entre elles par les moyens mouvements des corps célestes, de manière que l'une des deux est nécessairement dérivée de l'autre. La première de ces époques remonte à l'an 3io2 avant notre ère; et je trouve qu'alors le moyen mouvement annuel apparent de Saturne était de 12° 12' 25", et celui de Jupiter de 3o°i9'5i", ce qui s'éloigne très peu des déterminations indiennes. Leur seconde époque est dans l'année 1491 de notre ère, et le moyen mouvement annuel apparent de Saturne était alors de 12** 12' 28"^; celui de Jupiter était de 3o°i9'5o". Ces mouvements s'accordent moins exactement que les précédents avec les déterminations indiennes ; mais les quantités dont ils s'en éloignent sont dans les limites des erreurs dont ces déterminations sont susceptibles, en sorle qu'il est impossible, par cela seul, de reconnaître laquelle des deux époques est réelle ou fictive.
Pour réduire en nombres l'inégalité de Saturne, qui dépend de l'angle int — [\n' t [• it — [\t' y et que nous avons considérée dans
dk dk'
l'article XXVI, il faut déterminer les valeurs de ci' -ri et de ^5'^; or
j'ai trouvé, pour le commencement de lySo,
dk e' a' -y-^ =: 0,0017522818,
d'où j'ai conclu
ce qui donne, par l'article cité, en n'ayant égard qu'à la partie de mSif\ qui dépend de l'angle 2.nt — [\n't -\- 21 — l\t\
màv\ — —io'iy?,m{^nt — ^n't-\- 2e — 4e'+ 55o52'i9").
J'ai trouvé de la même manière, aux époques suivantes :
228 ans avant notre ère :
mèv\z=z — \o' l^b" sm{int — l\n' t-\- 2g — 4£'+ 82° 19' 29'').
En i32 :
/wô(;; = — io'39"sin(2/ii — 4/i7+2£ — 4e'+36o35'9").
En 1950 :
môp'i = — io'io"sin(2/if — L,n't-\- 2e — 4e'+ 58° 16' 9").
Ces quatre valeurs de m lv\ sont à très peu près représentées par la suivante :
mhv\ — —{io'i 3"— f . o", o [60698) sin (2 ni — 4/î' i H- 26 — 4e'+ ÔS^ Sa' 19"+ i. 42", 8834) ;
et cette formule peut s'étendrç à plus de 2000 ans auparavant, et à 1000 ou 1200 ans après 1750.
Si Ton prend la moitié du coefficient de la valeur précédente de mBv\ avec un signe contraire, et que l'on change le sinus en cosinus, on aura, par l'article XXVI, la partie de ^-^ qui dépend de l'angle nnt — ^n't-\- 21 — liE.'. En réduisant ensuite les minutes et les secondes en parties du rayon, on trouvera à très peu près
indr'=o,oi4i527 cos{2 nt— ^n't -i- 2e — 4e'-l- 55°52' ig'-f- /.42'',8834).
Il existe encore dans l'expression du rayon vecteur /^ un terme dépendant de l'angle Sn't — 2.ne -+- 5s.'— 2£, et qui résulte de l'analyse de l'article XXV. En désignant ce terme par —7-, on aura, par l'article cité,
— T- = — e' a' mP' sin ( 5 n' i — 2 nf + 5 e' — 2 e — cr' ) a'
-+- e' a' mQ'cos(5n'i — 2n^ + 5ê'— 2e — gj')
— ^ — ; \ks\n(5n't — 2 nt-{- 5e' — 2e) — k' cos(o n' t — 2nt-i-5s'—2t\\.
on' — 2/i ^ •■
En substituant au lieu de P', Q', k et k' leurs valeurs, on verra que cette inégalité du rayon vecteur est trop peu considérable pour y avoir égard. ,
Nous sommes présentement en état d'apprécier le degré d'approximation qui nous a donné la grande inégalité de Saturne, dépendante de l'angle 5n'i — 'int -\- 5e'— 2£. Pour cela, reprenons la formule (9) de l'article VIU en y changeant les coordonnées de Jupiter dans celles de Saturne, et réciproquement, nous aurons
md{r'èr') + mr'dàr' , ^^, ^ C ^,^. C a'j^ .^^< r.. C ^> ri, .'^
- , a'^n'dt m ûv, =^
3 a' m fn'dt Td'R-t- 2a' m j n'dtr' jp
la différentielle d'R se rapportant uniquement au mouvement de
Saturne. L'approximation dont nous avons fait usage pour déterminer l'inégalité dont il s'agit consiste à n'employer dans mBr' et dans m^ç'^ que les termes qui ont pour diviseur (5n'— 2/ï)^; mais, vu la grandeur de ces termes, il pourrait arriver que ceux qui n'ont que 5n'—2n pour diviseur fussent encore sensibles; il importe donc d'apprécier ces derniers termes. Si l'on néglige le carré de e', on voit que la question se réduit à examiner dans la formule précédente les termes
de
md(r'àr') mr' dàr' , C ,, , ^R
— il I ^, ^ ,0 / », et 2a'm I n'dtr' -x-ji
qui, dépendant de l'angle 5n't — int -+- 5s'— ii, ont pour diviseur ^n'— in. Il est visible d'abord, par l'article précédent, que le terme de l'expression de m/Br' qui dépend de cet angle est peu considérable, et qu'ainsi sa différentielle est insensible, puisqu'elle est multipliée par le très petit coefficient Sn' — in\ on voit donc que la quantité ^ ,^ ,! ne peut avoir aucune influence sensible sur l'inégalité
ce IL C4/V
de Saturne dépendante de l'angle 5n't — o^nt + 5e'— 2£.
Si, dans le terme ,„ , ,, ? on substitue au lieu de — j- la partie de a'^n'dt a ^
cette expression qui dépend de l'angle 27?z — 4/^'^ + 2 £ — 4e', et qui, par l'article précédent, est à fort peu près égale à
5'6"cos(2/i«— 4n'^+ 25- 4e'+ SSoSî'iq"),
r' si l'on substitue encore, au lieu de -7, sa valeur approchée
I 4- e'cos(/i'i + e'— cy'), il en résultera le terme
2'33\e'cos(5«'<— 2/î« + 5e'— 2£ — gt'— 55°52'i9"):
mais on a
ce qui donne
Cette dernière quantité est presque insensible; ainsi le terme ^,^ , ^-^
n'influe qu'insensiblement sur la grande inégalité du mouvement de Saturne.
n'dtr' -T-,' Si l'on ne considère dans R
que la partie qui dépend de l'angle Sn't — int 4- Se'— 2£, et qu'on la représente par ê cos(5/2'i — int h- A), on aura
3 / d'RH-2/-'-r-, — ^7 6 H —.—, 1-7 cos(D/i7 — 2/îZ-hA);
or on a
on aura donc à très peu près
- 2a'(5n'— 2n) dB i5n' da'
en augmentant dans ê la constante a' de sa 225^ partie; ainsi, pour avoir égard dans l'expression de la grande inégalité de Saturne au
terme ima! \n'dlr'-r-,i il suffit, dans le calcul de Zma' j n'dt /d'R,
d'augmenter a' de sa 225^ partie, ce qui fait voir que ce terme ne peut avoir qu'une influence très petite et du même ordre que les carrés des excentricités.
Il suit de là que l'approximation dont nouS avons fait usage donne avec beaucoup de précision la grande inégalité de Saturne dépendante de l'angle 5n't — int -+- 5t'— iz, et nous verrons dans la suite que cette inégalité ainsi déterminée répond parfaitement aux observations.
Si l'on rassemble les résultats précédents, et que l'on se rappelle les formules connues pour avoir l'anomalie vraie dans l'ellipse au moyen de l'anomalie excentrique, et celle-ci par l'anomalie moyenne, on en tirera les formules suivantes pour déterminer la longitude hélio-
centrique de Saturne rapportée à son orbite, et son rayon vecteur à un instant quelconque.
On calculera d'abord les longitudes moyennes nt -h i et n't -\- z' de Jupiter et de Saturne pour cet instant, ces longitudes étant comptées de l'équinoxe fixe de lySo; en ajoutant ensuite à n't + t' le terme
— (48'44"— i.o",io836) sm{5n't— 2nt-\- 5e'- 25 + 5°4o'- ï.63",i34),
on formera un angle que je désignerai par 9'.
On calculera w' en ajoutant à la longitude moyenne de l'aphélie de Saturne, pour lySo, la quantité î.id", 81975; on calculera pareillement l'excentricité e', en ajoutant à sa valeur relative à 1750, et réduite en secondes de degré, la quantité — î.o", 55o65.
Gela posé, on déterminera l'angle X' au moyen de l'équation
9'-CT'=:X'+e'smX', et l'angle Y' au moyen de l'équation
tang|Y'= ^i^ tangiX',
e' étant ici réduit en parties du rayon. La longitude héliocentrique v\ de Saturne, rapportée à son orbite et comptée de l'équinoxe fixe de 1750, sera
v\ — Y'4- Ts'— 3i" sin2(/z^ — n't h- t'— e)
+ (6'59",3 + i.o",oi68)sin(2n'i — n< + 2e'— e+ i5''o'57"— i. i4",2i5)
— 35"cos(2«i — 3/i'^H-2e — 3£'+ 27°3o') + ii"cos(/z« + e)
— (10' i3"— i.o",oi6o698) sin(2/if — l\n' t+ 2e — 4s'
le rayon vecteur / sera
r'=: a'(n- e' cosX') 4- 0,0039047
-+- 0,0081435 cos( nt— n' t + e— e') 4-o,oo536o5 sin( nt — 2n' t -+- e — 2e'+ 77°5o'46") -i-o,oi4i527cos(2«i — 4/i'^ + 2e — 4e'+ 55°52'i9"+ f. 42", 8834)
a' est une constante que l'on peut déterminer par des observations de Saturne faites dans ses quadratures, et dont nous avons donné une valeur fort approchée dans l'article XXIX; mais la théorie ne doit point emprunter cet élément de l'observation directe : il doit résulter de la durée de la révolution de Saturne comparée à celle de la Terre. On a, par ce qui précède,
Si l'on nomme R, N et M pour la Terre ce que nous avons nommé a\ n' et m' pour Saturne, on aura
i-hM
Si l'on désigne ensuite par B ce que devient A^"^ lorsque l'on considère l'action réciproque de Jupiter et de la Terre, et par G ce que devient cette même quantité lorsque l'on considère l'action réciproque de Vénus et de la Terre, on aura, par l'article ÏX, pour la partie constante du rayon vecteur terrestre, qui est indépendante de l'excentricité de son orbite,
„ /n„-dB m" dC 6 dR 6 dR
m" étant la masse de Vénus; c'est cette quantité que l'on prend pour unité de distance dans la théorie des planètes. En la supposant donc égale à l'unité, on aura
a' ,( mâB rn^àC\
Il est aisé de voir que, à cause de la distance de Jupiter au Soleil, ^^ -r|T est une quantité très petite et inférieure à celles que nous nous sommes permis de négliger dans l'expression de r'; la petitesse de m" permet encore de négliger ^^-^ ^- On aura ainsi, à fort peu près,
OEnvrea de L. — XI. ^^^
mais on a, parce qui précède,
en négligeant donc la masse M de la Terre, vis-à-vis de la masse m' de Saturne, on aura
Les observations donnent le moyen mouvement sidéral de la Terre dans l'intervalle de 365 jours égal à i 290 090", 25 ; partant
d'où l'on tire
et, comme le moyen mouvement sidéral de Saturne, dont nous venons de faire usage, diffère très peu de la vérité, cette valeur de a! a toute la précision que l'on peut désirer.
XLÏ.
Il nous reste présentement à considérer le mouvement de Saturne en latitude. Pour cela, il faut reprendre la valeur de '^s de l'article XI, en y changeant Zs en Zsf , et «, n, £, /?, q dans «', V, e', p' , q\ et réciproquement. Les arcs de cercle que renferme l'expression de m Is' étant dus aux variations séculaires du plan de l'orbite, il est clair que, pour y avoir égard, il suffit de faire varier la position des nœuds et l'inclinaison de l'orbite de Saturne, suivant les formules de l'article XXXI. Quant aux autres termes de l'expression de mis', il est aisé de voir que le plus considérable est celui qui dépend de l'angle nt — in't H- £ — 2£', à cause de la petitesse de son diviseur; or, en calculant ce terme, on trouve qu'il n'excède pas 4" : on peut donc le négliger. On trouve pareillement que la partie de m h', qui dépend de l'angle int — ^n't -f- 2£ — 4£', et dont nous avons donné l'expression
THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE. Ig7
analytique dans l'article XXVII, n'est que d'un petit nombre de secondes; ainsi, dans le calcul de la latitude de Saturne, il suffît d'avoir égard aux inégalités séculaires de la position de son orbite.
On calculera donc la longitude V du nœud ascendant de Saturne, en ajoutant à sa valeur Relative, au commencement de 1750, la quantité — 1.8", 72696, et l'on aura l'inclinaison 0' de son orbite, en ajoutant à sa valeur, pour 1750, la quantité i.o",o94726. On aura ainsi la position de l'orbite de Saturne relativement à l'équinoxe de 1750 et au plan de l'écliptique à cette époque.
Si l'on voulait rapporter le mouvement de Saturne à l'écliptique vraie, il faudrait ajouter à la longitude de son nœud la quantité — f.i8", 7, et à l'inclinaison de son Oirbite la quantité — i.o'\i6. Cela suppose que la diminution séculaire de l'obliquité de l'écliptique est d'environ 5o"; mais il ne peut résulter de cette supposition aucune erreur sensible sur les mouvements de Saturne, et principalement sur son mouvement en longitude, le plus important à considérer, à cause des irrégularités qu'il présente.
Lorsque l'on aura déterminé, par ce qui précède, le lieu héliocentrique de Saturne et son rayon vecteur, il sera facile d'en conclure son lieu géocentrique. Pour rapporter à l'équinoxe mobile les longitudes héliocentriques et géocentriques de Saturne, il suffît de leur ajouter la quantité i.5o'\ 25, le mouvement annuel des équinoxes dans ce siècle ayant été trouvé à très peu près égal à oo^^. Mais, dans le calcul des observations anciennes, il faut avoir égard à l'inégalité de la précession des équinoxes dans les différents siècles.
Les formules précédentes supposent que l'on connaît exactement les éléments de l'orbite de Saturne pour le commencement de 1750; nous en avons déjà donné des valeurs fort approchées dans l'article XXIX; nous allons les rectifier encore par la comparaison de la théorie précédente avec les observations modernes.
Comparaison de la théone de Saturne avec les observations
modernes.
Les oppositions de Saturne ayant l'avantage de donner immédiatement sa longitude héliocentrique, et les astronomes les ayant observées par cette raison avec un soin particulier, nous comparerons avec elles la théorie précédente ; nous ne considérerons que les observations en longitude, parce que le mouvement de Saturne en latitude est assez bien déterminé par les Tables, et que le principal objet de nos recherches est de voir si la théorie de la pesanteur universelle représente les inégalités du mouvement de cette planète en longitude.
Dans le calcul des observations modernes, on peut simplifier la règle générale que nous avons donnée dans l'article XL, pour déterminer le lieu héliocentrique de Saturne, et l'on peut y substituer la règle suivante qui s'étend à toutes les oppositions de cette planète observées depuis Tycho jusqu'à nous. .
On calculera d'abord le moyen mouvement sidéral n't de Saturne, depuis le commencement de lySo, en supposant ce mouvement égal à 43 966", 5 dans l'intervalle de 365 jours; en ajoutant ensuite à ce mouvement 7*21° 17' 20", on aura la valeur de n't-\- 1' relative à l'instant pour lequel on calcule.
On déterminera ensuite le moyen mouvement sidéral nt de Jupiter, depuis 1750, en supposant ce mouvement égal à 109 182" dans l'intervalle de 365 jours; en lui ajoutant ensuite 3°44'3o'', on aura la valeur de /iz + £ relative à l'instant pour lequel on calcule.
On peut, dans la détermination des angles nt -\- 1 Qi n' t + e', faire usage des Tables deHalley, calculées pour le méridien de Paris. Suivant ces Tables, le moyen mouvement de Saturne en longitude , par rapport à l'équinoxe mobile, est de 44 001", 4^ dans l'intervalle de 365 jours; ainsi l'excès de ce mouvement sur le précédent est de 34", 96 : il est par conséquent de 34",98 durant une année julienne.
D'ailleurs, en 1700, la longitude de Saturne était, par ces Tables, plus petite de 5o'56" que 7'2i*'i7'2o"; on aura donc la longitude moyenne n't -h t' en ajoutant à la longitude déterminée par ces Tables la quantité 5o' 56" -1.34", 98.
On aura pareillement la valeur de nt + t ç,xi ajoutant à la longitude de Jupiter, déterminée par les mêmes Tables, la quantité
On retranchera de n't -h t' le terme
(48' 44"— t.o",i) sin(5/i'f — int + 5e'— 2g h 5°34'8"- ^.58^88);
soit ©' la différence.
On calculera l'angle ct' d'après la formule
cj'=:8«28°7' 24"+ i.i5", 81975.
Cela posé, la longitude vraie v\ de Saturne, comptée sur son orbite et rapportée à l'équinoxe fixe de 1750, sera donnée par la formule
v\ =z o'— (28201" — i. i",i) sin(9'— xs') + 8i5"sin2(9'— ct')
— 4o"sin3(9'— ot')
— 6I3"sin(2/^f — 4/i'< + 22 - 4g'+ 55052' 19"+ 1.42", 8834) -I- 4i9"sin(2n'^— nt +25'- £+i5° o'57"— / . i4",2i5)
— 35"cos{2nt — 3/i'< + 2e'— 3e'+27<'3o')
— 3i" s'in {2 nt — 2 n't -{- 2£ — 2b') -+- ii"cos ( nt -+- £)
4- ae'-+- f ô/i'— 2 ae' sin ( ©'— cj' ) + 2e'((3Gj'— ôs') cos(9'— cj'),
Se', ^n', Se' et Sct' étant les corrections que doivent subir la longitude moyenne de Saturne au commencement de 1730, son moyen mouvement annuel, son excentricité et la position de son aphélie. La réduction à l'écliptique sera, à fort peu près,
— 99"cos(2f; + 46°58'), v\ étant ici la valeur précédente de i'\ lorsqu'on néglige les correc-
lions des éléments. On rapportera ensuite la longitude précédente de Saturne à l'équinoxe mobile, en lui ajoutant ï.5o", 25, i exprimant, dans tout ce qui précède, le nombre des années juliennes écoulées depuis lySo.
Pour déterminer les corrections §£', Sn', ^e' et §cy', j'ai choisi vingtquatre oppositions de Saturne, disposées d'une manière avantageuse pour cet objet, et que la loi des erreurs des Tables de Halley, auxquelles on a comparé toutes les oppositions de cette planète, m'a fait reconnaître comme étant assez précises. Je supposerai que les longitudes données par ces oppositions sont des longitudes vraies, ce qui n'est pas parfaitement exact, puisque les oppositions calculées par Halley, sur les observations de Flamsteed, sont affectées de l'aberration et de la nutation, qui n'étaient pas encore découvertes. Il serait très utile de reprendre les observations originales qui ont servi à déterminer les oppositions de Jupiter et de Saturne, et d'y appliquer l'aberration, la nutation et les positions mieux connues des étoiles; mais, en attendant que ce travail important soit exécuté, j'emploierai les oppositions telles que les astronomes les ont données, et je suppléerai par leur nombre à la précision qu'elles laissent encore à désirer.
La comparaison des oppositions calculées avec les oppositions observées donne des équations de conditions, qui servent à déterminer les corrections des éléments de Saturne. Prenons pour exemple l'opposition de cette planète en 1700. Cette opposition a eu lieu le 3 septembre à 3^2", temps moyen, à Paris. On tire de là, pour cet instant,
/i'i + e'=riisi8«28'36",8, nt +e=:io« 6° 46' 44".
Le terme
(48'44"~i.o",i)sin(5«'f — 2/ii + 5e'— 2e + 5°34'8"— f.58",88)
devient 4o'5",i; en le retranchant de n't -\- 1', on a
9'=ii«i7°48'3i*,7.
On trouve ensuite
on aura ainsi
d'où l'on tire
Gj'=:8«27°54'24"; <p'-cj'r=.79'>54'8",
(aSaoi"— f.i",i)sin (9'— cr') =— 22894",8, + 8i5"sin2(9'— nj') = H- 28i",3, - 4o"sin3(cp'-cT')=-^- 34", 5.
On a, de plus,
-6i3"sin(2«i -4/i'i+ 2£-4e'4-55°52'r9"-4-i.42%8834) — + 54", i, + [^i^"'s>m{in't— nt +22'— s + iS" o'57"— i. i4'',2i5) r=+298'',3,
— 35"cos(2«< —3n'f+ 2s — 3e'+ 27030') =— 24'',5,
— 3i''sin(2n< — 2n'i+ 26 — 2e') =-f- 3o",8, + \\"cos{nt +£) =+ 6",6.
En réunissant tous ces termes, on aura —6** 12' 2", 3; cette somme ajoutée à 9' donnera i i*ii°38'i8", o : ce sera la valeur de v\ ou la longitude de Saturne comptée sur son orbite de l'équinoxe fixe de 1750, lorsqu'on fait abstraction des corrections des éléments. Cette valeur de v\ donne —97^,4 pour la réduction à l'écliptique; d'ailleurs, ï.5o",25 est, dans ce cas, égal à — 4i'i8",8. En ajoutant ces deux quantités à la valeur de v\, on aura, abstraction faite des corrections des éléments, 1 1' io*'55'2i", 8 pour la longitude de Saturne sur l'écliptique et rapportée à l'équinoxe mobile.
Maintenant on a
sin ( 9' — ct') =: 0,9845 1 , CCS ( 9'— cj') = o, 17532 ;
la vraie longitude de Saturne sera donc
ii«'io<'55'ai",8 + ôe'— 49,33 ô/i'—2Ôe'. 0,98451 + 2e'(ÔCT'— (5s'). 0,17532.
La longitude calculée par Halley, sur les observations de Flamsteed,
était au même instant égale à ii^io°58'o"; en retranchant cette longitude de la précédente, on aura l'équation de condition
o=z— 2' 38", 2 + ôs'— 49,33 . dn'
— 2Ôe'.o,9845i + 2e'(aGj'- âe'"). 0,1 7582.
C'est ainsi que j'ai formé les vingt-quatre équations de condition suivantes; le temps des oppositions est compté en temps moyen à Paris, suivant le nouveau style :
11391. — 3o décembre, 22" x4".
Longitude héliocentrique observée. . 3' 9° 28' 14' / o =— l' ii^g -+- d£' — 168 an'
' 2Ôe'.o,22o4i — 2e'(ôcT'— ôe').o,9754i,
1598. — 20 mars, aS^o".
Longitude observée 6'o°33'35'
o = - 3'32",7 + as'— i5i,78 an' (2) {
+ 2 ôe'. 0,99974 — 2e'(ÔGj'— ôs'). 0,02278.
1660. — 27 avril, 22''o"'.
Longitude observée 7* 8° 40' 56"
o =: — 5' 1 2", o + §£' — 89,67 dn'
-h 2 âe'. 0,79735 + 2e'(ÔGj'— ae').o,6o352.
1664. — 1 4 juin, iS^aô".
Longitude observée 8'24°3i' 10"
( o=— 3' 56", 7 + ôe'— 85,54(5/1'
( -+■ 2 ôe'. 0,0424 14- 2e'(ÔGj'—Ô5'). 0,99910.
1667. — 21 juillet, o''34'".
Longitude observée 3s28°3i'io"
( o = -3'3i",7 4-ôe'— 82,45(5/i' (5) \
{ — 2(3e'.o,57924-h2e'(ôcT'— ôe').o,8i5i6.
(lO)
1672. — 2o septembre, i2''i6'".
Longitude observée i i»a8"4i'47'
j o =r - 3'32% 8 + ôe' - 77,28 dn'
\ — 2 ôe'. 0,98890 — 2e'((5cT'— as'). 0,1 4858.
1679. — 25 décembre, 22''39'".
Longitude observée 3'4''54'o''
( o = -3'9%9 + (5£'— 7o,oiô«'
( +2Ôe'.o,i259i — 2 e' (ÔGj'— (5e'). 0,99204.
1687. — 29 mars, ii''22'".
Longitude observée 6'9''24'2o''
^gj i o=-4'49",2 + oV- 62,79 on'
( + 2 ôe'. 0,99476 + 2 e'(ÔGj'—Ô£'). 0,1 0222.
1690. — 5 mai, 6" 46'".
Longitude observée j'iS^SS'iS"
( H- 2 ôe'. 0,72246 + 2e'(Ô5T'—Ô£'). 0,69141.
1694. — 21 juin, si^iS'".
Longitude observée 9» 1" 1 1' 10"
( — 2ae'.o,073o3 + 2 e'(aGT'— 5e'). 0,99733.
1697. — 37 juillet, 9''3i"'.
Longitude observée 10*5° 19' So'
( — 2 (5e'.o,66945 4- 2e'(ôcj'— Ô£'). 0,74285.
1701. — 16 septembre, 2''5i'".
Longitude observée n''23''23'3o'
( — 2 ôe'. 0,99902 — 2 e' ( ônj' — es' ) . o,o4435.
OEuvres de L. — XI. 25
1731. — 23 septembre, i5''44'°.
Longitude observée o'o°3o' 5o"
I o = — 3'3i",4 + as'- 18,27 (5/z'
( — 2 ôe'. 0,98712 — 2e'(ôcT' — Ô£'). 0,15998.
1738. — 28 décembre, i''7".
Longitude observée 3' 6° 42' 55"
l o=— 4'9",5 + Ô£'-ii,oiô/i'
1 + 2 (3e'. 0,18759 — 2e'(ôcj' — ôs'). 0,99049.
1746. — 3i mars, io''5i'".
Longitude observée 6' 1 1°3'44"
I + aôe'.o,99348 + 2e'(ôcj'— ôg').o,ii4oi.
1749. — 7 mai, 6" 10™.
Longitude observée 7' 17° i2'3i"
( o = — 4' 3", 8 -+- ds' — o,65 on'
{ -h 2 (5e'. 0,71410 + 2e'((5Gj' — ôs'). 0,70004.
17o3. — 23 juin, 22" 6™.
Longitude observée 3'2"53'49"
i — 2Ôe'.o,o85i8H-2e'(fe'— 5£').o,99637.
17S6. — 29 juillet, 12'' 10'".
Longitude observée 10* 7° 5' 59"
( — 2 ôe'.o,67859 + 2e'(ôro'— Ôe'). 0,78452.
1760. — 17 septembre. S''!!"".
Longitude observée ii'25°i8'24"
j o=—3'i4",o + ae'4- 10,72 on'
j — 2 ôe'. 8,99888 — 2 e' ( ôcj' — d&' ) . o,o569 1 .
1767. — 22 décembre, o'*52'".
Longitude observée 3»o°32'45'
( o = — I '4o", 2 + ôe' 4-17,980/1'
( -h 2 àe'. o,o34o3 — 2 e' ( èvs' —àt'). 0,99942 .
1775. — 25 mars, 2o''4i".
Longitude observée f)'"')''3i'3'
f -h 2 de'. 0,99994 -H 2e'((5tn'— Ô£').o,oio65.
1778. — i" mai, ai^ap™.
Longitude observée 7» 1 2° o' 7", 5
[ -\- 2 ôe'. 0,78255 + 2 e' ( Ô5j' — Ô£' ) . 0,62559.
1782. — 18 juin, i7''33'".
Longitude observée 8'27''55'45''
( o— 4'4'',4 + Ô£'+32,46ôn' (23) <
f + 2 ôe'. 0,0 1794 H- 2 e'(5nT'—Ô£'). 0,99984.
1783. — 24 juillet, 6" 2™.
Longitude observée 10' 2° 3'57'
( o = -4'i7",6-Ha£'+35,56ô/i'
( — 2 ôe'. 0,59930 -h 2e'(Ô5j'— (5£').o,8oo53.
Si Ton ajoute ensemble les vingt-quatre équations précédentes, on aura
\ o = — 4898", 7 + 24 Ô£' — 866,76 an'
\ + 2 ôe'. 0,92446 -h 2 e'(<5GT' -($£'). 5,543 18.
En retranchant la somme des douze premières de la somme des douze
dernières, on aura
io = — 1 24", 3 + 1 1 20,08 en' — 2 ôe'. 0,26234 + 2e'(<5cj'— (5£'),o,oo632.
Le système des équations — (i) + (3) + (4) — (7) -l- (10) -h (i i)
— (i4) -+- (17) -^ (18) — (20) 4- (23) -j- (24) donne
( o = -i5'34",9-i-4Ô£'-t-i5,96ôrt' (c) ^
( — 7.de . 1,76579 H- 2e'(fe' — ôe'). io,83i42.
Enfin, le système des équations -4- (2) — (5) — (6) -h (8) -h (9)
— (12) - (i3) -h (i5) 4- (16) — (19) 4- (21) -f- (22) donne
(rf)
-+- 2 (5e'. 10,70969 + 2e'(ôcj' — as'). i,8i58o.
De ces quatre équations (a), (b), (c), («?) on tire
(5s' =3' 23", 544, §n' =z o", II 793, 2 ôe' =: 3o", 094,
Ôrrf'=i5'45".
Si l'on rectifie, d'après ces résultats, les éléments de Saturne donnés dans l'article XXIX, on aura au commencement de 1750
s' = 7^21° 20' 44", cj'=8«28°i3' 9", e' = o,o56336.
La valeur de ^n' indique qu'il faut augmenter de ^ de seconde environ le moyen mouvement sidéral de Saturne; ainsi, au lieu de le supposer, comme nous l'avons fait, de 43 966", 5, nous le supposerons égal à 43 966", 6. La correction S/i' est donnée par l'équation (b), qui résulte de la comparaison de vingt-quatre observations prises deux à deux et respectivement éloignées de deux, de quatre et de six révolutions de Saturne. J'ai choisi ces distances respectives, parce que les petites inégalités que j'ai négligées, et qui peuvent avoir quelque
influence sur le mouvement de Saturne, se rétablissent à fort peu près dans l'intervalle de deux révolutions de cette planète, en sorte qu'elles ne produisent aucun effet sensible sur la détermination précédente de son mouvement sidéral.
Les éléments que nous venons de trouver, substitués dans les formules de l'article XL, donneront, à fort peu près, le lieu de Saturne pour un instant quelconque; mais, dans le calcul des observations modernes, il sera plus simple de faire usage des formules suivantes.
On déterminera le moyen mouvement sidéral n't de Saturne depuis 1730 en supposant ce mouvement de 43 966", 6 dans l'intervalle de trois cent soixante-cinq jours; en ajoutant ensuite à ce mouvement 7*2i°2o'44", on aura la valeur de n't-\-i' relative à l'instant pour lequel on calcule.
On déterminera pareillement le moyen mouvement sidéral nt de Jupiter, depuis lySo, en supposant ce mouyement de 109 182" dans l'intervalle de trois cent soixante-cinq jours; en ajoutant ensuite à ce mouvement 3°44'3o", on aura la valeur de nt + s relative à l'instant proposé.
On pourra, dans la détermination de ces angles, faire usage des Tables de Halley, de cette manière. Soit i Je nombre des années juliennes écoulées depuis 1700 jusqu'à l'instant pour lequel on calcule; on déterminera, par ces Tables, la longitude de Saturne relative à cet instant, et, en lui ajoutant 54' 20"— i. 34,88, on aura la valeur de n't -h £'. On déterminera pareillement, par ces Tables, la longitude de Jupiter relative au même instant, et, en lui ajoutant — 2o'47"— i.56",i3, on aura nt -\- z.
On retranchera de n' t -h t' la quantité
(48'44''- /.o", 1) sin(5/i'/ - int-^ Se'- 2s + 5°34'8"- i.58%88), soit cp' la différence.
On calculera l'angle cr' d'après la formule
Cela posé, la longitude vraie v\ de Saturne, comptée sur son orbite, de l'équinoxe fixe de 1730, sera
(-; = 9'— (2323i — i. i", i) sin(<p' — cj') + 8i7"sin2(9' — cj')
— 4o"sin3(cp' — gt')
— 6i3"sin(2/i^ — 4/2'^-i-2£ — 4ê'+55°52'i9"+<.42",8834) 4-4j9"sin(2/i7— /ii+2e'— e + iô° o'57"— /. i4",2i5)
— 35"cos(2ni — 3/î'/H-2e — 3e'+27°3o')
— 3i"sin (2«f — 2/i'/ + 2e — 2£') 4- ii"cos(/ii +£).
La longitude T du nœud ascendant de Saturne, relativement à l'équinoxe fixe de lySo, sera
l'inclinaison de son orbite sur le plan de l'écliptique vraie sera
On aura, à très peu près, la longitude héliocentrique de Saturne, rapportée à l'écliptique vraie et comptée de l'équinoxe mobile, en ajoutant à v\ la quantité
i. 5o", 25 — 99" cos(2 v\ 4- 46° 58'),
et l'on aura la tangente de sa latitude héliocentrique, rapportée au même plan, en multipliant la tangente de l'inclinaison de son orbite sur ce plan par sin(p, — I).
Enfin, le rayon vecteur r' de Saturne sera donné par la formule
/•' =z 9,559770 + (0,536846 — i. 0,00002547 ) CCS (ç' — xs' ) — o,oi5io8 C0S2(cp' — us') 4- o,ooo64o ces 3 (9' — vs') 4- 0,0081435 ces ( nt — n' t -\- e— e') 4- o,oo536o5 sin ( nt — in' t -\- e — 2g' 4- 77° 5o' 46") 4-o,oi4i527 cos(2«« — (\n' t 4- 2e — 4£'-t- 55°52'r9"4- 1. 42", 8834).
THÉORIE DE lUPITEU ET DE SATURNE. 199
Il sera facile, au moyen de ces expressions, d'avoir la longitude et la latitude géocentrique de Saturne pour un instant quelconque.
Il faut maintenant examiner jusqu'à quel point les formules précédentes satisfont aux observations de Saturne. La Table suivante présente le résultat de la comparaison de quarante-trois oppositions de cette planète avec ces formules et avec les Tables de Halley.
