n'^m ( 3^^7^«'Q + «'^ ^ j cos(3/i'i — nt-^Sz'—e-^ A

d'où l'on tire

mr'^r' — n'^ e' ^, ^

a'i = {n — 2n') (4n'- n) ^ o,oo536o5 sin(3«'^ - nt -h 3e'— e - rn'— 77050' 46")

4(/i-2/.')(4/.'-/.) ^ 0,00081435 cos(3«'^ - «^+ 3e'- e - 2ct')

~mn'^ ( 6/i' ^ <)0\

La formule (9) de l'article VII, transportée à Saturne, donnera ainsi

^^»= [Z - in-l^'mn^-n)] i «'^«^^^«^ ^«^^^'^'^ " ''' + ^e'- e - .,'- 77050' 46')

r 5n'(3n'-n) ne" o /o^ • /, , o, /x

-+- —, ,, , . , r — 7 0,0081435 sin( 3 n'^ — nt-\- 3e'— e — ani')

/«'^Q r '*' «'(3«'— n) 1) . ,, , -l-2a'*-r^, y-; h ^ ,, ,, / r sin(3«'i — ni4-36'— e-t- A),

d'où l'on tire, en négligeant les termes insensibles, m^v\ — — 5^9 cos(3n'i — nt + 3e'— e — xs'— 77«5o'46'')

H- m ( 5o,o8i I a'Q + 5,28o5a'2 -^ J sin(3/i'^ — nt + 3e'— e -f- A).

Il ne s'agit plus que de déterminer Q et A. Pour cela, j'observe que la partie de R qui dépend de l'angle

Zn' t — «^ + 3 e' — e

peut être mise sous cette forme

Rr= N'o^e'^ cos(3«';— /i^ + 3e'— e — 2Cî')

+ N(*>ee'cos(3«'^ — «i + 3e'— e— ts — ts') -+-N(*)e* cos(3/i'i — «< + 3e'— e — 2C[t) -+-N^»)y« cos(3n'^ — /iiH-3£'— e — 2n),

et l'on trouve

8a2 8 j 4 Ja 8 da}

^ dhf d'Ul'

^ 2 aa 4 "«^t*

. dhf d'^bf

^^^ — 8 1 4 ^a 8 rfa»

On a ensuite généralement, Q étant une fonction homogène de a et

de «' de la dimension — I,

"" da'- ""^ ^^ doc

Au moyen de ces équations et des valeurs de b\*\ U^\ ... et de leurs différences, données dans l'article XXX, j'ai trouvé

a'Nf») = — 1,161936, a'W^ = 3,054469, a'W^) z:= — 0,935400,

da'

a'NW + 5,376964,

en négligeant donc les termes multipliés par y^ et qui sont insensibles, on aura

m èv\ zzz— i4",479 sin(3«'/ — nt + 3e'— s — ivs')

+ 49", 057 'àin {Z n' t — nt-\- 3e'— e — rs — w')

— 10", 685 sin(3n'« — nt -+- 3e'— e — 2gt)

^ 5",9 cos(3/i'/ — wf 4- 3e'— e— cr'- 77^50' 46").

En substituant, au lieu de u et de cy', leurs valeurs, et en réduisant ces différents termes dans un seul, on aura

m 5p', = — 49", 579 sin(3n' ? — /iZ 4- 3e'— e + 88020' 19").

Considérons présentement l'inégalité dépendante de l'angle

2nt — 3/i'^-H26 — 3 e'.

Les quantités du premier ordre nous ont déjà donné une inégalité de cette nature, et, pour en retrouver une semblable, il faut avoir égard

aux quantités du troisième ordre, c'est-à-dire aux cubes et aux produits de trois dimensions, des excentricités et des inclinaisons des orbites. Ces quantités sont très petites par elles-mêmes; mais on a vu, dans l'article XXVI, que les termes du second ordre qui dépendent de l'angle int — [\n!t + 2e — [\€ , étaient fort sensibles dans les expressions du rayon vecteur et de la longitude de Saturne, à cause du très petit diviseur 5/^'— in qu'ils acquièrent par les intégrations. Ces termes peuvent donner, par leurs combinaisons avec l'équation du centre de cette planète, une inégalité sensible du troisième ordre, dépendante de l'angle 2/i« — 3/^'/ + 2£ — 3e'; c'est cette inégalité que nous allons déterminer.

Soit H cos(2/2^ — [\n't -4- 2£ — [\i-^ B) la partie de -7 qui dépend

de l'angle int — [\n't -\- it — 4e', le coefficient H renfermant le diviseur ^n! — m. Si l'on n'a égard qu'aux termes du troisième ordre qui ont ce diviseur et qui dépendent de l'angle int — Zn! t -\- it — 3e', l'équation (10) de l'article VII donnera, en y changeant les coordonnées de Jupiter dans celles de Saturne, et réciproquement,

0=: — \., , , ' -\ 7^— — f /i'«e'Hcos(2ni — 3«'i+ 2e ~ Se'— gj'+B),

partant

— jT- = ; V-7T5 -R cos{2nt — Zti't + 2£ — 3e'— cj'-f- B).

a'^ {2/1 — an' )^ — n^

La formule (9) du même article, transportée à Saturne, donne, en n'ayant égard qu'aux termes du même genre,

^ / fl 3/i'(2n — 3n') 1 ,Tr • / r, , r, , , r»v

àv\— - -+- . ^ „ ,,, VJe Hsin(2«i— 3/i'f + 2e — 3e'— gj'-hB);

or on a, à très peu près, m = 5/i'. On aura donc

m 0^1= 2/?iH|e'sin(2nf — 3/i'^+ 2e — 3e' — gi'h- B);

mais on a, par l'article XXXVII,

2/nH = io'i3'', B- i»25«»52'i9'.

OEuvres de £. — XI. a8

On a d'ailleurs, par l'article XXIX,

C7'z=:8^28°7'24", e'=: o,o56263 ; on aura donc

m ôp'i = 43"cos(2«f — 3/i'^ + 2e — 3e'+ 57°44'55").

Cette inégalité résulte des variations de l'excentricité et de l'aphélie de Saturne, qui dépendent de l'angle

5n' t — int -h 5e' — 2e;

en effet, nous avons vu, dans l'article XXVIII, que les inégalités du rayon vecteur et de la longitude de Saturne, qui ont pour argument

l'angle

2nf — 4«'^4- 2e — 4e'>

pouvaient être considérées comme étant dues à ces variations ; en sorte que, si l'on nomme ^e' et §cy' ces variations de l'excentricité et de l'aphélie de Saturne, la variation

— 2èe' sin{n't -+■ e' — tts' ) -{- 2e' drs' cos{ n't -\-e' — rn')

du terme

— 2 e' sin (n' t-\-£'— xs' ),

qui exprime l'équation du centre de Saturne, est représentée par le

terme

— io'i3" sia{2nt — [\n' t -h 2e— 4e'+ 55°52'i9"),

que renferme la valeur de m §/.

La comparaison de ces deux quantités donne

2Ôe'=io'i3"cos(2/i« — 5n'i+ 2e — Se' + cj'-h 55«52'i9), — 2e'ôcT'=:io'i3" sin(2ni — hn' t-\- 2e — 5e'+ cj'4- 55'»52'i9).

Maintenant, l'expression du mouvement elliptique renferme le terme

4-|e'*sin(2/i'i H- 2e'— 2ct'), et la variation de ce terme est

|e'ôe'sin(2/i'f + 2e'— 2gj') — |e'^ ôgt' cos(2/i'^ + 2e'— 2w');

en substituant au lieu de Se' et de e'Bts' leurs valeurs, cette variation deviendra

|e'io'i3"sin(2/ii — 3n'f + 2e — 3e' — cj'+55»52'i9") ou

43"cos(2/if — 3/i'iH-2e-36' + 57<'44'55"),

ce qui est l'inégalité que nous venons de déterminer. Si l'on réunit cette inégalité à celle-ci

— 35''cos(2«f — 3/i'i + 2£ — 3e'4-27<'3o'),

que nous avons trouvée dans l'article XXXIV, on aura, pour la partie de mBv\ qui dépend de l'angle 2.nt — 3n't-+- 21 — 3e',

môf^'i^r— 2i",8sin(2n« — 3n'<4-2e — 3e'+2i°5o'35").

Considérons enfin l'inégalité qui dépend de l'angle

nt — n' t -+- £ — e'.

Nous avons vu, dans l'article XXXII, que les quantités indépendantes des excentricités des orbites donnent, dans l'expression de m^v\, une inégalité de cette nature, qui, réduite en secondes, est

égale à

-+-y,5sm{nt — n't-i-e — s').

Pour en retrouver une semblable, il faut recourir aux quantités du second ordre. Ces quantités sont très petites par elles-mêmes; mais, comme le rayon vecteur de Saturne renferme une inégalité considérable du premier ordre qui dépend de l'angle ni — 2n't -h i — 22', cette inégalité peut, en se combinant avec l'équation du centre de cette planète, donner un terme sensible dépendant de l'angle nt — n't -h E, — t'; c'est d'après cette considération que nous allons l«^ déterminer.

Reprenons pour cela l'équation (10) de l'article VII, en y changeant

les coordonnées de Jupiter dans celles de Saturne, et réciproquement; si l'on n'a égard qu'à la considération précédente, on pourra négliger, dans cette équation, les termes 2/ d'R et r' -^,y ce qui la réduit à celle-ci

Si l'on ne considère dans m S/ que la partie qui dépend de l'angle nt — 2n't-\-t — £', et qui, par l'article XXXIV, est égale à

o,oo536o5 sin(rti — 2«'i -+- e — 25' + 77o5o'46"),

on aura, en ne conservant que le terme qui dépend de l'angle nt — n' t -\- z — t' y

md'ir'dr') n'^mr'àr'

a'2 dt^

a d'où l'an tire

mr'èr' — n'^

^ o,oo536o5 ^\n{nt — n't-he — e' — cj'h- 77°5o'46''),

— ;- -;0,oo536o5 sin(n^ — n't-hs — e'— ci'+ 77°5o'46'').

Si l'on substitue cette valeur dans la formule (9) de l'article VII, rapportée à Saturne, et que l'on néglige les quantités

3a' fn dt Td'R et ia' in' dt r' ^,,

pour n'avoir égard qu'à ce qui dépend de la considération que nous venons de faire, on aura

;,^a>';^-r- + -^'f^''~'''M-,o,oo536o5cos(/if-/i'^+£-s'-CT'+77''5o'46'0; ^ La n(n — in')\a'

or, on a, à fort peu près, n = \n' , partant

mô</, = — i8",9COs(/ii — n'^ + g — e' — cj'+77''5o'46").

En réunissant cette inégalité à celle-ci