LU

Nous allons maintenant reprendre les inégalités que nous avons déterminées, pour leur donner plus de précision. Nous avions d'abord négligé le terme de ^v\ qui dépend de l'angle 3nt — 3n't -f- 3s — 3s', quoique nous l'eussions déterminé dans l'article XXXII; en y ayant égard, il en résulte dans mSi^\ l'inégalité

— 6",6 sin3(/i< — n't-he — e').

On peut ensuite rendre plus exacte l'inégalité dépendante de l'angle 2.nt — [\T}! t H- 2£ — [\z' , par les considérations suivantes. Par la méthode qui nous a conduit à cette inégalité, nous n'avons déterminé que les termes qui ont 5«' — nn pour diviseur. Pour avoir égard aux autres, désignons par

la partie de R qui dépend de l'angle int — [\n' t -\- it ~ [\^ \ la formule (lo) de l'article VII transportée à Saturne donnera, en n'ayant égard qu'aux termes dépendants de cet angle,

d^ir'àr') n'^r'dr' dr'

o= — \^ -\ -2 n'^'— f [2e' cos{ n't -h e' — rs') — f e'^cos {2 n' t-i- 2 e' — 2 xs')]

Ce Cl/ 6 Ct Cil

^'^ i'^'^W ~ n — ln' ^'^) ^^^(^'^^ - ^^'^ 4- 2s - 4e'4- B).

La valeur de — ^j dans les deux termes qui sont multipliés par l'excentricité et par son carré, ne doit renfermer que les quantités indépendantes des excentricités et celles qui ne dépendent que de leurs premières puissances, puisque nous n'avons égard ici qu'aux carrés et aux produits deux à deux des excentricités; on trouvera, cela posé.

que la partie de l'équation différentielle précédente qui est multipliée

e' èr' par — r- est insensible relativement à celle qui dépend de Q; en la

négligeant donc, on aura

— JT- = 7F-7 TT Q— Tn ~ — ,« Q — «^-Ti cos(2/i^ — /in'< + 2e — 4e'+B)

a'^ {5n' — 2n){2n — ôn')\n — 2n' da' ) \ -> -, ,

et, par conséquent,

' \{5n'—2n){2n — ôn')\n — 2n' oa'J

f^'^ I r^ ^ /o ^Ql • / f , fin.

— — j—^ a Q H -, — -,a^ -~~ sin(2nf — 4n'f+2a— /js'+B).

(2/1 — (\n'Y 211 — [\n' da' \

Or on a

2n=zon' — TT-) do

ce qui donne, à fort peu près,

La valeur de mSv\, que donne la méthode de l'article XXVI, est

— 2/1 m fg^iQ^!2 ^ ) sin(2/îf — 4/i'^ + 2£ — 4e'4-B). on' — 2n\ da J

On voit ainsi qu'il faut augmenter cette valeur de j^, à fort peu près. Il faut l'augmenter encore parce que B n'est pas rigoureusement constant; on a vu, dans l'article XXXVII, qu'il est égal à 55°52'i9"+ï.42",8834; le diviseur 5/i'— in se trouve, par là, diminué d'environ ^, et par conséquent l'inégalité est augmentée de sa 35^ partie. L'accroissement total de cette inégalité est donc à peu près de ^, ce qui la rend égale à

(io'5i" — i.o",oi6o698)sin(2/î^— 4/i'i + 2Ê — /ie' + 55°52'i9"+f.42",8834).

Le coefficient de la même inégalité, dans l'expression du rayon vec-

teur, doit être augmenté à peu près dans le même rapport, ce qui donne, pour l'expression de cette partie de mBr',

4-o,oi5o372 cos{2nt — ^n't 4- ae — 4e'4- SSoSa'ig"-!- i.4a'',8834).

Quant à la grande inégalité de Saturne, elle répond si bien aux observations que nous ne croyons pas devoir y toucher. Peut-être, après plusieurs siècles d'observations précises, on sera forcé de revenir sur cet objet et de pousser l'approximation plus loin, en ayant même égard aux carrés et au produit des masses perturbatrices ; mais, ces termes étant presque insensibles dans l'espace d'un siècle et se confondant avec les éléments elliptiques du mouvement de Saturne, nous nous dispenserons de les considérer. Nous observerons seulement qu'il sera facile de les déterminer d'après cette considération, qu'ils ne peuvent devenir sensibles qu'au moyen des grandes inégalités déjà déterminées, et qui, en se combinant avec les termes dépendants des masses perturbatrices, peuvent en produire de sensibles parmi les termes dépendants des carrés et des produits de ces masses. Au reste, on donnera plus de précision aux inégalités de Saturne, si, au lieu d'employer dans leurs arguments les longitudes moyennes de Jupiter et de Saturne, on fait usage de ces longitudes corrigées par les deux grandes inégalités de ces planètes.

Cela posé, M. de Lambre ayant rectifié les éléments elliptiques de Jupiter et de Saturne par la comparaison de cent trente-deux oppositions discutées avec le plus grand soin, j'en ai conclu les formules suivantes pour déterminer le lieu de Saturne.