LES MORTS

A PARIS, DEPUIS 1771 jusqu'en 1784, ET DANS TOUTE l'ÉTENDUE DE LA KBANCE, PENDANT LES ANNÉES 1781 ET I782.

Mémoires de V Académie royale des Sciences de Paris, année 1783 ; 1786.

La population est un des plus sûrs moyens déjuger de la prospérité d'un empire, et les variations qu'elle éprouve, comparées aux événements qui les précèdent, sont la plus juste mesure de l'influence des causes physiques et morales sur le bonheur ou sur le malheur de l'espèce humaine. Il est donc intéressant, à tous égards, de connaître la population de la France, d'en suivre les progrès et d'avoir la loi suivant laquelle les hommes sont répandus sur la surface de ce grand royaume. Ces recherches tiennent de trop près à l'histoire naturelle de l'homme pour être étrangères à l'Académie; elles sont trop utiles pour ne pas mériter son attention. L'Académie s'est déterminée, par ces considérations, à insérer chaque année dans ses Mémoires la liste des naissances, des mariages et des morts dans toute l'étendue de la France. Un magistrat respectable par ses lumières et par son zèle pour le bien public, et qui depuis longtemps s'occupe avec succès des recherches sur la population, a bien voulu lui procurer tous les renseignements qu'elle pouvait désirer sur cette matière; c'est à lui que nous sommes redevable des listes suivantes. La première embrasse les naissances, les mariages et les morts à Paris, depuis 1771 jusqu'en 1784; elle sert de suite à celle que M. Morand a publiée dans nos Mémoires de 1771. Lés deux autres listes présentent les nais-

sances, les mariages et les morts, dans toute l'étendue du royaume, pendant les années 1781 et 1782; il serait à désirer que les sexes y fussent distingués, comme ils le sont à Paris depuis 174^; mais on doit espérer que le gouvernement, convaincu de l'importance de ces résultats, leur donnera tou-te la perfection dont ils sont susceptibles.

Quoique les naissances soient la source de la population, elles ne suffisent pas cependant pour la déterminer : il faut connaître encore la durée moyenne de l'existence des hommes dans le lieu de leur naissance, quelles que soient les causes qui les en font disparaître ; car il est visible qu'à égalité de naissances un pays sera d'autant plus peuplé que les hommes y vivront plus longtemps ; ainsi, dans les contrées où, le nombre des morts étant sensiblement égal à celui des naissances, la population est à peu près constante, le nombre d'années qui exprime la durée moyenne de la vie est le vrai rapport de la population aux naissances annuelles; c'est le facteur par lequel on doit multiplier celle-ci pour avoir la population. La détermination de ce facteur est le point le plus délicat et le plus intéressant de ces recherches ; voyons comment on peut y parvenir.

Les événements d'un même genre ont des causes uniformes et constantes, mais dont l'action peut être augmentée ou diminuée par mille causes variables qui produisent les irrégularités que nous attribuons au hasard dans la succession des événements. Ces irrégularités, en se compensant les unes par les autres, disparaîtraient dans une suite infinie d'observations qui ne laisseraient ainsi apercevoir que le résultat des causes constantes; mais, dans un nombre fini d'observations, elles peuvent éloigner de ce résultat, d'autant plus que ce nombre est moins considérable. C'est à ces écarts qu'il faut attribuer les différences observées dans le rapport de la population aux naissances, et il en résulte la nécessité d'employer de grands dénombrements pour déterminer ce rapport. On choisira donc un grand nombre de paroisses dans toutes les provinces du royaume pour avoir un milieu entre les petites différences que les causes locales peuvent apporter dans les résultats; on fera ensuite un dénombrement exact

de leurs habitants, à une époque donnée, et, par le relevé des naissances durant les dix années qui précèdent cette époque, on déterminera le nombre correspondant des naissances annuelles. En divisant par ce nombre celui des habitants, on aura le rapport de la population aux naissances, d'une manière d'autant plus précise que le dénombrement sera plus considérable. Comme le nombre des naissances annuelles en France excède celui des morts, il est nécessaire, pour établir une exacte parité entre la population entière de la France et celle de ces paroisses, de les choisir de manière que le nombre total des morts soit à celui des naissances dans le rapport qu'ont entre eux ces deux nombres, relativement à tout le royaume. Si l'on a soin de distinguer les sexes, on aura séparément la population des hommes, celle des femmes et la durée de la vie moyenne de chacun des deux sexes, ce qui est intéressant à connaître. Un dénombrement semblable, fait avec soin dans les divers pays, et renouvelé dans différents siècles, donnerait les différences que le climat, le temps et les gouvernements peuvent produire dans la durée moyenne de la vie des hommes.

Le rapport de la population aux naissances, déterminé par la méthode précédente, ne peut jamais être rigoureusement exact; en lui supposant même une précision rigoureuse, il resterait encore sur la population de la France l'incertitude qui naît de l'action des causes variables. La population de la France, tirée des naissances annuelles, n'est donc qu'un résultat probable, et par conséquent susceptible d'erreurs. C'est à l'analyse des hasards à déterminer la probabilité de ces erreurs et jusqu'à quel point on doit porter le dénombrement pour qu'il soit très probable qu'elles seront renfermées dans d'étroites limites. Ces recherches dépendent d'une théorie nouvelle et encore peu connue, celle de la probabilité des événements futurs prise des événements observés; elles conduisent à des formules dont le calcul numérique est impraticable, à cause des grands nombres que l'on y considère; mais, ayant donné dans ce Volume et dans le précédent (') les principes nécessaires pour résoudre ce genre de questions, et une

( » ) Œuvres de Laplace, T. X.

méthode générale pour avoir en séries très convergentes les fonctions de grands nombres, j'en ai fait l'application à la théorie de la population déduite des naissances. Les dénombrements déjà faits en France et comparés aux naissances donnent à peu près 26 pour le rapport de la population aux naissances annuelles; or, si l'on prend un milieu entre les naissances des années 1781 et 1782, on a 978 o54| pour le nombre des naissances annuelles dans toute l'étendue de ce royaume, en y comprenant la Corse; en multipliant donc ce nombre par 26, la population de la France entière sera de 25 299417 habitants. Maintenant je trouve par mon analyse que, pour avoir une probabilité de 1000 contre i, de ne pas se tromper d'un demi-million dans cette évaluation de la population de la France, il faudrait que le dénombrement qui a servi à déterminer le facteur 26 eût été de 771469 habitants. Si l'on prenait 26^ pour le rapport de la population aux naissances, le nombre des habitants de la France serait 20 785 944» et, pour avoir la même probabilité de ne pas se tromper d'un demi-million sur ce résultat, le facteur 26 ^devrait être déterminé d'après un dénombrement de 817 219 habitants. Il suit de là que, si l'on veut avoir sur cet objet la précision qu'exige son importance, il faut porter ce dénombrement à 1000 000 ou 1200000 habitants. Voici l'analyse qui m'a conduit à ce résultat.

Considérons une urne qui renferme une infinité de boules blanches et noires dans un rapport inconnu, et supposons que, dans un premier tirage, on ait amené/? boules blanches et q boules noires; supposons ensuite que, dans un second tirage, on ait amené q' boules noires, mais que l'on ignore le nombre des boules blanches sorti'ës dans ce tirage; le moyen qui se présente naturellement pour déterminer ce nombre d'une manière approchée est de le supposer avec q'

dans le rapport de/? à q, ce qui donne ^^ pour ce nombre. Déterminons présentement la probabilité que le vrai nombre inconnu sera compris dans les limites ^(i — tj) et ^ (i -h cj), ou, ce qui revient au même, que l'erreur du résultat^ ne surpassera pas ^^-^'

Pour cela, nommons a? le rapport inconnu du nombre des boules blanches au nombre total des boules renfermées dans Turne, et désignons par;)' le nombre inconnu des boules blanches amenées au second tirage ; la probabilité de ce tirage sera, par la théorie connue des hasards,

Mais, p' étant inconnu, il est susceptible de toutes les valeurs depuis />'= o jusqu'à/?' = oo; ces valeurs sont plus ou moins probables, suivant qu'elles rendent le second tirage plus ou moins probable. On aura donc la probabilité de/?' en divisant la quantité précédente par la somme de toutes les valeurs de cette quantité, depuis />'= o jusqu'à p' = 00, c'est-à-dire par la suite infinie

[voï> les pages 428 et 429 de ce Volume (')]. Cette suite est égale à — ^—•, la probabilité de/?' est donc égale à

5 ,■ ^ ' , xP (i — xY^K

Cette probabilité suppose que x est le rapport des boules blanches à toutes les boules renfermées dans l'une; mais, ce rapport étant inconnu, on peut le faire varier depuis a? = o jusqu'à x=^\. Ces différentes valeurs de x sont plus ou moins probables, suivant qu'elles rendent le premier tirage plus ou moins probable; or la probabilité

de ce tirage est

la probabilité de x sera donc égale à -^ — -^ — ^^ ? l'intégrale du

/ xP dx{\ — xY

dénominateur étant prise depuis x=^o jusqu'à x = i \voir la page 43o de ce Volume C)]. En multipliant cette probabilité par celle de/>', on aura la probabilité de />', correspondante au rapport Xy d'où il suit

(') OEuvres de Laplace, T. X, p. 3oo et 3oi (») Ibid., p. 3o2.

que la probabilité entière dep' est égale à

i.'2.3...(p'-\-q') fûcP+P'dx{i — ^)'?+^'+»