II

Pour les réduire à l'équinoxe fixe de lySo, il faut leur ajouter, par l'article XLVIII, 26^*9' 25", ce qui les change dans celles-ci :

En calculant les longitudes géocentriques de Jupiter pour les mêmes instants, j'ai trouvé les suivantes :

Ainsi les différences de la théorie d'avec les observations de Ptolémée sont respectivement

On ne doit point désirer un plus grand accord, si l'on considère l'imperfection de ces observations et l'incertitude des réductions dont nous avons fait usage pour les rapporter à l'équinoxe de 1750. En général, les observations anciennes, celles même d'Hipparque, comportent des erreurs de i5', et il paraît que Ptolémée observait avec moins de précision encore, car ses observations sur les étoiles, comparées à celles d'Hipparque, lui ont donné 36" de précession annuelle des équinoxes, ce qui suppose des erreurs considérables dans ces observations. •

Nous avons encore une observation ancienne de Jupiter, que Bouillaud a tirée d'un manuscrit de la Bibliothèque du Roi. Suivant cette observation, réduite à nos époques, le 26 septembre de l'an 5o8 de notre ère, à 16^, temps moyen à Paris, la longitude de Jupiter parut la même que celle de Régulus ou du Cœur du Lion.

En calculant par nos formules la longitude géocentrique de Jupiter pour le même instant, et rapportée à l'équinoxe de 1750, je l'ai trouvée égale à [\^ iÇ)° l'j' i&' . Voyons quelle était la longitude de Régulus rapportée au même équinoxe.

Suivant le Catalogue de M. l'abbé de la Caille, la longitude de Régulus, au commencement de 1750, était 4*26*^21' 12"; mais M. Maskelyne a trouvé que cette étoile a un mouvement propre de — 4i" par siècle, en ascension droite, et par conséquent de — 4^", 5 environ en longitude; il faut donc ajouter à la longitude précédente le produit de 42", 5 par le nombre de siècles écoulés depuis l'instant de l'observation de Jupiter jusqu'en 1750, pour avoir la longitude de Régulus à cet instant. On aura ainsi 4*26"3o'o" pour cette longitude. La théorie ne diffère donc de l'observation que de 2' 87", ce qui est d'une précision suffisante, et ce qui prouve l'exactitude des éléments dont nous avons fait usage dans la théorie de Jupiter.

SUR

OEuvrcsde l. — W. 3l

SUR

Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris, année 1786; 1788.

Halley s'est aperçu le premier de l'accélération du moyen mouvement de la Lune; mais ce grand astronome n'y a point eu égard dans ses Tables. MM. Dunthorne et Mayer ont examiné de nouveau ce point important de la théorie lunaire; par une discussion exacte et détaillée des observations, ils ont reconnu que le même moyen mouvement de la Lune ne peut satisfaire à la fois aux observations des Chaldéens, à celles des Arabes et aux observations modernes. Ils ont essayé de lefe représenter en ajoutant aux longitudes moyennes de ce satellite une quantité proportionnelle au carré du nombre des siècles écoulés depuis 1700. Cette correction, qui suppose que le mouvement de la Lune s'accélère en raison des temps, est ce que l'on nomme équation séculaire. M. Dunthorne l'a faite de dix secondes pour le premier siècle ; Mayer ne l'a portée qu'à sept secondes dans ses premières Tables de la Lune et ii neuf secondes dans les dernières; enfin M. de la Lande a repris cette matière et l'a discutée avec soin dans nos Mémoires pour 1767; ses recherches l'ont conduit à une équation séculaire de 9", 886 pour le premier siècle.

Les observations arabes, dont on a principalement fait usage, sont deux éclipses de Soleil observées au Caire en 977 et 978; elles ont paru suspectes à quelques astronomes, ce qui a fait naître des doutes sur l'équation séculaire de la Lune; mais les observations modernes, comparées aux anciennes, suffisent pour en établir l'existence. En

effet, M. de Lambre a déterminé, au moyen d'un grand nombre d'observations du dernier siècle et de celui-ci, le mouvement séculaire actuel de la Lune, avec une précision qui laisse à peine une incertitude de quelques secondes; il ne l'a trouvé que de vingt-cinq secondes environ plus petit que celui de Mayer, tandis que les observations anciennes s'accordent à donner un mouvement séculaire moindre de trois ou quatre minutes. Le mouvement de la Lune s'est donc accéléré depuis les Chaldéens, et, les observations arabes faites dans l'intervalle qui nous en sépare venant à l'appui de ce résultat, il est impossible de le révoquer en doute.

Maintenant, quelle est la cause Nie ce phénomène? la gravitation universelle, qui nous a fait connaître si exaxîtement les nombreuses inégalités de la Lune, rend-elle également raison de son équation séculaire? Ces questions sont d'autant plus intéressantes à résoudre que, si l'on y parvient, on aura la loi des variations séculaires du mouvement de la Lune, qui nous est encore inconnue, car on sent bien que l'hypothèse d'une accélération proportionnelle aux temps, admise par les astronomes, n'est qu'approchée et ne doit point s'étendre à un temps illimité.

Les géomètres se sont fort occupés de cet objet, et l'Académie en a fait plusieurs fois le sujet de ses prix; mais les recherches que l'on a tentées à cet égard n'ont fait découvrir, soit dans l'action du Soleil et des planètes sur la Lune, soit dans les figures non sphériques de ce satellite et de la Terre, rien qui puisse sensiblement altérer le moyen mouvement de la Lune; et, pour expliquer son équation séculaire, on a été forcé de recourir à différentes hypothèses, telles que la résistance de l'éther, la transmission successive de la gravité, l'action des comètes, etc.

Cependant, la correspondance des autres phénomènes célestes avec la théorie de la pesanteur est si parfaite et si satisfaisante que l'on ne peut voir sans regret l'équation séculaire de la Lune se refuser à cette théorie et faire seule exception à une loi générale et simple dont la découverte, par la grandeur et la variété des objets qu'elle embrasse.

fait tant d'honneur à Tesprit humain. Cette réflexion m'a déterminé à considérer de nouveau ce phénomène, et, après quelques tentatives, je suis enfin parvenu à en découvrir la cause.

L'équation séculaire de la Lune est due à l'action du Soleil sur ce satellite, combinée avec la variation de l'excentricité de l'orbite terrestre. Pour se former de cette cause la plus juste idée que l'on puisse avoir sans le secours de l'Analyse, il faut observer que l'action du Soleil tend à diminuer la pesanteur de la Lune vers la Terre, et par conséquent à dilater son orbite, ce qui entraîne un ralentissement dans la vitesse angulaire. Quand le Soleil est périgée, son action devenue plus puissante agrandit l'orbite lunaire; mais cette orbite se contracte lorsque le Soleil, étant vers son apogée, agit moins fortement sur la Lune. De là naît, dans le mouvement de ce satellite, l'équation annuelle dont la loi est exactement la même que celle de l'équation du centre du Soleil, à la différence près du signe, en sorte que l'une de ces équations diminue quand l'autre augmente.

L'action du Soleil sur la Lune varie encore par des nuances insensibles relatives aux altérations que l'orbite de la Terre éprouve de la part des planètes. On sait que l'attraction de ces corps change à la longue les éléments de l'ellipse que la Terre décrit autour du Soleil. Son grand axe est toujours le même, mais son excentricité, son inclinaison sur un plan fixe, la position de ses nœuds et de son aphélie varient sans cesse. Or la force moyenne du Soleil, pour dilater l'orbe de la Lune, dépend du carré de l'excentricité de l'orbite terrestre; elle augmente et diminue avec cette excentricité : il doit donc en résulter, dans le mouvement de la Lune, des variations contraires, analogues à l'équation annuelle, mais dont les périodes, incomparablement plus longues, embrassent un grand nombre de siècles. Maintenant que l'excentricité de l'orbite terrestre diminue, ces inégalités accélèrent le mouvement de la Lune; elles le ralentiront quand cette excentricité, parvenue à son minimum, cessera de diminuer pour commencer à croître.

Les mouvements des nœuds et de l'apogée de la Lune sont pareille-

ment assujettis à des équations séculaires d'un signe opposé à celui de l'équation du moyen mouvement, et dont le rapport avec elle est de I à 4 pour les nœuds et de 7 à 4 pour l'apogée. Quant aux variations de la moyenne distance, elles sont insensibles et n'influent pas d'une demi-seconde sur la parallaxe de ce satellite; il n'est donc point à craindre qu'il se précipite un jour sur la Terre, comme cela aurait lieu si son équation séculaire était due à la résistance de l'éther ou à la transmission successive de la pesanteur.

L'action moyenne du Soleil sur la Lune dépend encore de l'inclinaison de l'orbite lunaire sur l'écliptique, et l'on pourrait croire que, la position de l'écliptique étant variable, il doit en résulter dans le mouvement de la Lune des inégalités semblables à celles que produit la diminution de l'excentricité de l'orbite terrestre. Mais j'ai trouvé que l'orbite lunaire est ramenée sans cesse, par l'action du Soleil, à la même inclinaison sur celle de la Terre, en sorte que les plus grandes et les plus petites déclinaisons de la Lune sont assujetties, en vertu des variations de l'écliptique, aux mêmes changements que celles du Soleil. Enfin je me suis assuré que ni l'action directe des planètes sur la Lune, ni les figures non sphériques de ce satellite et de la Terre ne peuvent altérer son moyen mouvement.

L'inégalité séculaire du mouvement de la Lune est périodique, mais il lui faut des millions d'années pour se rétablir. L'excessive lenteur avec laquelle elle varie l'aurait rendue imperceptible depuis les observations anciennes si sa valeur, en s'élevant à un grand nombre de degrés, ne produisait pas des diff*érences considérables entre les mouvements séculaires de la Lune observés à diverses époques. Les siècles suivants développeront la loi de sa variation; on pourrait même, dès à présent, la connaître et devancer les observations si les masses des planètes étaient bien déterminées; mais cette détermination si désirable pour la perfection des théories astronomiques nous manque encore. La postérité, à qui elle est réservée, aura l'avantage déjuger des états passés et à venir du système du monde, avec la même évidence que de son état présent; elle verra sans doute avec reconnais-

sance que les géomètres de ce siècle ont indiqué les causes de tous les phénomènes célestes, et qu'ils en ont donné les expressions analytiques, dans lesquelles il n'y a plus qu'à substituer les valeurs de quantités que l'observation seule peut faire connaître.

Jupiter, dont nous avons exactement la masse, est heureusement celle des planètes qui a le plus d'influence sur l'inégalité séculaire de la Lune. En adoptant sur les masses des autres planètes les suppositions les plus vraisemblables et en réduisant en série l'expression de cette inégalité, le terme proportionnel au carré du temps m'a donné une équation de onze secondes pour le premier siècle, à partir de 1700. Mais j'ai reconnu que, en remontant aux observations chaldéennes, le terme proportionnel au cube du temps devenait sensible, et j'en ai déterminé la valeur. En comparant ensuite les observations avec la théorie, j'ai trouvé- entre elles un accord qui paraîtra surprenant, si l'on considère l'imperfection des observations anciennes, la manière vague dont elles nous ont été transmises et l'incertitude qui reste encore sur les masses de Vénus et de Mars.

Il est assez remarquable que la diminution de l'excentricité de l'orbite solaire soit beaucoup plus sensible dans le mouvement de la Lune que par elle-même; cette diminution qui, depuis l'éclipsé la plus ancienne dont nous ayons connaissance, n'a pas été de quatre minutes, a produit plus d'un degré et demi d'altération dans le mouvement de la Lune; on pouvait à peine la soupçonner d'après les observations du Soleil faites par Hipparque et Ptolémée, mais les anciennes éclipses la rendent incontestable.

Il se présente ici une question intéressante à résoudre. La Lune ne doit-elle pas, en vertu des grandes inégalités que nous venons de considérer, offrir successivement tous les points de sa surface à la Terre? L'égalité des mouvements de rotation et de révolution de ce satellite rend, comme on sait, une moitié de sa surface invisible pour nous ; les inégalités périodiques de ces mouvements nous en découvrent seulement quelques parties, en nous cachant les parties opposées de la moitié visible, ce qui produit le phénomène connu sous le nom de

2i8 SUR L'ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.

libration; l'étendue de ce phénomène dépend de la grandeur des inégalités de la Lune; ainsi les inégalités séculaires de son mouvement s'élevant à plusieurs circonférences, elles semblent devoir nous découvrir à la longue tous les points de son équateur; mais, en soumettant cet objet à l'analyse, il est facile de s'assurer que l'action de la Terre ramène sans cesse vers son centre le grand axe de l'équateur lunaire, et dirige constamment vers nous la même face de la Lune. C'est en vertu de cette action que les moyens mouvements de cet astre sur lui-même et dans son orbite sont devenus parfaitement égaux, quoiqu'ils aient différé à l'origine; elle fait participer encore le mouvement de rotation de la Lune aux inégalités séculaires de son mouvement de révolution, à cause de l'excessive lenteur avec laquelle ces inégalités varient.

J'ai donné, dans un autre Ouvrage, la théorie des équations séculaires de Jupiter et de Saturne, et j'ai prouvé qu'elles dépendent de deux grandes inégalités jusqu'à présent inconnues, et dont la période est d'environ neuf cent dix-huit ans. Si l'on réunit ces recherches à celles dont je présente ici les résultats, on aura une théorie complète de toutes les équations séculaires observées par les astronomes dans les mouvements célestes. J'ose espérer que l'on verra avec plaisir ces phénomènes, qui semblaient inexplicables par la loi de la pesanteur, ramenés à cette loi dont ils fournissent une confirmation nouvelle et frappante. Maintenant que leur cause est connue, l'uniformité des moyens mouvements de rotation et de révolution des corps célestes, et la constance de leurs distances moyennes aux foyers des forces principales qui les animent deviennent des vérités d'observation et de théorie. J'ai fait voir ailleurs que, quelles que soient les masses des planètes et des satellites, par cela seul que tous ces corps tournent dans le même sens et dans des orbes peu excentriques et peu inclinés les uns aux autres, leurs inégalités séculaires sont périodiques. Ainsi le système du monde ne fait qu'osciller autour d'un état moyen dont il ne s'écarte jamais que d'une très petite quantité. Il jouit, en vertu de sa constitution et de la loi de la pesanteur, d'une stabilité qui ne

peut être détruite que par des causes étrangères; et nous sommes certains que leur action est insensible depuis les observations les plus anciennes jusqu'à nos jours. Cette stabilité du système du monde, qui en assure la durée, est un des phénomènes les plus dignes d'attention, en ce qu'il nous montre dans le ciel, pour maintenir l'ordre de l'univers, les mêmes vues que la nature a si admirablement suivies sur la Terre pour conserver les individus et perpétuer les espèces.

Soient x, j, z les trois coordonnées de la Lune, rapportées au centre de la Terre; x' , y\ z' celles du Soleil, rapportées au même point; soient de plus

nommons S la masse du Soleil et R la quantité

^{xx' -\-yy' -^ zz') S

enfin représentons par l'unité la somme des masses de la Terre et de la Lune, et par dt l'élément du temps supposé constant: nous aurons les trois équations différentielles suivantes :

Si l'on multiplie la première de ces équations par dx, la seconde par dyy la troisième par dz\ qu'ensuite on les ajoute et que l'on désigne par la caractéristique d la différentielle prise par rapport aux seules coordonnées x, y, s, on aura, après avoir intégré,

dt^ r a J

CEuvres fie L. — XI. 32

dR

dt'

âa-

d\y df'

ày

d^z df^

ôz

a étant une constante arbitraire qui, comme l'on sait, est le demi grand axe de l'ellipse que la Lune décrirait sans la force perturbatrice du Soleil.

En ajoutant l'intégrale précédente à la somme des équations (A) multipliées respectivement par a?, y, s, on aura l'équation différentielle

xd}x -\- y dp- y -\- z d^z -^ dx^-\- dy^-\- dz^ i i dt'^ r a

r^^ dR dR dR

mais on a

xd^x-hy d^y -hzd^z + dx^-h dy'^+ dz"-^ \ d^ r^,

I i /-,„ dR dR ÔR r a J dx '^ dy dz

2dt^

Si l'on intègre cette équation dans la supposition de R = o, on aura la valeur de r relative au mouvement elliptique de la Lune. Soit Sr la partie de r due à l'action du Soleil; en substituant au lieu de r, dans l'équation précédente, r-i-Sr, r étant ici la partie du rayon vecteur relative au mouvement elliptique, on aura, en négligeant le carré des forces perturbatrices,

d'(rdr) rèr r^^ dR dR dR

dt^ r^ J dx -^ dy dz

La somme des trois équations différentielles (A), multipliées respectivement para;, j, z, donne

— ^d^^-^yd^y-^^cl^^ l àR ÔR dR

~~ dtP r dx ^ dy dz

Soit dv l'angle infiniment petit intercepté entre les deux rayons r et

r-\-dr, on aura

dx^ + dfj2 -+- dz^ = dr^ + r^ dv'^,

partant

xd^x -\- y d^y ■+- zd^z:r=d{rdr) — dx^ — dy^ — dz- ::=: r d^ r — r^ dv^,

ce qui donne

rd^r — r^ds>* i dR dR V?R

dt* r dx ■ dy dz

Supposons que, par l'action du Soleil, dv augmente de d^v; cette équation donnera, en négligeant le carré des forces perturbatrices,

— '' d^ àr -^ àr d^ r ~ 2r àr dv"" — '2r'' dv dàv dr dR m dR

~ dl* r* dx ^ dy dz

Mais on a, dans l'hypothèse elliptique,

r"^ dv — dtsJaXi — e*)y

e étant l'excentricité de l'orbite lunaire; de plus, si l'on fait R = o dans l'équation (C), elle donnera

rdv^ d'^r i

"dF '~ dt^ ~^ F^'

on aura donc

rdHr-àrd'r Sràr 2ddv ,— 5- ôR dR dR

r ô/' Si l'on substitue au lieu de —^ sa valeur tirée de l'équation (B), on

aura

id^v I , d{rdàr — àrdr) id^rdr) ___V^a(,e^)^ dt^ -^—d^-

a Tau r { ^^ àR dR\

Soit nt le moyen mouvement sidéral de la Lune, on aura n^= ~; l'équation précédente donnera donc, en l'intégrant,

/. d(rdr)^rddr fndtfdR

I a}iidt^y ei J y/, e«

(^) \ dR dR dR

I r j àx -^ dy dz f -h 2a I ndt . — •