sji — e

Reprenons maintenant la valeur de R; en la réduisant en série on aura

r' étant considérablement plus grand que r, on peut s'en tenir à ces termes de la série. Prenons pour plan fixe des x et des y un plan très peu incliné à celui de l'écliptique; soient y la tangente de l'inclinaison de l'orbite lunaire sur ce plan, Il la longitude de son nœud ascendant; soient y' et II' les mêmes quantités relativement au Soleil ; soit de plus V la longitude de la Lune, comptée sur son orbite en partant du rayon vecteur dont l'axe des x est la projection sur le plan des x et des j; soit v^ cette même longitude rapportée à ce dernier plan et comptée de l'axe des x; nommons v' et v\ les mêmes quantités relativement au Soleil, on aura, en négligeant les quatrièmes puissances de y et de y',

y2 yî

Vi=.v — "7- sinall — -t- sin(2(^ — 211 ), 4 4

v' =r: v' — V sinall'— V sin(2p'-- 2!!'). 4 4

Si l'on nomme s la latitude de la Lune au-dessus du plan fixe et s' celle du Soleil, on aura à très peu près

5=i:y sin(p — U), s'= y' sin(p' — H');

on aura de plus

a; =: r \/i — s^ cost'i, y -i /• ^i — 5^ siiK^i, z- — rs, œ' =zr' \Ji~ s' '^ co?,v\, y' '~r' sfï~-~ s''^ s,mv\y z'=r's',

partant

on aura donc, en ne conservant parmi les termes de l'ordre y^ et y'^

que ceux qui sont constants, les seuls dont nous aurons besoin dans la suite,

{xx'-\-yy ^ zz'f— [n-cos(2P— iv') — ^y^— iy'*-+- y/cos(n — H')].

Soient

ysinll^r/?, y cosH ^=1 q y y' sinYL' =: p' , y'cosll'=q',

on aura

y^—2yy'cos{Il'—TL')+y'^=:z{p—p'y-\-{q — q'y;

l'expression précédente de R deviendra ainsi

Considérons maintenant les différents termes de l'expression de ùv donnée par l'équation (D) de l'article I, et commençons par celui-ci

a r n dt —

dK dR dR

. j^ ox -^ dy az

ia 1 ndt

On a

dR d^ ^dK

dx dy " âz

Soient nt -{- 1 la longitude moyenne de la Lune, comptée de l'axe des a?; CT la longitude de son aphélie, a et e étant comme ci-dessus le demi grand axe et l'excentricité de son orbite; soient n't -h- s', a', e' les mêmes quantités relativement au Soleil, on aura

r =r a [i-h *e- -h e cos{nt -+- e — m ) +. . .], r' =r a' [n- 1 e" -f- e' cos ( n7 -+- £' — ct' ) 4- . . . ].

On aura donc, en ne conservant que les quantités à très peu près constantes,

<?R (ÎR dR ^^^ r , H 5 , 'i /9 -Kl /\9 -M IMl

or on a

Le terme

n""—.-.- et n'^=z~-

dx ^ ây dz

v/i — e'^ de l'expression de ^v donnera donc celui-ci

On sait que, en vertu de l'action des planètes, le demi grand axe de l'orbite solaire est constant, mais son excentricité varie sans cesse, ainsi que son inclinaison et la position de ses noeuds et de son apogée; on doit donc regarder n' comme constant et supposer e' , p' et q' variables. On peut encore, dans le terme précédent, supposer n constant; car, quoique cette quantité puisse être considérée ici comme variable, à raison de l'équation séculaire du mouvement de la Lune, cependant, comme sa variation est multipliée dans ce terme par la force perturbatrice du Soleil, il est visible que l'équation séculaire qui en résulte dans le mouvement de la Lune est, par rapport à l'équation séculaire de ce mouvement, de l'ordre des forces perturbatrices, et qu'ainsi elle peut être négligée. La partie — / du

terme précédent se réduit ainsi à — ~ — > et par conséquent elle se con-

fond avec le moyen mouvement de la Lune. La partie / —

3/i' r du même terme se réduit à / n' dte'^, et, à cause de la variabi-

lité de e\ il doit en résulter une équation séculaire dans le mouve-

ment de la Lune. Quant à la partie

/n'^ dt

pour voir si elle doit produire des inégalités séculaires dans l'expression de Sp, il faut déterminer les valeurs de e, p — p' etq — q'.

Pour cela, je reprends l'équation

rf2,-2 I I ^ <?R aR dR

idt^ r a J dx -^ dy dz

trouvée dans l'article I; si l'on y suppose

u étant une très petite quantité périodique dont je négligerai le carré et les puissances supérieures; on aura, en ne conservant que les termes constants et ceux dans lesquels u est multiplié par des constantes, et en substituant pour R sa valeur précédente,

da\ d^u u ( 2 èa 2 S a^

èa 2Sa^\ ôa 2^ S a a'^ ) a* a* a'*'

- étant une constante arbitraire ajoutée à l'intégrale TdR.

Maintenant, si l'on différentie l'équation (D) de l'article I et que l'on ne conserve que les termes constants, on aura, en négligeant le carré des excentricités des orbites,

dàv » nn'^

—y- — 3 n jç' — -. — :

dt ° ^n '

mais nt représente, par la supposition, le moyen mouvement de la Lune; il faut donc que cette valeur de -j- soit nulle, ce qui déter-

mine la constante arbitraire g, et ce qui donne

L'équation différentielle en u deviendra ainsi, en observant que -^ — n^

d'u „ / Zèa 2 n'^

et -^ = n'^,

at^ \ a n^ J a b

n étant une quantité variable, cette équation se partage dans les deux

suivantes :

d^u „ / s èa 2 n'^

o — -j—- -h n^ul I — r-

dr \ a n^

Cette dernière équation donne

la première devient ainsi

dru , / 3/i'2

dt^ \ 2

d'oii l'on tire, en intégrant.

u =: ecos

e et X étant deux arbitraires. On voit ainsi que e est indépendant des éléments de l'orbite solaire et qu'ainsi on peut le regarder comme invariable relativement à e'.

L'expression précédente de u ne donne pas, à la vérité, le mouvement de l'apogée de la Lune; on sait, par la théorie de ce satellite, que, pour déterminer ce mouvement, il faut pousser l'approximation jusqu'au carré des forces perturbatrices; mais il est aisé de voir, par cette même théorie, que l'excentricité de l'orbite lunaire reste tou-

jours, à très peu près, constante et ne participe point sensiblement aux variations de l'orbite du Soleil.

Considérons maintenant la variation de l'inclinaison de Torbite de la Lune : reprenons pour cela la dernière des équations (A) de l'article I,

En substituant pour R sa valeur

i -L. ? \r* Z{xx' + yy'+zz')n r' ^ 2 r'^ L '•" J

et en négligeant les cubes et les produits de trois dimensions de z et de z\ on aura

d^z z %z Z^z'ixx' + yy')

O = 1 1 ^ •LjL-L.

Soient z = as^ z' = a' s'; en substituant dans l'équation précédente ces valeurs, « -f- Sa au lieu de r, et a' au lieu de r', elle deviendra

d\'} s f Saa Sa»\ 3S , dt^ a^\ a a^ / a'^

On a, par ce qui précède,

de plus, s' étant la latitude du Soleil au-dessus du plan fixe, on a

s'=y' sin{v'—n').

On aura donc, en ne conservant que le terme dépendant de l'angle nt -+- £,

dt* \ a n* y 2

dy' En intégrant cette équation et en observant que les valeurs de -J- et

du' de -j- sont insensibles, et qu'ainsi on peut les négliger lorsqu'elles ne

OEuvres de L. — XI. 33

sont pas multipliées par le temps t, on aura

5 = 6 sin ( nf 4- s H- -r Q j + y' sin ( /i^ + e — H' ),

ê et Q étant deux constantes arbitraires.

On peut mettre cette expression de s sous cette forme

s= U'-hêcos^Q l^j sin(n< + £)

— />'+6sin(Q ~ — j cos(/if + e);

mais, s étant la latitude de la Lune au-dessus du plan fixe, on a, par ce

s =z q sm{nt -\- s.) — pcos(nt -{- e).

qui précède, On aura donc

ce qui donne

(p — p'Y -h (q — q'Y étant le carré de l'inclinaison respective des orbites du Soleil et de la Lune, on voit que cette inclinaison est constante. La position de Técliptique varie sans cesse, en vertu des actions des planètes, et son obliquité sur l'équateur a toujours diminué depuis les observations les plus anciennes jusqu'à nos jours; mais l'action du Soleil ramène l'orbite lunaire à la même inclinaison sur le plan de l'écliptique, en sorte que les plus grandes et les plus petites déclinaisons de la Lune sont assujetties aux mêmes variations que celles du Soleil.

Il suit de l'analyse précédente que la partie

-f^l^e^-Hp-p'Y-Uq-q'y]

du terme

âR âR dR