X- hr-3 H-S-T

dx "^ dy oz

de l'expression de Bv ne peut donner aucune équation séculaire dans le mouvement de la Lune; en n'ayant donc égard qu'aux équations de ce genre, ce terme se réduit à

3«' /• , , „ I n'dte'*.

Examinons présentement les autres termes de l'expression de lv\

/n dt /*dR qui, par V^i — e»

son double signe intégral, paraît très propre à donner des inégalités

séculaires. On a, par ce qui précède, en n'ayant égard qu'aux termes

à très peu près constants,

la caractéristique d du second membre de cette équation ne se rapportant qu'aux quantités a, e, p Qi q relatives à la Lune. Les deux premières de ces quantités sont constantes, mais les deux autres sont variables, ce qui donne

aà^=^-^^[dp{p-p') + dq{q-q')].

Si l'on substitue, au lieu de p et de y, leurs valeurs trouvées dans l'article précédent, on aura

«dR=-'s[.ysi„(Q-^-)..,'cos(Q-?^')].

On sait que les valeurs de p' et de q' ont cette forme

/>'= A sin(/^ + X)H- A'sin(/'< + V)+. . ., <7' = Acos(/^4-X)-+-A'cos(/'f 4-X') +...,

/, /', ... étant des coefficients extrêmement petits; la différentielle a dR

sera donc exprimée par une suite de termes de la forme

/n dt TdR sera exprimé à fort peu près par une

suite de termes de la forme

— sin Q -, ft — h);

or ces termes sont insensibles à cause de l'extrême petitesse de/rela-

/ndtfA^ . ne produit aucune inéga-

lité séculaire sensible dans le moyen mouvement de la Lune.

Il nous reste à considérer dans l'expression de tv la quantité g?(rar)-i-r£^^ ^^.g jj ^g^ ^jg^ ^^ ^^j^ ^^^ g^^ ^^ v^ pj^g ^^^.^g raison à^ndt^i — e^

sa différence, ne renferment point de termes sensibles de la nature de ceux que nous venons d'analyser. En n'ayant donc égard qu'à ces termes, on a

(E) §ç--.^Jn'dte'*.

Voyons maintenant si l'action directe des planètes sur la Lune produit dans l'expression de ^v des termes du même ordre et du même genre que celui que nous venons de déterminer. Les planètes, ainsi que le Soleil, ne troublent le mouvement de la Lune que par la différence de leur action sur la Terre et sur ce satellite. En désignant donc par R' pour une planète ce que nous avons nommé R pour le Soleil, R' sera relativement à R du même ordre que le rapport des masses des planètes à celle du Soleil.

On peut concevoir R' développé dans une suite de sinus et de cosinus d'angles croissants proportionnellement au temps, et il est

visible que, les moyens mouvements du Soleil, de la Lune et des planètes étant incommensurables entre eux, la différentielle de ces sinus et cosinus, prise en ne faisant varier que les moyens mouvements de la Lune, de ses nœuds et de son apogée, est une quantité périodique. Cette différentielle est égale à dR'; ainsi la partie

n dtfdR'

/ndt

de l'expression de Bv n'est formée que de quantités périodiques dépendantes de la configuration des planètes, du Soleil et de la Lune; il ne peut donc point en résulter d'équation séculaire dans le mouvement de ce satellite.

Quant à la partie

de l'expression de Bv, on voit facilement que les termes à très peu près constants qu'elle renferme ne peuvent dépendre que des variations séculaires des éléments des orbites des planètes, et que, par conséquent, ils sont, relativement à celui que nous avons déjà déterminé, du même ordre que le rapport des masses des planètes à celle du Soleil.

Il est clair que la partie r — r ^^ l'expression de Bv ne pro-

duit aucun terme sensible de la nature de ceux que nous considérons.

On peut appliquer le raisonnement et les résultats précédents aux termes provenant de la non-sphéricité de la Terre. La circonstance de l'égalité des moyens mouvements de la Lune sur elle-même et autour de la Terre exige une discussion particulière des termes provenant de la non-sphéricité de la Lune; mais M. de la Grange, qui l'a faite avec beaucoup de soin dans son excellente pièce sur la libration de la Lune, a trouvé qu'il n'en résultait point d'équation séculaire dans son moyen mouvement (vof> les Mémoires de Berlin, année 1780).

Enfin les géomètres qui se sont occupés de la théorie de la Lune, et M. d'Alembert en particulier, se sont assurés que, de la combinaison des diverses équations du mouvement lunaire, il ne peut résulter aucune équation sensible à longue période et semblable à l'inégalité de neuf cent dix-huit ans que j'ai trouvée dans la théorie de Jupiter et de Saturne. La valeur de Bv donnée par l'équation (E) de l'article précédent renferme donc tous les termes sensibles qui, par la théorie de la pesanteur universelle, peuvent produire une équation séculaire dans le moyen mouvement de la Lune. Examinons présentement les équations séculaires des autres éléments de l'orbite lunaire.

Reprenons l'équation

d^r^ I I r^„ dR dR dR

dt^ r a J dx "^ dy oz

trouvée dans l'article I, et que nous avons discutée dans l'article IV, en négligeant les carrés des excentricités des orbites. Si, dans le coefficient de r^ de l'expression de R, on ne conserve que les termes à très peu près constants, et que l'on néglige ceux de l'ordre des carrés des excentricités et des inclinaisons qui sont constants, on aura

partant

ï^— '-^(^ + te'^)'

2a i AR — ig r — ^^ ^ + -T—T / r'^e'de',

g étant une constante arbitraire ajoutée à l'intégrale aJdR, et que nous avons trouvée, dans l'article IV, égale à ^^- Soit

on aura, en négligeant le carré des forces perturbatrices, et par consé-

quent le produit de — par ces forces,

2a/dR — ^— r i-(ï + îe")H r ue'de';

J on* /i* ' ' in} J

mais on a, à fort peu près,

ce qui donne, à cause de l'extrême lenteur avec laquelle é varie,

/• , , , du e' de'

I ue de =z — —;

*/ ndt ndt

on aura donc

/,„ 2/i" n'*u , , ... 3n'* du e' de' on' n* ' in} ndt ndt

On trouvera pareillement

/ (?R ^R dR\ n'2 3n'*e'» n'*M, , „,

\ (î^ -^ (?/ ^z / an* 4 'ï «

L'équation différentielle précédente deviendra ainsi, en y faisant

d'^u' , ,/ 3<3a 2n'* 3n'»e'*\ dt^ \ a n* ^ /

3n" du' e'de' , ôa , „ 3n'»e'* in^ dt dt a * 4

d'où l'on tire les deux équations suivantes ;

rf«M' , ,/ 3n'« 2in'*e"\ 3n'«

rf<* \ 2n» 4« / 2n»

Cette dernière équation donne à fort peu près, en l'intégrant,

ecos

e étant une constante arbitraire.

Il résulte de cette analyse : i° que la moyenne distance a de la Lune à la Terre est assujettie à une variation séculaire représentée par

^ a\ mais, é ne surpassant jamais j^, cette variation est insensible

et n'influe pas d'une demi-seconde sur la parallaxe ; 2° que l'équation du centre de la Lune est à très peu près constante et qu'elle n'est assujettie tout au plus qu'à des variations du même ordre que celles de la moyenne distance; 3° enfin, que le mouvement de l'apogée est

soumis à une équation séculaire représentée par ^^^fn'dte''^. Cette

équation est fort sensible à cause du signe intégral qui aff'ecte é^; elle est en sens contraire de celle du moyen mouvement de la Lune, avec laqujelle elle est dans le rapport constant de 7 à 4-

Si l'on traite de la même manière la dernière des équations (A) de l'article I, que nous avons déjà discutée dans l'article IV en négligeant les carrés des excentricités des orbites, on trouvera, en nommant s^ la latitude de la Lune au-dessus de l'écliptique vraie,

ê étant une constante arbitraire.

Il suit de là que l'inclinaison respective des deux orbites du Soleil et de la Lune est constante, mais que la longitude moyenne de ses

3/i' r nœuds est assujettie à une équation séculaire égale à ^— j n'dte"^.

Cette équation est en sens contraire de l'équation séculaire du moyen mouvement de la Lune, et elle n'en est que le quart. Il notfs reste maintenant à voir jusqu'à quel point les résultats précédents satisfont aux observations.

VFII.

Pour cela, il faut déterminer la valeur de e'^ qui, comme l'on sait, est une quantité périodique dépendante des masses des planètes, et principalement de celles de Jupiter, de Vénus et de Mars. La masse de Jupiter est bien connue, mais celles de Vénus et de Mars sont inconnues; il nous est donc impossible de déterminer exactement la valeur de e'^, et par conséquent celle de l'équation séculaire de la Lune. Cependant, comme Jupiter a sur la variation de é- une plus grande influence que les autres planètes, et que d'ailleurs quelques autres phénomènes célestes nous ont fait connaître à peu près la masse de Vénus, on peut avoir cette variation d'une manière assez approchée pour reconnaître si elle est la cause de l'équation séculaire observée dans le mouvement de la Lune.

M. de la Grange, dans son excellente théorie des variations séculaires des éléments des orbites des planètes, a adopté, sur leur densité, une hypothèse qui s'accorde assez bien avec les densités connues de la Terre, de Jupiter et de Saturne. Il suppose les densités des planètes réciproques à leurs moyennes distances au Soleil; et, d'après cette supposition, il détermine pour un temps quelconque les inégalités séculaires des inclinaisons des orbites, de leurs nœuds, de leurs excentricités et de leurs aphélies {voir les Mémoires de Berlin pour l'année 1782); mais, comme dans la Physique céleste nous ne voyons point de cause d'où cette loi de densité puisse résulter, cet illustre géomètre a donné, dans les Mémoires cités, les expressions différentielles des inégalités séculaires, en laissant les masses des planètes sous la forme d'indéterminées, en sorte que ces expressions pourront servir à déterminer ces masses lorsque les observations auront fait connaître avec précision les variations des éléments.

L'hypothèse adoptée par M. de la Grange donne 61", 56 pour la diminution séculaire actuelle de l'obliquité de l'écliptique; ce résultat paraît trop considérable, et la plupart des astronomes réduisent cette

Œuvres de L. — XL 34

diminution à 5o". J'ai diminué en conséquence la masse de Vénus et j'ai conservé d'ailleurs toutes les autres déterminations de M. de la Grange sur les masses des planètes. Cela posé, en nommant i le nombre des siècles écoulés depuis 1700, j'ai trouvé, à cette époque,

ai

de' J'ai déterminé ensuite la valeur de ie' -^ pour l'an 700 de notre

ère, en substituant dans l'expression analytique de cette quantité les

valeurs des éléments des planètes qui avaient lieu à cette époque, et

j'ai trouvé, en nommant e\ l'excentricité de l'orbite du Soleil à cette

même époque,

2 e' de'

ai

Soit maintenant

e'2=A+Bt + Ci%

2 étant compté de 1700; on aura

^^^'==Bz=-o",3i588.

di

En faisant ensuite ï := — 10, on aura

9 e' de'

On aura donc

B=:o",3i588, C=-:-o",ooi87i5.

Reprenons maintenant l'équation (E) de l'article V,

^ç:=^-l!}L Çn'dte'K in J

On a

n' dtz=z\oo. 36o** di ;

de plus

En substituant donc au lieu de c" sa valeur précédente, et en réduisant les valeurs de B et de C en parties du rayon, ce que Ton fera en les divisant par 57"r7'44''» on trouvera

dp — — 2 2 , 44 1 03 . i So» A f 4-1 1 ", 1 35 «■» H- o", 04398 i} .

Le premier terme de cette formule se confond avec le moyen mouvement de la Lune observé en 1700; ainsi, l'équation séculaire de ce

satellite est

Cette valeur peut s'étendre, sans erreur sensible, aux observations les plus anciennes de la Lune et à mille ou douze cents ans dans l'avenir.

M. de Lambre a conclu, de la comparaison d'un grand nombre d'observations de la fin du dernier siècle et de celui-ci, qu'il faut diminuer d'environ 25" le mouvement séculaire de la Lune des nouvelles Tables de Mayer. Il faut donc ajouter — 25", i au moyen mouvement de ces Tables, en partant de 1700; et, comme cet illustre astronome emploie une équation séculaire proportionnelle au carré des temps et de g" pour le premier siècle, les lieux de la Lune calculés sur ces Tables doivent être corrigés par la formule

Voyons si cela s'accorde avec les observations.

M. de la Grange, dans sa pièce sur l'équation séculaire de la Lune, qui a remporté le prix de l'Académie sur cet objet, et qui est imprimée dans le Volume des Savants étrangers pour l'année 1773, a donné, page 56, les erreurs des Tables de Mayer, comparées aux éclipses anciennes. Il assure que les calculs ont été faits avec soin, de manière à pouvoir compter sur leur exactitude. Voici ces erreurs et celles de ces mêmes Tables corrigées par la formule précédente.