B(*) cos 2 { n' t — nt -h e'—e
- étant une constante ajoutée à l'intégrale / dR. On aura ensuite
^^ j ^- -T 7? cos(n'^— nt-\-t' —t)
\2 aa \ ua a'^ J
C0S2(/i'< — nt + £' — £)
W\ W\ W\ . . . étant fonctions de a et de a' dans ces deux formules.
Nous étant proposé de conserver les termes dans lesquels r^r est
multiplié par une constante, nous devons ajouter aux seconds membres
de ces formules les termes de ce genre que renferment y dR et
r^-- Or, si dans le terme B^"^ de R on substitue a -\ au lieu
or 1 a
de r, il en résultera le terme — m'^—^ —^ — : la fonction 2 / dR con-
ia oa J
tient donc le terme — /w' — — r — En substituant pareillement
a aa *■
r ôr (?R
an au lieu de rdans la fonction r-r-» on voit qu'elle contient le
a or *
terme (— ^ \-a , . )• Cela pose, si Ion rassemble tous
ces termes dans l'équation différentielle (i) et qu'on la divise par a';
si l'on observe de plus que l'on a 72^= — ^-, et si, pour abréger, on suppose
N.= „» r,- ii? - P-ri2 - -ï^ (3 ^-?^ + «»].
I a a} 2 \ aa aa* /J
3a^ 2 aa
— m'n} a- -^ r; H A «R^ ' tï CO%{n' t — nt + t' — t)
L da a'^ /i — n' \ " / J
— m'n» fa»^5!!! + ^^ «B^»)^ cosa(n'f - nf + e'- e) \ aa n — n J
— m'n} ( a^ ^^ + j^i ^g(,) \ cos3(n'< — nt + g'— c) \ da n — n' /
OEavre* Je £. — XI. 4l.
on aura
L'action des autres satellites et celle du Soleil ne feront qu'ajouter à cette équation et à l'expression de N^ des termes semblables à ceux que produit l'action du satellite m! \ il sera facile de les déterminer par analogie; ainsi nous en ferons abstraction ici pour simplifier le calcul.
Si l'on intègre l'équation précédente, sans y ajouter de constantes, on aura
rôr /^V T^ P — I© m'a" dW'^
«2 — Nn 3a^ 2 da
i^n — n'f—W'Y da a"" n — n'\ a'Vj "
— — — — [a^— 1 ^aB(2) cos2(/î'i—nf + £'—£)
m' nr ( -^B^^) in -n.^.X r, i i . . f \
MO i^J^'"j ^ i^B^^ ) cos3 {n' t— nt -h e'—t)
g{n — n'y — N- \ aa n — n' J
La partie constante de cette expression est ce que nous avons désigné
. , àa
ci-dessus par — ment peu de n-^
ci-dessus par — ; on aura donc, en observant que N^ diffère extrême-
èa ^, P — 19 rn'a^ dW^
a ■ 3a'^ 1 da
(?R . j rèr
Si l'on substitue les valeurs précédentes de ydR, r-r- et de — ^ dans l'expression de ^v^ donnée par la formule (2) de l'article II; si Ton néglige les excentricités, et qu'ainsi l'on suppose r= a, on aura, après toutes les réductions,
n — n'\n — n'\ a'^J {n — n'y — N* L ^^ ^ "^ — '^ V ^ vJ)
nm' r n „,.. 2N2 / dB(^> m „,,A1 • , ,, , , , ^
7 jr\ 7aBW+ — la^ 1 -aB^^n \ smi (n' t — nt -h s'— s)
i{n — n') [^n— n' 4(^ — «)— N-\ da n — n'J}^
ô{n — n')\n — n' (^{n~n'Y — W\ da n — n' J\
Cette expression de Bv sera facile à réduire en nombres lorsque l'on
aura déterminé numériquement la valeur précédente de — j--
nt étant supposé représenter le moyen mouvement du satellite m, son coefficient dans la valeur de Bi> doit être nul, ce qui détermine la constante K; on aura donc
3 a* ' da
fi/y
En substituant cette valeur de K et celle de — dans l'expression de N', elle deviendra
r' èr' y r" $r" > r" èr"
On aura les expressions de — j^, ôp', — ;^j-> ùv'\ — ï^j-> ôt^'^, en changeant dans les valeurs précédentes de ^—f et de Bv les quantités relatives au premier satellite dans les quantités semblables relatives au second, au troisième et au quatrième satellite, et réciproquement.
Les rapports qu'ont entre eux les moyens mouvements des trois premiers satellites donnent des valeurs considérables à quelques-uns des termes de ces expressions; ces termes méritent une attention particulière en ce qu'ils sont la source des principales inégalités observées dans les mouvements des deux premiers satellites.
Le moyen mouvement du premier satellite de Jupiter est, à fort peu près, double de celui du second, qui lui-même est à peu près double du moyen mouvement du troisième satellite. Il suit de là que le terme
de l'expression de — y-> qui dépend de l'angle 2n't — 2nt -t- 2e'— 2£,
doit devenir fort grand par son diviseur
4(,j,i')2 N« ou (2/1 — îî«'-t-N)(2«-2n'— N),
car N et 2n' étant fort peu différents de n, le facteur 2n — tin'— N est
très petit et donne une valeur considérable au terme dont il s'agit. On voit en même temps la nécessité de déterminer N avec précision, comme nous l'avons fait, parce que sa différence d'avec n, quoique très petite, devient sensible dans le facteur in — in' — N. Le terme — 2(1 + m)n-^ — ~ de l'expression de N% qui dépend de la figure de Jupiter, surpasse considérablement ceux qui dépendent des actions des satellites, comme on le verra ci-après; nous pouvons donc supposer, sans erreur sensible.
dans le facteur m — iri —^, et faire /2 = N dans tous les autres termes.
La partie de Sp, qui dépend de l'angle in! — int -\- 11' — 2£, est pareillement fort considérable, à cause du diviseur
En supposant donc
f?R(2) on
aa n — n
en faisant ensuite N = /« et in'=n dans le facteur m — 2/i'h-N, on aura, en n'ayant égard qu'à la partie de ^—^■) qui a pour divi-
seur m ^ 2/2' — N,
r(5r nm'Y , ,
a^ i{p.n — in' — N) '
On aura, dans les mêmes suppositions,
^ nm'F . / ,
OV=z ^81112 (/if — 11' t-\- £ — e').
in — 2 /i' — N
Cette partie de Iv est la seule inégalité sensible dans le mouvement du premier satellite, et l'observation est en cela conforme à la théorie, puisqu'elle n'indique que cette inégalité.
Si, dans la théorie du second satellite, on désigne par N' la quantité
qui correspond à N dans la théorie du premier, il est aisé de voir que l'expression de — j^ renfermera le terme
Le diviseur (« — /^')^ — N'^ est égal à
or, N' étant fort peu différent de n\ et n étant peu différent de in\ le facteur /i — w' — N' est très petit, ce qui donne au terme précédent une valeur considérable; en supposant donc
aa' a* n — n' \ a^ J '
en faisant ensuite n = 2n' et W=n' dans le facteur n — /i'-hN', on aura, en n'ayant égard qu'à la partie de — j^, qui a pour diviseur /i — /i'— N' et qui dépend de l'action du premier satellite,
r' ôr' n'mG , , ,.
on aura, dans les mêmes suppositions,
-, n'mG . , , -,
ov'=i — r— xf7 sin(/ji — n' t-\- 1 — e ).
Ces valeurs ne sont relatives qu'à l'action du premier satellite; l'action du troisième produit encore des termes sensibles dans les expressions de — 7^ et de §/. En effet, le mouvement du deuxième satellite
étant à fort peu près double de celui du troisième, il doit en résulter dans ces expressions des termes analogues à ceux que l'action du
deuxième satellite produit dans les valeurs de — y- et de ^v. Nommons B'(o)^ B'(i)^ B'(2)^ ^ relativement au second et au troisième satellite, ce que nous avons désigné par W\ W\ W\ . . . , relativement au pre-
mier et au second; supposons ensuite
da! n' — n"
nous aurons par l'action du troisième satellite
in! — m" — N
En réunissant ces valeurs aux précédentes, on aura tous les termes sensibles des expressions de — j^ et de §/.
Un rapport très remarquable qui existe entre les moyens mouvements des trois premiers satellites réunit en un seul terme les deux termes des expressions de — j^ et de w dus aux actions du premier
et du troisième satellite. Nous avons observé que le moyen mouvement du premier satellite est à peu près double de celui du second, qui lui-même est double à peu près du moyen mouvement du troisième satellite. Il en résulte que le moyen mouvement du premier satellite plus deux fois celui du troisième est à peu près égal à trois fois celui du second, ou, ce qui revient au même, que l'on a à peu près n + 2n"= 3n'. Cette égalité est tellement approchée, que depuis plus d'un siècle les observations n'y ont fait apercevoir aucune différence sensible, en sorte que l'on peut rejeter sur les erreurs des Tables la différence très petite qu'elles donnent à cet égard. Nous pouvons donc supposer, au moins dans l'espace d'un siècle, n -h 2.n"=:3n'. Nous verrons dans la suite que cette égalité est rigoureuse.
Les observations donnent encore, à très peu près, depuis plus d'un siècle, la longitude moyenne du premier satellite, plus deux fois celle du troisième, moins trois fois celle du second, égale à i8o*'; en sorte que, dans l'intervalle d'un siècle, on peut supposer
nt--^n't + 2«*^ + £ — 3£'+ 2e"=:i8o°
et, par conséquent,
2n' t ~ in" t 4- 2e'— 2g"=: nt — n' t -h s — e'— i8o°.
Nous verrons encore dans la suite que ces égalités sont rigoureuses.
r' àr'
Les termes de — j^ et de ^v', qui dépendent de l'action du troisième
satellite, deviennent ainsi
r'ôr' n'm"Y'
a'* 2(n — rt' — N)
n'mT'
hv' =: -, — zrr, sin ( nt— n't -i- e — b').
Si l'on réunit ces valeurs à celles qui dépendent de l'action du premier satellite, on aura
'-^= ^^^l,^,^{m"F'-mG)cos{nt-n't + e~e'),
n' ôp' = -, — ^, (m"F'—mG)smlnt—n't -{-£ — £').
L'action du second satellite produit dans la théorie du troisième des termes analogues à ceux que l'action du premier produit dans la théorie du second; en faisant donc
G'= a"* ^ - ^ - -?^, KB'(«)- ^ ), âa" a'* n' — n" \ a'* /
on aura
r"dr' n"m'G' , , „ , „,
àv = — sminU—nU-i-s'—s").
Les valeurs de — j^ et de ôt'" peuvent recevoir encore quelques termes sensibles de l'action du quatrième satellite; mais son moyen mouvement étant sensiblement moindre que la moitié de celui du troisième satellite, ces termes doivent être peu considérables; nous y aurons cependant égard dans la suite.
Considérons présentement la loi des inégalités précédentes dans les éclipses des satellites. Pour cela, nous donnerons aux valeurs précédentes de Bç, Sç'' et Sç'" les formes suivantes
ôp r= (i) &m2{nt —n't-he—e'),
■ di>'=z—{u) sin {nt — n' t + t — e'),
0/'=:— (m)sin (n'i — /î"^H-e' — e"),
les coefficients (i), (ii), (m) étant positifs, comme il résulte de ce que Ton verra ci-après. Au lieu de rapporter les angles nt -\- 1, n't -i- e', n"t -f- 1" à une ligne fixe, nous pouvons les rapporter à un axe mobile, parce que la position de cet axe disparaît dans les angles
i{nt — n'? + £— e'), nt — n' t -\- z ~ t' , n' t ~- n" t -^ e'— z".
Concevons que cet axe mobile soit le rayon vecteur de Jupiter supposé mû uniformément autour du Soleil; dans ce cas, les angles nty n'ty n"t seront les moyens mouvements synodiques des trois premiers satellites. Concevons, de plus, que les angles £ et t' soient nuls, c'està-dire qu'à l'origine de t les deux premiers satellites aient été en conjonction; l'équation
nt — Zn't-\- in"t + e — Se'H- 26"= i8o° donnera t"= 90°. Les expressions de Bv, Bv', Bv" deviendront ainsi
èv := (i) sin2(/ïi — n't), ôp'^=— (11) sin {nt —n't), àv"=^ (m)cos {n't — n"t).
Dans les éclipses du premier satellite, au moment de la conjonction moyenne, nt est nul ou multiple de 36o*' ; soit donc in— 2/^'=/^ + a)
o\k n — in!=. w, on aura
ôp-^r (i) sinwi.
Dans les éclipses du second satellite, à l'instant de la conjonction moyenne, n't est nul ou multiple de 36o°; on aura donc alors
5p' = — (ii)sinw^.
Enfin, dans les éclipses du troisième satellite, à l'instant de la con^ jonction moyenne, «"/est nul ou multiple de 36o°; on aura donc alors, en vertu de l'équation n — 2«'= n'— in",
6^":=^ (m) coswi.
On voit ainsi que les valeurs de cv, ^v' et ov", dans les éclipses des satellites, dépendent du même angle o)/. La période de ces valeurs est, par conséquent, la même et égale à la durée de la révolution syno-
dique du premier satellite, multipliée par — — — ^» nt et n' i étant ici
les moyens mouvements synodiques des deux premiers satellites. En substituant pour n et n' leurs valeurs, on trouve que cette période est de 437^1 5'' 12™. Tous ces résultats sont parfaitement conformes aux observations qui ont fait reconnaître les inégalités précédentes, avant qu'elles aient été indiquées par la théorie.
La détermination des inégalités précédentes n'a de difficulté que celle de la formation des quantités W\ B(*\ W\ ... et do leurs différences. J'ai donné des formules pour cet objet dans les Mémoires de l'Académie pour l'année 1785, pages 64 et suivantes ('); je vais rappeler ici les principales.
Soit — -- a, et supposons que l'on ait
(i — iaco%B + a')-'z={b[V + Z>;"cos0-f- èi."cos2Ô-J- è'"cos30-+-. . ., on aura généralement
On pourra, au moyen de ces formules, déterminer b^j-\ b[^\ .... (') Ci-dessus, p. 124 et suivantes.
CEuvres de L. — W. 4^
b'f^^, . . . lorsque b'f^ et èj" seront connus. On a ensuite
doc a(i — a^) * i — a^ ' '
Cette équation différentiée donnera les différences secondes de b'-J\ 11 ne s'agit donc que de déterminer b^'f' et b\*\
Dans la théorie des satellites, s = ^, et l'on aura de cette manière les valeurs de 6',"' et de b\^\ On déterminera d'abord les quantités b"^l
et 6"J au moyen des suites
b^^l fi I i.i , i.i I.I.3 , I.I.3 1. 1.3.5 , 1
Ces deux suites sont fort convergentes, et il suffît dans tous les cas d'en prendre les dix ou onze premiers termes. Lorsque l'on aura ainsi déterminé b^y^^ et è^'J, on aura 6^"' et b\*^ au moyen des formules
hiO)
2aè(°| +
3(i + a2)Z>'il
Maintenant, on a généralement
^ c'a aa
Quant aux différences partielles de B^'^ prises relativement à a', on observera que B^'^ est une fonction homogène de a et de a' de la dimension — i; or on a, par la nature de ce genre de fonctions,
aa' da
d'où il est aisé de conclure les valeurs de aa' -, — 7-7? a'^-^^, . •; on
da da' da'
THÉORIE DES SATEtLITES DE JUPITER. 331
pourra donc ainsi déterminer les valeurs de B^<'\ B''\ B''', ... et de leurs différences, prises soit relativement à «, soit relativement à a'.
Des inégalités du mouvement des satellites dépendantes des excentricités des orbites.
Considérons présentement les parties du rayon vecteur et de la longitude des satellites qui dépendent des excentricités des orbites. Pour cela nous reprendrons l'équation (i) de l'article II, en la mettant sous cette forme
d'iràr) {i + m)rèr V^^^~''dr a- al'' «-/■•* cû'
Les termes dans lesquels rZr est multiplié par une constante et ceux qui dépendent du sinus et du cosinus de l'angle nt -\- t méritent une attention particulière, en ce qu'ils déterminent les variations de l'aphélie et de l'excentricité de l'orbite; nous allons donc les discuter avec soin. Les termes dans lesquels ror est multiplié par une constante ont été déjà déterminés dans l'article IV; pour avoir ceux qui dépendent du sinus et du cosinus de l'angle nt+i, considérons la partie
-y^ ■' — /n'B<*> cos((^'— v)
de la fonction R; si l'on y substitue a' H- ^—^y au lieu de r' , Br^ étant ici la partie de / qui dépend de l'excentricité de l'orbite du satellite m', cette substitution produira la quantité
m'r'$r'/'2a , dB'»)^
Or, en nommant e' l'excentricité de l'orbite de m\ et ts' la longitude de son aphélie, on a, comme l'on sait, aux quantités près de l'ordre c'',
— — - =:e'cos(/i'/ + e'— Gj');
la quantité précédente donnera par conséquent un terme dépendant du cosinus de l'angle nt -\- 1 —■ vs' ; nous ne conserverons ici que ce terme.
Dans l'orbite elliptique, t^' est égal à ji't + t'— 2e'sin(/i'^-f-£'— cj'),
ou, ce qui revient au même, à /i7-h£'+ -^j^rjf} en substituant cette
valeur dans la fonction
-^77- cos((^'-— p) — m'B'*' cos(p'— (-'),
il en résultera le terme
2m'd{r'ôr') / a
a'^n'dt
(^- B(iA sin(n'^ — nt + e'— e).
Nous ne retiendrons encore dans ce terme que la partie qui dépend de l'angle /^^ + £ — cr'.
On s'assurera facilement que les termes précédents sont les seuls qui, dans le développement de la fonction R, dépendent du sinus et du cosinus de l'angle nt -\- £, du moins en n'ayant égard qu'aux premières puissances des excentricités; de plus, on a évidemment, en n'ayant égard qu'à ces termes, y dR — R, partant
J dr a'- \a'^ oa' dada )
a'^n'dt V« da ) ^
l'équation différentielle en -^ deviendra ainsi, en n'y considérant que les termes multipliés par rlr, et par le sinus et le cosinus de l'angle nt + £, et en y substituant n^ , au lieu de ^j
a^ dt a'-
a'2 V «^ da' oa da' J
a'hi'dt \a'^ da J ^
Supposons
— ~ =hcos{nt -hs —gt — T)f
r'ôr'
-^ = h'cos{n'l-\- £'- gt - T),
g étant un très petit coefficient dépendant des forces perturbatrices. En substituant ces valeurs dans l'équation difTérentielle précédente et en négligeant les carrés et les produits des forces perturbatrices, la comparaison des coelficients de cos (nt -h s. — gt — T) donnera, en mettant pour N* sa valeur trouvée dans l'article IV,
„ = 4*' Luis ."î! (,, ^ + , ,. ^'\]
\n a* 2 \ da ^ da^ J ]
\ àa da' * dada'J
Pour donner à cette équation la forme la plus simple dont elle est susceptible, nous observerons que l'on a, par l'article précédent.
d'où l'on tire
da' da
dada' da da"^
En substituant ces valeurs dans l'équation précédente et en y mettant, au lieu de B^"^ B^'^ et de leurs différences relatives à a, les valeurs déterminées par l'article précédent, on aura
■ 4-ia
doL ' « da}
db\'^ d'b
i dtx - doc^
Si 1 on substitue, au lieu de |, |^, b\^\ i et \, leurs va-
doc doc- - dx da.-
leurs en b^^\ et è^'J, qu'il est facile de conclure des formules de l'article
précédent, on trouvera
db^^^ d^b\^^ Sa^è'i]
+ la
dof. ^ doc^ 2(1 — a*)»
db^l' d^bf fa2 6^'>|+3a(n-a2)6[^'|
Soit maintenant T la durée d'une année julienne, nT sera le moyen mouvement du satellite m dans cet intervalle; multiplions l'équation précédente entre h et h' par nT, et supposons ^T =/, en sorte que/soit le mouvement de l'aphélie durant une année julienne; supposons encore
, , 3m'/iT ^'^-i
1 3m'/iT 2 -i ^ '^ -i
l'équation entre h et h prendra cette forme très simple
Il est visible que les actions des satellites m!' , ni" sur m ajoutent au second membre de cette équation des termes analogues à ceux que produit l'action de ni. Soient donc (o, 2) et lo, 2J ce que deviennent
(o, i) et I o, 1 1 lorsque l'on y change m' et a' dans m" et a"-, soient pareillement (o, 3) et |o, 3| ce que deviennent les mêmes quantités lorsque l'on y change ni et a' dans m'" et a'"-, enfin nommons h" et A'" ce que devient h relativement à m" et m'"; on aura, en vertu des actions réunies de Jupiter et des satellites,
L'action du Soleil sur le satellite m ajoute encore un terme au second
membre de cette équation. Pour le déterminer, nous considérerons le Soleil comme un satellite de Jupiter. Dans ce cas, si l'on nomme D'
la moyenne distance de Jupiter au Soleil, on aura a = —, et les valeurs de b^^\ et U^\ de l'article précédent deviendront
8lJ^
La distance D' étant incomparablement plus grande que a, nous pouvons négliger les termes divisés par D'*; la fonction (o, i) devient ainsi, en y changeant m' dans S et à dans D',
, 3SnT a»
et la fonction
est nulle. Soit présentement MT le moyen mouvement sidéral de Jupiter, on aura, à très peu près, M^'rzr — ; on a
ensuite n} =z ~. On aura donc, relativement au Soleil,
nous désignerons cette dernière fonction par | o | . On aura, cela posé, en vertu des actions réunies de Jupiter, des satellites et du Soleil,
Si l'on considère pareillement les perturbations du mouvement de m', il est visible qu'il en résultera une nouvelle équation semblable à la précédente, et qui s'en déduit en y changeant les quantités relatives à m dans celles qui sont relatives à m', et réciproquement.
Soient (i), | 1 |, (1,0), | i,o|, (1,2), [ i , 2 1 , (i,3), | i>3| ce que deviennent (o), r~ô~| , (o, i), |o,iJ , (o, 2), [072] , (o, 3), [ôTJ] ,
on vertu de ces changements; on aura
Si l'on désigne semblablement par (2),
, (2, 3), I 2, 3| ce que deviennent les quantités (o), , (0,2), I o, 2| , (o, 3), I o, 3| lorsque l'on y
change ce qui est relatif à m dans ce qui est relatif à m", et récipro-
quement ; si l'on désigne encore par (3), | 3 | , (3, i), 3, i
(3,2), I 3, 2[ , (3,0), 3,0 ce que deviennent les mêmes quantités lorsque l'on y change ce qui est relatif à m dans ce qui est relatif à m'", et réciproquement, on aura les deux équations
in
j + 1^^ h + RTn h'-+- [^73] h'",
W existe entre les fonctions (0,1) et (1,0), (0,2) et (2,0), ... des rapports remarquables qui peuvent servir à déterminer ces fonctions les unes parles autres. On a, par ce qui précède,
On a ensuite, par l'article précédent,
(a^ — 2aa' co^B + a'-^y —a! (^ 6'»^ -+- 6"] cosÔ + è'%| COS2Ô+.. .\.
Supposons qu'en développant le premier membre de cette équation suivant les cosinus de l'angle 0 et de ses multiples on ait la série
^{a, a') -h (a, a')' cosO 4- . . . , on aura
partant
3m'nT a}a'{a, a')' (o,i) ^— -^--^.
En changeant dans cette expression de (o,i) les quantités m', n, a et a\ dans m, n\ a! et a, on aura l'expression de (i,o); mais (a, a')' reste toujours le même après ce changement; on aura donc
(o, i)mn'a' =r- (i ,o)m' na.
d'où l'on tire On a
partant
On aura donc (i,o) au moyen de (o,i), en multipliant cette dernière quantité par ~, ya-
Il est clair que l'on aura pareillement les relations suivantes :
(0,2) m y/a =:(2,o)m" \/a", (0,3 )m y/a =z {3,o)m'' ^a'", {1,2) ni' s/a' =1: ( 2 , 1 ) /n" \/a", ( 1 ,3)/n' v'ô^ =: (3, 1 )/n"'v/^, (2,3)mV«" = (3,2)m"'v/«*-
On s'assurera d'une manière semblable que les mêmes relations subsistent entre |o, 1 1 et ( i,o| , |o, 2"! et |2,o| en sorte que l'on peut,
dans les relations précédentes, changer les crochets ronds en crochets carrés.
Si dans les équations («), («'), (i"), (i'" ) on élimine les arbitraires
Œuvres de L. — XI. 4^
A, h! , h", h", on aura une équation en /du quatrième degré. On aura de plus les valeurs de A', h", h", au moyen de h, sous cette forme
ê', ê", 6'" étant des fonctions de/, et la constante h étant arbitraire.
Soient/, fi, fi, fz les quatre racines de l'équation en /, on aura, par la nature des équations linéaires,
— ~— h cos(nt + e — ft —T) -}- h^cosint -he — fit — Tt) + h^cosint -+- s ~fit — V^) -+■ hs cos{ nt -\- £ — /s^ — Tj),
h, A,, h.,, A3, r, r,. Ta, Fs étant des constantes arbitraires, et / désignant ici le nombre des années juliennes écoulées depuis l'époque où l'on fixe l'origine du temps.
Si l'on nomme è\, ^\, ^'[\ SI, ^\, Ç; êj,, ^3, ^l ce que deviennent ê', S", S'" lorsqu'on y change successivement /dans/, /o, /g, on aura
^^^' r= ê'Acos(n'/ +£' — /< —r) + ê;A,cos(«'< +e' —/,^ — r,)
+ 6;^2COs(rt'^ + £'— /2^— r2)+6'3/i3COs(n"f 4- e" — /s^ — Ta),
^ 6;/i2COs( n"^ + £" — /2^— Pî)-!- ê;/z3 C0S(«'7 + £" — /a^ — Pj), 6'" /; cos ( /i'" ^ + £'"-//- P ) + ê'; Al ces ( n'" t + e'^' -f^t-Y,)
+ e'^A^COsK'^ -h £'"-/2^-P.)+ 63/^3 COS(/i"'^ -+- £'" - /3« — P3).
Toutes ces expressions sont complètes, puisqu'elles renferment deux fois autant d'arbitraires qu'il y a d'équations différentielles du second ordre en rlr, r'ir', r"lr", r"'lr"'.
La formule (2) de l'article II donne, en négligeant le carré des excentricités et leur produit par les forces perturbatrices,
ot'=2 — -r-y nat
d'où il suit que, /étant très petit relativement à «, on aura l'expression *
r" ûr"
r" àr"
(le Bv correspondante à l'expression précédente de — ^-> en changeant dans celle-ci les cosinus en sinus et en la multipliant par — 2. Les mêmes opérations sur les valeurs de —rr^ — ft' — w donneront les valeurs correspondantes de S^, Bv" et Bv'".
On peut considérer ces différentes valeurs comme étant relatives à des orbes elliptiques, dont les excentricités et les positions des aphélies seraient variables; en comparant les valeurs données par cette supposition à celles que nous venons de trouver, on aura facilement les variations des excentricités et des aphélies. Tout se réduit donc à former et à résoudre les équations («), (i'), (i") et («'"); mais nous verrons dans la suite que ces équations sont incomplètes et que les rapports qui existent entre les moyens mouvements des trois premiers satellites leur ajoutent de nouveaux termes sensibles, quoique dépendants des carrés et des produits des forces perturbatrices.
Le moyen mouvement du premier satellite étant, à fort peu près, double de celui du second, et le moyen mouvement du second étant, à fort peu près, double de celui du troisième, il est visible que les termesquidépendentdesangles/ii — 2/i^'-f-£ — 2£',/i'/ — 2>ï"/H-£' — 2£", et qui subissent deux intégrations, doivent considérablement augmenter par ces intégrations; il est donc important de les déterminer avec soin. Si l'on considère les équations (i) et (2) de l'article 11, on voit que les termes dont il s'agit résultent, dans l'expression de Bv, de la double intégrale da fndt fd^. Pour les obtenir, considérons d'abord la partie
^r — /n'B'*> cos(<''— r)
de l'expression de R, donnée dans l'article II. Si l'on y substitue
a'[i + h'cosinU -+- s' - ft — T)]
au lieu de r', et
n' t -^ e' — o.h' sin{n' t -¥- e' — /t — T)
au lieu de v', il en résultera le terme
On a, par l'article V,
da' n — n' \n — n' ) a^'
or, n étant à très peu près égal à in', [\a^ diffère très peu de a'% et par conséquent — diffère peu de -^; on pourra donc, sans erreur
sensible, substituer-^ au lieu de -^ — Bf'^4- ^a'-^-y-; le terme précèdent devient ainsi
m'Gih' , , , ^ T,.
■ r— COS(nt — 2«7H- £ — 2£'4- /V + F).
Considérons maintenant le terme — m'B^'^^cos2(/— v) de l'expression de R. Si l'on y substitue a\\ + h cos(nt -\- 1 ~ Jt ~ T)] au lieu de r, et m + t — ih ^\xi{nt -\- z — ft — T) au lieu de v, il en résultera le terme
\a--r~ + 4B'-^ ) cos(ni— 2/i'^H-e — 2e' + /f + T).
On a, par l'article V,
^ , dW-^ 2/1 ,,.
F = a" — ^— H , aB^*',
da n — n
d'où il suit que, n étant à fort peu près égal à 2n', on peut substituer
- au lieu de a — {-[^W^\ le terme précédent se réduit, par cette
substitution, à celui-ci :
— cos(/ii — 2/i'^ + £ — 2e'+ ft -\-T).
la ^ J '
On s'assurera facilement que, si l'on n'a égard qu'à l'action du satellite m\ la fonction R ne renferme point d'autres termes dépendants de l'angle nt — in't -i- £ — 2£', et que l'action du Soleil et des autres
THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER. Ski
satellites sur m n*en produit point de semblables, en ayant même égard au rapport qui existe entre les moyens mouvements des trois premiers satellites, et dont nous avons parlé dans l'article V. En ne considérant donc que les termes affectés du double signe intégral et qui dépendent de l'angle nt — in't-h i — 2i\ et en négligeant les carrés des excentricités des orbites, l'équation (2) de l'article II donnera
dç=~
-(f/ï -h —,Gh') sinint — 2n't-i-s — 2e'-^/t^r).
Il est facile d'en conclure la partie de S/ qui dépend du même angle. Pour cela nous observerons que si Ton réunit les deux valeurs de cv et de Bv' qui résultent de la formule (2) de l'article II, si l'on n'a égard qu'aux termes qui renferment de doubles intégrales et que Ton néglige les carrés des excentricités des orbites, on aura
dv dv' 3 r .. r/dR d'R'
a n in
■■Mi^-"^}
R' étant ce que devient R relativement au second satellite et la caractéristique différentielle d' se rapportant aux seules coordonnées de ce satellite.
Si dans l'expression de R de l'article I on n'a égard qu'à l'action de Jupiter et du satellite m', on aura, en négligeant le produit de m' par V et ses différences partielles,
/dR i-hm r x' dx -\- y' dy -^ z' dz
-fù{{œ'-xY+{y'-yy+{z'-zy\'';
or, on a, à très peu près,
^__rf*^ y__^ z' d^z'
r'» " 'dV^' "pi—— -^' ,.'» -- dt^ '
partant
'dx d*x' H- dy d*y' -+- dz d* z'
dt^
fd[{x'-~xy+{y-yy+{z'-z)*]-i
On trouvera de la même manière, en n'ayant égard qu'à l'action de Jupiter et du satellite m sur m',
J m ~ m J dt^
~fA'{{x'-œy+{y'-yy+{z'-zYY^,
partant
//dR d^R^\ 1-+- m \ -\- m' dx dx' + dy dy' -\- dz dz'
\ m' ni j m' m dt^
Si l'on substitue cette valeur dans l'expression précédente de
anrn a n ni
il est visible qu'il ne peut en résulter de termes divisés par
en n'ayant donc égard qu'aux termes qui ont ce diviseur, on aura
et, par conséquent,
anni a n ni
an ni 2 am
à cause de n = in' à très peu près. Partant
oc
{n — in' -\-ff
- (F/i+ -^GA' j sin(«f — 2/i'f + e — ib' -^-ft -\-T).
Le second satellite étant relativement au troisième ce que le premier est relativement au second, on aura la partie de ^v' qui dépend de l'angle n'i — in"t -\- 1' — it" -^ ft -^V en changeant dans l'expression précédente de ^v les quantités m' , n, n' , £, t\ a, a', F, G, h et h' dans m", n' , n", t\ t" , a' , a", F', G', h' et h\ ce qui donne
"XmJ'n'^ / a' \
àv'^ --r--A, — 7ri(F7i'+^,G'AMsin(/i'i-2/i"f + e'-2e"+/f-t-r).
On peut réunir dans un seul terme les deux parties de Bv' au moyen des relations données dans l'article V entre les moyens mouvements et les époques des longitudes moyennes des trois premiers satellites; on a, en vertu de ces relations,
n'— in"=i n — in' , n' t — m'U-h g'— 2e"=«< — 2n't -h e — 2e'— 180°; on aura ainsi, après cette réunion,
Enfin, la partie de Bv' due à l'action du premier satellite sur le second donnera pour la valeur correspondante de S/' due à l'action du second satellite sur le troisième.
Ces valeurs de Bv, Bv' et Bv" sont les seuls termes sensibles parmi ceux qui dépendent à la fois des excentricités des orbites et des forces perturbatrices. Il est clair que les racines/,, /a, / de l'équation en / donneront des termes semblables dans les expressions de Sf, St^, Bv'\ et que, pour avoir les valeurs complètes de ces quantités, il faut réunir ensemble ces différents termes.
Des inégalités des satellites qui dépendent de l'action du Soleil.
Il est facile de conclure des formules que nous avons données précédemment les perturbations des satellites qui dépendent de leur élongation au Soleil; mais la lenteur du mouvement de Jupiter dans son orbite donne une valeur sensible à quelques inégalités dépendantes de l'action du Soleil, et d'une espèce différente de celles que nous avons considérées jusqu'ici. Nous allons donc examiner particulièrement les inégalités des satellites dues à l'action du Soleil on les tirant immédiatement des équations différentielles de l'article II.
Si l'on n'a égard qu'à l'action du Soleil, on a, par l'article I,
En réduisant cette expression de R en série et en négligeant les termes de l'ordre |r^> on aura
R- S r. (^x+yY + .z)n S
^~^Wl D' J D
Si l'on néglige les carrés des inclinaisons des orbites et qu'ainsi l'on
suppose
X — DcosH, Y=:Dsinn,
a; r=z r cos p, y = f' sin ç, on aura
R = -| -|{^3[' + 3cos2(P-n)],
et l'équation différentielle (i) de l'article II deviendra
Sr^
Si, dans cette équation, on substitue au lieu de II la longitude moyenne du Soleil vu de Jupiter, et qui est égale à
Mt -h A étant la longitude moyenne de Jupiter; si l'on substitue
encore
a[i -+- h-cos{nt -+- s —ft — P)]
au lieu de r, et
nt -h e — 2hs[n{nt + £ —ft — F)
au lieu de {', on aura un terme dépendant de l'angle
«< + £ — aMi — 2 A +/f + P, et qui, acquérant, par l'intégration, un très petit diviseur, peut
devenir sensible, quoique multiplié par A; il est donc nécessaire d'y avoir égard. Ainsi, en négligeant M relativement à n, en nommant D' la moyenne distance de Jupiter au Soleil, et en observant que l'on a, à très peu près, W— ^^^ l'équation différentielle précédente deviendra
o = ^^^^^ + N « ^' - i M » - 3 M * 00 s 2 ( « i - M ^ -h e - A ) — ^Whç,Q%{nt— 2Mi+/^4-e — 2AH-r).
Nous n'aurons égard, dans la valeur de — ^> qu'aux termes qui dépendent des deux angles
int — 2Mi+2e — 2A et nf — aMi -f-/i + e — 2A -i- F,
parce que nous avons déjà considéré, dans nos articles précédents, les termes de cette valeur, qui sont constants, et ceux qui contribuent aux variations de l'excentricité et de l'aphélie. Cela posé, on aura, en intégrant l'équation précédente et en négligeant M,/ et N — w vis-à-vis de /î,
— -r- = 5-cos2(«i — Mi -H e — A)
oWh
^ cos(ni — 2Mi+/iH-e — 2A4-r).
2n(2M + N — rt — /)
Si l'on substitue cette valeur dans la formule (2) de l'article II, on trouvera, en n'ayant égard qu'aux mêmes arguments,
