II M
QVziz — rSin(2/lf — 2Mi + 2e — 2A)
sin(rtf — 2Mf 4-/i -he — 2A + F).
La valeur de ^v renferme encore un terme sensible dépendant de l'ex-
Sr' centricité de l'orbite de Jupiter. En effet, si dans le terme — -^^ de
Œuvres de L. — XI. 44
l'expressioi'i de R on substitue au lieu de D sa valeur
D'[i + Ecos(Mi + A-D)],
E étant l'excentricité de l'orbite de Jupiter et B étant la longitude de son aphélie, ce terme deviendra
-^=7^[i-3Ecos(M; + A-B)].
La partie lan j dtr-^ de l'expression de Sp de l'article II produira
donc le terme
Î^Esm(M^ + A-B).
En rassemblant ces différents termes, on aura, par l'action du Soleil,
ôp = -7;— r- sin ( 2 nf — 2 M i + 2 £ — 2 A )
^ sin(/if— 2M^+/f + e — 2A + r)
/i(2M + N — «— /) — Esin(Mi + A-B).
Le premier de ces termes répond à la variation dans la théorie de la Lune; le second terme répond à Tévection et le troisième terme répond à l'équation annuelle.
L'action du Soleil sur les satellites produit encore, dans leurs mouvements, des inégalités sensibles dépendantes des variations séculaires de l'orbite et de l'équateur de Jupiter; ces inégalités sont analogues à celle que j'ai reconnue dans le moyen mouvement de la Lune, et dont j'ai donné les lois et la cause dans nos Mémoires pour l'année 1 786 ( ' ) : on pourra les déterminer par l'analyse dont j'ai fait usage dans les Mémoires cités; mais, comme dans l'intervalle de deux ou trois siècles elles se confondent avec les moyens mouvements des satellites, il est présentement inutile d'y avoir égard.
(>) Ci-dessus, p. 243 et suivantes.
THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 3i7
Du mouvement des satellites en latitude.
Pour déterminer ce mouvement, nous reprendrons l'équation (3) de l'article II,
d'-z i\->rm)z ^R
dt^ /•» dz
Si l'on néglige les produits de trois dimensions de z et de z' et celui de V par m% on aura par l'article I, en n'ayant égard qu'à l'action de Jupiter et du satellite m',
dR m'z' m'(z'—z) , ^d\
[r^ — 2 rr' cos{i>' — p) + /•'*]*
Pour déterminer -p, nous observerons que l'on a, par l'article III,
Supposons que z, soit ce que devient 2, dans la supposition où le satellite m serait mû sur le plan même de l'équateur de Jupiter; on aura 5 — 3, = rjjt. et, par conséquent,
V — (p — l?)(-^-^i)' , p — iy
ce qui donne, en observant que r- = x^-h j^ h- z^ et en négligeant les
termes de l'ordre s',
l'équation différentielle en z deviendra ainsi
o - — + (^ + ^)^ /'i + 3 P-s?^ 2 (t + m)(p--iy)gi
[/•*— 2rr'cos(t'' — t') -t- r'*]*
Nous négligerons ici les termes dépendants à la fois des excentricités et des inclinaisons des orbites; nous supposerons conséquemment dans l'équation précédente
/• ^= a 4- èr, r' =a', ç = nt ■+- s, v' = n't -{- e';
nous supposerons ensuite z = rs, s, = rs^ , z' — r's', en sorte que s et s' seront les sinus des latitudes des satellites m et m' au-dessus du plan fixe, sinus que l'on pourra confondre avec les latitudes elles-mêmes, à cause de leur petitesse; s^ sera la latitude de la projection du satellite m sur le plan de l'équateur. Cela posé, l'équation différentielle précédente se changera dans la suivante, en y substituant /z^ au lieu
"idsdèr sd^èr 2/i*(p — |cp)
n}nt a^\ s —
[a* — laa' ç,o<s>{n' t — ni + e'— s) + a'^]''
Nous suivrons pour déterminer s, 5,, s' le même procédé qui nous a servi dans l'article VII à déterminer — ^j — ^> — Ainsi nous n'aurons d'abord égard qu'aux termes qui dépendent du sinus et du cosinus de l'angle nt -h £. Pour cela, il faut conserver dans l'équation différentielle les termes dans lesquels s et s^ sont multipliés par des constantes; il faut retenir encore ceux dans lesquels s' est multiplié par cos(w'z — nt-^€ — e), parce que le produit de ces deux quantités donne un terme dépendant de l'angle ni -h £. Maintenant, si l'on suppose — = a, on a, par l'article VI,
(a^— 2aa'cos(n'i~ ni + e' — e) + a'*)^ = -iif-*.8"+^ï'cos(n'i — n< + e'— e) + 6^*'cos2(n'i — ni + e' — e)4-..'. ;
l'équation différentielle en s deviendra donc
d*s , / 3<5a oP — f9 ^^a'-^-A
— 2/i2P-—JLÎ5n»m'a*ftV'5'cos(rt'< — n^ -H £'—£).
Or on a, par l'article IV,
a a ' açL
partant
Pour intégrer cette équation différentielle, supposons
s =z l sm{nt -f- s +pt — \)t 5'= /'sin(n'< + £'4-/)f — A), .5,=:Lsin(n; + z ->r pt — A);
la comparaison des coefficients de sin(/z/ -+- eh-/?/ — A) donnera
On trouvera facilement, par l'article VI,
dbf 3 6^»|
en multipliant donc par ni l'équation précédente entre /, /' et L, T étant la durée d'une année julienne, on aura
a»fe'»|
3m'rtT , .,
4 (i-a«) On a, par l'article VII,
'-^n^= (o), - -^— __JL =(0,,);
ainsi, en supposant/?T = q, on aura
L'action des satellites m!', m'" et celle du Soleil ajoutent à cette équation des termes analogues à ceux que produit l'action de m! y et l'on trouvera, comme dans l'article VII, que, si l'on nomme /", /'" et L', relativement aux satellites m!' , m!" et au Soleil, ce que / et /' sont relativement à m et m! , on aura, en vertu des actions réunies de Jupiter, des satellites et du Soleil,
On trouvera de la même manière
kk')
o=r/'[^-(i)[nn-(i,o)-(i,2)-(i,3)]
o = /"[^ - (2) - \JJ - (2,0) - (2,0 - (2,3)J
o = r[^-(3)-[X]-(3,o)-(3,0-(3,2)] + (3)L4-(3,o)/ + (3,0/'+(3,2)/"4-r3nL'.
Il existe encore entre les quantités /, /', /", /'", L, L' et q d'autres équations qu'il est nécessaire de considérer. La valeur de L' déjpend du déplacement de l'orbite de Jupiter; or il est clair que les satellites et la figure de Jupiter ne peuvent influer que d'une manière insensible sur ce déplacement. Ainsi les équations qui déterminent L' sont indépendantes de /, /', /", /'", et nous pouvons supposer V=o lorsque nous déterminerons les valeurs des quantités précédentes relatives à l'action de Jupiter et des satellites.
La valeur de L dépend du déplacement de l'équateur de Jupiter; or ce plan change en vertu des actions réunies du Soleil et des satellites;
L dépend donc des quantités /, /', /", /'" et L'. Je trouve, par une analyse qu'il serait trop long d'exposer ici, que, si l'on suppose
3xrnR*^R
Vf ./
~ 2/aR*rfR '
y étant le rapport de la durée de la rotation de Jupiter à la durée de sa révolution sidérale, n étant la densité d'une couche de Jupiter dont le rayon est R, et les intégrales étant prises depuis R = o jusqu'à R égal au rayon de l'équateur de Jupiter, que nous prendrons pour unité de distance, on a
/ o = ^L - E(p - |-9)MT(L — L') (^..v) ^^^[^(o)v/â(L-0 + /n'(,)v/^(L-r)
équation dans laquelle on doit observer que T est la durée d'une année julienne, que MX est le moyen mouvement sidéral de Jupiter dans cet
intervalle, et que ^ est le rapport de la durée d'une révolution sidérale de Jupiter à la durée d'une révolution sidérale du satellite /w.
Considérons d'abord les valeurs de /, /', /", /'", qui sont relatives au déplacement de l'orbite et de l'équateur de Jupiter. Pour cela, nous donnerons aux équations (k), (^), (k"), (k'") les formes suivantes :
o = (L - /) [7 - (o) - [JJ - (0,1) - (0,2) - (o,3)] - qL
o=r(L-r)[y-(i)-n~|-(i,o)-(i,2)-(i,3)]-yL
Si l'on substitue dans ces équations, au lieu de qL, sa valeur donnée par l'équation (k^^), on aura quatre équations entre les indéterminées L /, L - /M - /", L - l"\ L - L' et q.
Supposons maintenant que la valeur de q soit relative au déplacement de l'orbite de Jupiter et au mouvement moyen des équinoxes de son équàteur. Cette valeur est considérablement plus petite que (o), (i), (2), (3), (0,1), . . . , parce que l'orbite et les équinoxes de Jupiter se meuvent avec beaucoup plus de lenteur que les orbites des satellites, comme on le verra ci-après. On peut donc alors négliger q visà-vis de (o), (i), On peut encore négliger, sans erreur sensible,
vis-à-vis des mêmes quantités et même relativement à
et rsn.
les quantités suivantes :
E(p-i9)MT, Cela posé, si l'on fait
E(p-i9)MT, ^Em(o)s/a, '^Em'{i)^a', ..
on aura, pour déterminer v, v', v", v'% les quatre équations suivantes :
o = v" [(2) + [^ + (2,0) + (2, I) + (2,3)]- (2,0)V- (2, I)V'- (2,3)V«'- [^TJ ,
La latitude du satellite m au-dessus de l'orbite de Jupiter est égale à S(/ — L') s'm(nt -\- e -\- pt — A), la caractéristique intégrale S servant ici à désigner la somme de tous les termes de la forme
{l — h')sin{nt-h£-h pt — A)
qui entrent dans l'expression de la latitude du satellite au-dessus de l'orbite de Jupiter. Si l'on n'a égard qu'aux termes qui dépendent du déplacement de l'orbite et de l'équateur de Jupiter, on a
et, par conséquent,
ainsi, en n'ayant égard qu'à ces termes, on aura
2(/ — L')sin(n^-f-£4- pi — \) = (i — v)2(L — L') sin(n^ + s -h />f ~ A).
Si le satellite m était mû dans le plan de l'équateur de Jupiter, sa latitude au-dessus du plan de l'orbite de Jupiter serait
2(L — L') sin(n^ + e ->r pj — A);
l'expression
(i — v)2(L — L')sin(/i<-4- e + />/ — A)
de la latitude du satellite au-dessus de l'orbite de Jupiter est donc la même que si le satellite était mû sur un plan qui passerait entre les plans de l'équateur et de l'orbite de Jupiter par la commune intersection de ces deux derniers plans, et dont l'inclinaison sur le plan de l'orbite serait à l'inclinaison de l'équateur sur l'orbite dans le rapport de 1 ~ V à l'unité. Soient donc W l'inclinaison de l'équateur de Jupiter sur le plan de son orbite, et I la longitude de son nœud ascendant sur cette orbite, cette longitude étant rapportée à l'axe fixe des x\ la latitude du satellite m au-dessus de l'orbite de Jupiter sera, en n'ayant égard qu'aux termes qui dépendent du déplacement de l'équateur et de l'orbite de cette planète,
(i — v) ^ sin(nr-i- e — I).
Considérons les valeurs de /, /', /', /'" et q qui dépendent de l'action de Jupiter et de ses satellites; la valeur de q est alors beaucoup plus
grande que les quantités E(p ~ ^©)MT, ^^— Em(o)v^a, ...; ainsi
la valeur de L est, en vertu de l'équation (^"'), extrêmement petite; d'où il suit que le mouvement de l'équateur de Jupiter dépendant du
OFMvres de L. — \\. 4^
mouvement des orbites des satellites est insensible. On peut donc, dans les équations (k), {k'), {k"), {k'"), supposer yL = o et \!= o; si de plus on y suppose
i'=zii, F^zVi, r"=ri,
on aura quatre équations entre les indéterminées X, X', \" et q, d'où l'on tirera q au moyen d'une équation du quatrième degré. Soient q, Ci* Çif Çs l^s quatre racines de cette équation, et désignons par
ce que deviennent X, X', X" lorsque l'on y change successivement g dans qt, q^ et q^; supposons enfin que s, s', s", s", au lieu d'exprimer comme ci-dessus les latitudes des satellites m, m' , m", m'" au-dessus du plan fixe, expriment leurs latitudes au-dessus de l'orbite de Jupiter, latitudes qu'il nous importe de connaître dans le calcul des éclipses; nous aurons
s = (i — v)^sin(ni-f-£ — I) -\- 1 ^'m{nt-h e-\-qt —A) H- Il sin ( nf 4- £ H- 7i i — Aj ) .-+- 4sin(nf + s + q^t— A^) + 4 sin ( /ii H- £ -î- 73 « — As),
s'—{i — v')Ws\nin't-^-s'—l) + X / sm{n't-\-e'-hqt —A ) 4- Xi II sin {n't-\- s' -h Çit— Ai) -\-'kiliSin.{n' t-\-£'-h q^t— Ai) H- X3 /g sin ( n' i H- £'+ ^3 ^ — A3 ),
s"= (i — v") W sm{n"t-h s"— I) -hl' l s'm{n"t-^s"-[-qt —A ) -+-'k\liSm{n"t-\-s"-^qit— Al) 4- >i2 /a sin ( n" t + e"-h q^t— A^) + X3 4 sin ( «" i H- £"+ ^3 « ~ A3 ),
5'^= (I — v'") ^ sin(/i"'f + £''— I) + l" l sin (/i'"i + £"^4- qt —A) + V; 4 sin {n"'t + £'"4- qit—Ai) 4- Xj /j sin(/i"« 4- £'^4- 72«— A2) 4- X'^ 4 sin (n'^ i 4- £"'4- ^3 « — A3 ),
t étant ici le nombre des années juliennes écoulées depuis l'époque où l'on fixe l'origine du temps.
Les valeurs de /, A, /, , A,, Z^, Aj, /g, A, sont constantes et arbitraires, mais les valeurs de ^ et de I changent par le mouvement de l'orbite et des points équinoxiaux de Jupiter. Pour déterminer ces variations, nous observerons que l'on a, par ce qui précède,
^sinI = -2(L — L') sin(«}ri — A), ^cosI= 2(L — L')cos(g'^ — A),
ce qui donne
^^^J^'"'^=rr-2ç(L-U)C0S(yf-A), rf(^^COSl)
dt
— lq{L — h')^m{qt-X).
Mais, si l'on nomme W l'inclinaison de l'orbite de Jupiter sur le plan fixe, et r la longitude de son nœud ascendant sur ce plan, on a
^'sinr = — 2L'sin(^f — A), «F'cosl'rz 2L'cos(ç^ — A),
ce qui donne
— ^ — -r =:— 2grL'C0S(^« — A),
= — 2^L'sm(^f — A);
dt
de plus, le système des équations {k), (k'), (k"), (k'") et (k'") donne pour qL une expression de cette forme
On aura donc
^(»FsinI) ^„, , rf(»F'sinI')
-^ — =— êWcosI ^^ — -} -i
dt dt
^(WcosI) -„, . , d{Wcos\')
dt dt
d'où l'on tire
d\ dW dV
wi;=-ê>F-^^sin(r-I)-'P'^cos(r-I),
/ exprimant le nombre des années juliennes écoulées depuis l'origine du temps. Au moyen de ces équations, on aura les variations différentielles de ^ et de I par celles de ^F', T, qui sont données par la théorie de Jupiter; on pourra donc ainsi déterminer les variations séculaires du nœud et de l'inclinaison de l'équateur de Jupiter sur son orbite. Pour déterminer ê, l'équation (k'^) donne
ê = E(p-icp)MT
+ ^^ E[mv (o) \/â + m'v' {x)^^â' + /n"v" (2) yV + m'"v"' (3) v/^].
Si l'on multiplie les quatre équations (L) respectivement par m\ja, m' sja' , m" \a" , m'" sjà" , et qu'ensuite on les ajoute, on aura, en vertu des relations trouvées dans l'article VII, entre les quantités (o, i) et
(1,0), (o, 2) et (2,0), ...,
m V ( o ) v/« -i- m'V ( I ) s/rt' H- m"v" {2)\/a'' ~\- m'" v'" {2>)\/'aF = m I o ] y/a (i — v) -^- m' | i 1 \Ja' (i--v')
+ m" \ 2 I v'â" ( I — y" ) + m" fT^I sja'" ( i — v'" ) ;
on a ensuite, par l'article VII,
et l'on trouvera des expressions semblables pour
On aura, cela posé, cette expression fort simple de ê,
Considérons présentement les inégalités périodiques du mouvement des satellites en latitude. Pour cela, nous reprendrons l'équation
différentielle en s, de l'article précédent,
^ dt^
. r 3or 3(p — Affl)! 2dsdôr sd*dr p — im
[ a' -- 2 aa' cos ( n' < — ni 4- e' — e ) -4- a'*]'
Si l'on prend pour plan fixe celui de l'orbite primitive de m, alors s sera de l'ordre des forces perturbatrices, et, en négligeant les produits de deux dimensions de ces forces, l'équation précédente deviendra
dt* a}
[a*— 2aa'cQS{n' t — nt -\- s'— e) -i-a'*]*
s' étant ici la latitude de m' au-dessus de l'orbite primitive de m, et N^ étant égal au coefficient constant de s dans l'équation différentielle en Sy en sorte que nous pourrons supposer à fort peu près ici
N=in( 1 +
Cela posé, les termes de l'équation différentielle, qui (J^épendent de l'angle "int — l\n't + 3e — l\t' , acquièrent un grand diviseur par les intégrations, et peuvent par là devenir sensibles. En n'ayant égard qu'à ces termes, la fonction
devient
or on a
[a^— 2aa'cos(n'< — nt -i- i' — t) + a"]* ri^m' ~ b[^^s'cosS{nt — n't + £ — £');
s'—{r—l)sin{n't-he'-hqt—\); la fonction précédente donnera donc le terme
-"- C ~ 0 ^'3" sin(3/ii - 4«'< r- Se - 42'- Çt + A).
En le substituant dans l'équation différentielle en s, on aura, après les intégrations,
n^-m'a^l'— l) 6^" sin{int — ^n't-hSe — 4s'— qt + A) ^~ 2a'^[{3n-lin'—qy — '^^]
11 est clair que les différentes valeurs de q et de / — / donneront dans l'expression de s autant de termes semblables au précédent. Le diviseur (3n — 4« — çY est égal à
q étant fort petit relativement à n, N étant très peu différent de n, et n étant à peu près égal à 2n'; le facteur 3n — /^n'—l^ — q est fort petit, et le facteur 3n — ^n'-h^ — q est à peu près égal à 2.n, en sorte que le diviseur précédent se réduit à peu près à 2.n(3n—^n--N—q), ce qui donne
m' a^ n{l' — l) b^l^ sm{3 nt ~ ^n' t -h ^e — ^e' — qt + A)
Ces inégalités de s surpassent considérablement toutes les autres qui résultent de l'action des satellites sur m, à cause de la petitesse du diviseur 3n — l\n'-- N — ^; ce sont, par conséquent, les seules dues à cette action auxquelles il soit nécessaire d'avoir égard; mais l'action du Soleil produit dans la valeur de s une inégalité que la petitesse de son diviseur peut rendre sensible. Pour la déterminer, nous observerons que la fonction
— n-mJ a^a' s'
[a^— laa' co^{n' t — nt -\- z — s') -H of^Y devient, relativement au Soleil,
j^,— i+-jj^cos(/î« — M^ + e — A) .
Or on a ici
5' — ( L' ~ /) sin ( M^ + A H- gri — A ) ;
on a de plus
g n^a'=i et ^ = M*.
Lia fonction précédente donnera donc le terme
|M*(L'— l)sm{nt — 2Mt-h£ — 2A — qt-hA);
en le substituant dans l'équation différentielle en *, on aura, après les intégrations,
__ 3M^(L'— /) sin(n<— 2Mf-f-e— 2A — 7^ + A)
Or on a
Le facteur n — 2M — N — ^ est très petit, et le facteur /i — 2M + N — ^ est, à fort peu près, égal à 2n; en réunissant donc les parties périodiques de *, qui sont dues à l'action des satellites et du Soleil et qui peuvent être sensibles, on aura
m' a^ n{l' — l) b'I^ sin{Z nt ~ ^n' t + is — ^e' — qt -{- \)
3M'(L^— l)s\n{nt — 2Mt-\-e — 2X — qt-\-\) [\n{n — 2M — N — 7)
Cette valeur de s est la partie périodique de la latitude du satellite m au-dessus de son orbite primitive; il est clair que, en l'ajoutant à la valeur de s, déterminée dans l'article précédent, on aura l'expression complète de la latitude du premier satellite au-dessus de l'orbite de Jupiter. On déterminera la valeur de h'^'' au moyen de la formule
1 / . /vï^ï
qu'il est aisé de conclure des formules de l'article Vf.
Considérons de la même manière les inégalités périodiques du mouvement en latitude du second satellite au-dessus du plan de
son orbite primitive. L'équation différentielle en s deviendra, relativement au second satellite, en n'ayant égard qu'à l'action du premier.
dt'
n'^ma'^ n'^ma'-as
[a^— 2aa' cos{n' t — nt -i- s'^— e) -+■ a'^]'
N' étant à très peu près égal à /î'( i -h - — r~ y Les termes de cette
équation différentielle, qui dépendent de l'angle 2/2/ — 3n't-h2.s. — Se', acquièrent un grand diviseur par les intégrations et méritent, par cette raison, d'être conservés. En ne considérant que ces termes, on trouvera
man'{l — l')b'l^
sin(2n^ — ^n' t -+- it — 2tz' — qt -H A).
L'action du troisième satellite ajoute encore à l'expression de s' un terme qui peut devenir sensible par son grand diviseur et qui est analogue à celui que l'action de m' sur m produit dans l'expression
de f ; en nommant donc b'I^^^ ce que devient U^'' relativement au second
et au troisième satellite, on aura, pour la partie de s' dépendante de l'action de m",
m" a'^n' {F— l')bfHm{Zn't — ^n"t -^ ^t' - \z" - qt + \)
On a, par l'article IV,
sin(2wi — 3/i'^H-2e — 3e' — qt+K)
on pourra donc ainsi réduire dans un seul les deux termes de l'expression de s' qui dépendent de l'action du premier et du troisième satellite, et, en y joignant le terme qui dépend de l'action du Soleil,
on aura pour l'expression complète des inégalités périodiques du mouvement du second satellite en latitude
s'=n'~ y- ' „ ■ ^77 ^-^siniint — 3n't -+- 2e — 3e'— qt ■+■ A)
