IN

3M^ {U — r ) s\n{/i' t — 2M t -]- e' — 2A — qt -]- A) "^ ^n'{n'-2M — N'—q)

On trouvera de la même manière, pour la partie périodique de s" qui peut être sensible,

sin(2«'< — 3/i'7-H2e'— 3e''-^/ + A)

3M'(L^— l") sm{n"t — ^Mt-^ e"—2A — qt-h A)

~^ lin''in"—2M-N"—q) '

N" pouvant être supposé à très peu près égal à

Enfin on aura, pour la partie périodique sensible de s"',

„ 3W {L' - l'") ?>\n{n"' t — 2mt + t" — iA — qt -\- A)

* "" [^n"'{n'"-~iU — '^"'-^q)

N'" pouvant être supposé à très peu près égal à

De la durée des éclipses des satellites.

Nous n'observons point immédiatement le mouvement des satellites de Jupiter autour de cette planète; leur élongation, vue de la Terre, est si petite, que les plus légères erreurs dans les observations •en produisent de plusieurs degrés dans leurs mouvements jovicentriques; mais leurs éclipses offrent un moyen incomparablement plus exact pour déterminer ces mouvements, et c*est à l'observation do ces

OEuvres de L. — XI. 4^

Seâ THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

phénomènes que nous devons la connaissance de leurs inégalités. Jupiter projette derrière lui, relativement au Soleil, un cône d'ombre dans lequel les satellites se plongent près de leur conjonction; les orbites des trois premiers satellites sont toujours inclinées à l'orbite de Jupiter de manière que ces satellites s'éclipsent à chaque révolution, mais le quatrième cesse souvent de s'éclipser et cela, joint à la durée de sa révolution, rend ses éclipses plus rares que celles des autres satellites.

Un satellite disparaît à nos yeux avant qu'il soit entièrement plongé dans l'ombre de Jupiter. Sa lumière, affaiblie par la pénombre et parce que son disque s'enfonce de plus en plus dans l'ombre de la planète, devient insensible avant qu'il soit totalement éclipsé. Au moment où nous cessons de le voir, son centre est donc à une certaine distance du cône d'ombre de Jupiter, et, si l'on conçoit à cette distance un nouveau cône d'ombre qui ait le même axe que le cône réel, et qui s'appuie comme lui sur Jupiter, l'entrée du satellite dans ce cône fictif et sa sortie détermineront pour nous son immersion et son émersion.

Ce cône fictif n'est pas le même pour tous les satellites; il dépend de leur distance apparente à Jupiter, de l'aptitude plus ou moins grande à réfléchir la lumière dont jouissent les parties du disque que nous voyons les dernières dans l'immersion et celles que nous voyons les premières dans l'émersion; il dépend des distances de Jupiter au Soleil et à la Terre, distances qui, par leurs variations, changent l'intensité de la lumière que nous recevons des satellites; enfin, il peut dépendre des variations de l'atmosphère de Jupiter. La plus grande durée des éclipses d'un satellite ne peut donc point nous faire connaître exactement celle des autres satellites; mais la comparaison de ces durées doit nous éclairer sur l'influence des diverses causes que nous venons d'indiquer. La force des instruments dont se sert l'observateur, l'élévation de Jupiter sur l'horizon, la pureté de l'atmosphère terrestre font varier encore les cônes d'ombre fictifs. Toutes ces causes répandent de l'incertitude sur les observations des éclipses des satellites, et principalement sur celles du troisième et du quatrième. Heu-

reusement, on peut observer assez fréquemment l'immersion et l'émersion de ces deux satellites dans les mêmes éclipses, ce qui donne l'instant de leur conjonction d'une manière assez précise et indépendante de la plupart des causes dont nous venons de parler.

Maintenant, soit 2a la plus grande largeur du cône d'ombre fictif d'un satellite, dans la partie où il est traversé par ce satellite; soit, au moment de la conjonction, Z la hauteur du satellite au-dessus de l'orbite de Jupiter et r sa distance au centre de cette planète; si dans cet instant on fait passer par le centre du satellite un plan perpendiculaire à l'orbite de Jupiter et à l'axe du cône d'ombre, la section de ce cône par ce plan sera, à fort peu près, une ellipse semblable au méridien de Jupiter dont on peut supposer ici l'équateur confondu avec le plan de son orbite à cause du peu d'inclinaison respective de ces deux plans. Il résulte de l'article 111 que, le rayon de l'équateur de Jupiter étant pris pour unité, son demi petit axe est, à fort peu près, i — p; ainsi a sera le demi grand axe de la section précédente et (i — p)a sera son demi petit axe. Soient ce, y, z les trois coordonnées du satellite au moment de son émersion, le plan des x et des y étant celui de l'orbite de Jupiter, et l'axe des ce étant l'axe même du cône d'ombre; on aura, à très peu près,

La valeur de a, dans cette équation, n'est pas rigoureusement la même que la plus grande largeur de la section qui passe par le satellite au moment de son émersion, mais la différence est insensible, comme nous le verrons bientôt.

Nommons i', l'angle décrit autour de Jupiter par le satellite depuis sa conjonctionjusqu'à son émersion, en vertu de son mouvement synodique; le rayon vecteur r variant fort peu dans cet intervalle, on aura

mais on a, à très peu près,

„ . dZ

en négligeant donc les quantités de l'ordre Z^ sin^v, , on aura

et, par conséquent, d'où l'on tire

^ étant le sinus de la latitude du satellite au-dessus de l'orbite de Jupiter, à l'instant de la conjonction, on a Z = r^; on aura donc

sds

{y — pfdv

Cette expression, prise avec le signe +, indique le sinus de l'arc décrit par le satellite, en vertu de son mouvement synodique, depuis la conjonction jusqu'à l'émersion; avec le signe —, cette expression indique le sinus de ce même arc, depuis l'immersion jusqu'à la conjonction, pris négativement.

Soient T le temps que le satellite emploie à décrire la demi-largeur a du cône d'ombre, en vertu de son moyen mouvement synodique, et t le temps qu'il met à décrire l'angle Vf. La vitesse angulaire

étant -j-> nous ferons

ndt~ '

X étant une très petite quantité. De plus, a étant la moyenne distance du satellite de Jupiter, - est le sinus de l'angle sous lequel la demilargeur a serait vue à cette distance; soit ê cet angle, on aura, à très peu près,

i^î^Ci + X).

Si l'on substitué dans cette expression, au lieu de ç»,, son sinus qui en

diffère très peu, au lieu de sinf',, sa valeur précédente, et 6 au lieu

de -5 on aura a

Si l'on n'a égard qu'aux équations du centre des satellites, on a,

comme l'on sait,

r = a(i + iX).

Il résulte encore de l'article V que, en ayant égard aux principales inégalités des satellites, la même équation subsiste toujours; on aura donc, à très peu près,

Si l'on nomme /' la durée entière de l'éclipsé, on aura

d'où l'on tire

T(,-HX)y^[.-JX-K-^J[.-iX-^^,]

Cette équation servira à déterminer les constantes arbitraires que renferme l'expression de *, au moyen des durées observées des éclipses.

Les durées des éclipses des satellites étant un des points les plus importants de leur théorie, nous allons discuter particulièrement les formules précédentes. La demi-largeur a du cône d'ombre, aux points où il est traversé par le satellite, doit varier avec les distances du satellite à Jupiter et de Jupiter au Soleil. Soient j le diamètre de Jupiter et S celui du Soleil; la distance du centre de Jupiter au

sommet du cône d'ombre sera J- — r: le diamètre de la section

de ce cône, par un plan perpendiculaire à son axe et qui passe par

le centre du satellite, sera donc

Soient

/• = a + 3/", D=D'+aD,

a et D' étant les moyennes distances du satellite à Jupiter et de Jupiter au Soleil; il est clair que la variation de 2a, due aux variations de r et de D, sera

/aôD èr\

Pour avoir la variation qui en résulte dans la durée 2T, nous observerons que cette quantité exprimant la durée entière de l'éclipsé du satellite lorsqu'il est dans ses nœuds, elle est à fort peu près proportionnelle à /( 1 ^ïv)' ^^ variation de 2T, correspondante à

celle de 2a, sera donc à fort peu près

~S — / /aôB èr

la fraction ^^ jy étant fort petite et pouvant être négligée vis-à-vis de l'unité. Considérons d'abord le terme

SD est égal à D' multiplié par l'excentricité de l'orbite de Jupiter et par le cosinus de son anomalie moyenne; et, si l'on nomme A' cette

anomalie, on aura

ôD m 0,0480767 D' cos A'.

Le diamètre de Jupiter réduit à la moyenne distance du Soleil à la Terre est de 2o3% à fort peu près, et celui du Soleil, observé à la même distance, est de 1924"; le terme précédent devient ainsi

2T.o,4o759 jY? cosA'.

Relativement au quatrième satellite

La plus grande élongation du quatrième satellite, réduite à la moyenne distance de Jupiter au Soleil, a été trouvée par Pound de 8' i6", ce qui donne

g=tang(8'i6");

le terme précédent devient ainsi i6",8cosA'; c'est la quantité qu'il faut ajouter à la valeur moyenne de 2T.

Il faut corriger encore cette valeur par cette considération, que le temps employé à décrire 2a est proportionnel à cette quantité divisée par la vitesse angulaire synodique du satellite. Cette vitesse est -^>

et elle est égale à -^ — —r--» -77 étant la vitesse angulaire de Jupiter

autour du Soleil ; en substituant pour -j- sa valeur moyenne n, et pour

-j- sa valeur approchée M(i — 2EcosA'), E étant l'excentricité de l'orbite de Jupiter, on aura

-~ = n M + 2EM cos A' ;

le terme 2T sera donc proportionnel à

n- M H- 2 EM cos A'

il faudra, par conséquent, ajouter à la valeur moyenne de 2T la quantité

-2T-^^EcosA'.

Cette quantité pour le quatrième satellite est égale à — 6",4cosA'; en l'ajoutant à -h 16", 8 cos A', on aura + io",4cosA' pour la correction que la valeur de 2T doit subir à raison de l'excentricité de l'orbite de

Jupiter; mais, les erreurs des observations étant beaucoup plus grandes que cette correction, on peut se dispenser d'y avoir égard. Cette correction est insensible relativement aux autres satellites. Quant au terme

on trouvera que, en y substituant les valeurs de Sr que nous donnerons dans la suite, cette correction est insensible.

Les variations de l'angle ê sont très sensibles vers les limites où le quatrième satellite commence et cesse de s'éclipser; mais, les observations de ces durées étant fort incertaines, il est inutile, dans l'expression de ces durées, d'avoir égard aux changements que ê reçoit de la variation des distances de Jupiter au Soleil.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que la largeur de la section du cône d'ombre par un plan perpendiculaire à son axe, et qui passe par le satellite au moment de son émersion, était à peu près la même que la largeur de la section qui passe par le satellite au moment de sa conjonction. Le plan de la section est, dans le premier cas, plus rapproché de Jupiter que dans le second cas, d'une quantité égale au produit de la distance du satellite à Jupiter par le sinus verse de l'arc qu'il décrit depuis sa conjonction jusqu'à son émersion. En nommant q ce sinus, la correction de la valeur de 2T relative à cette différence de largeur des deux sections sera

S-yogr

et l'on trouve qu'elle est insensible.

Nous avons encore, dans ce qui précède, confondu l'arc v^ avec son sinus; mais on a, à très peu près,

^'i = sin (^1 + I sin' (^1.

Il en résulte que la valeur précédente de t' doit être multipliée par i -h Jsin^ç',. Relativement au premier satellite, v^ est d'environ 9^, ce

qui rend sensible le produit de /' par isin'*»,; mais cette erreur est corrigée en grande partie par la supposition que nous avons faite de

- = g, car -=sinS; nous aurions dû, par conséquent, supposer

- = S — ^sin'ê, ce qui revient à peu près à multiplier la valeur de /'

par I — ^ sin^ ê< , parce que le terme .,g,) compris sous le radical

de l'expression de /', étant une petite fraction dans la théorie du premier satellite, on peut négliger son produit par ^sin^ê. La valeur de t\ déterminée par la formule précédente, doit donc être multipliée par I H- ^ sinV, — ^sin^ê. L'arc ç', différant toujours fort peu de ê relativement au premier satellite, le produit de t' par ^(sin^^^i — sin-ê) est insensible. On voit ainsi que les expressions précédentes de t et de t' ont la précision convenable, et peuvent être employées dans la théorie des quatre satellites sans crainte d'aucune erreur sensible, surtout si l'on prend pour s la latitude même du satellite.

Des inégalités des satellites dépendantes des carrés et des produits des forces perturbatrices.

Nous n'avons eu égard jusqu'à présent qu'aux inégalités des satellites qui dépendent de la première puissance des forces perturbatrices; mais les rapports qui existent entre les moyens mouvements des trois premiers satellites donnent une valeur sensible à plusieurs inégalités dépendantes des carrés et des produits de ces forces; c'est dans les inégalités de cet ordre qu'il faut chercher la cause des deux rapports singuliers dont nous avons fait mention dans l'article V, et qui consistent : i° en ce que le moyen mouvement du premier satellite, plus deux fois celui du troisième, est égal à trois fois le moyen mouvement du second satellite; 2° en ce que la longitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est exactement et constamment égale à 180°. Ces deux

QEwres de L. — XI. 4?

théorèmes sont donnés par les observations d'une manière si approchée, qu'il y a tout lieu de croire qu'ils sont rigoureux, et que l'on doit rejeter sur l'incertitude des Tables des satellites la différence très petite qu'elles offrent à cet égard. Il est contre toute vraisemblance de supposer qu'à l'origine les trois premiers satellites aient été placés exactement aux distances que ces théorèmes exigent : il est donc extrêmement probable qu'ils sont le résultat de l'action mutuelle des satellites; et, comme les premières puissances de leurs forces attractives ne donnent aucun terme d'où ils puissent résulter, il est naturel d'en chercher la cause dans les carrés et les produits de ces forces. Nous allons donc déterminer avec soin toutes les inégalités de cet ordre qui peuvent influer d'une manière sensible sur le mouvement des satellites.

Considérons les deux équations suivantes auxquelles nous sommes parvenu dans l'article II :

dt^ r d- r

df

+ 4/dR + 2 (

aR ^R

dx -^ dy

ax

dn

dn

^ ôy

"'dv''

"âz

Supposons que, en vertu des perturbations, r se change dans r -\- ^r -+- ^' r, r étant dans cette dernière quantité le rayon vecteur relatif au mouvement elliptique, Sr étant la partie du rayon vecteur due à la première puissance des forces perturbatrices, et o'r étant la partie de ce rayon due aux carrés et aux produits de ces forces. Supposons encore que dv se change dans dv -{- d^ç -+- d^'v, dv étant dans cette dernière quantité relatif au mouvement elliptique, d^v étant la partie de dv due à la première puissance des forces perturbatrices, et d^'v étant la partie de dv due aux carrés et aux produits de ces forces. Si l'on substitue pour r et dv ces valeurs dans les deux équations différentielles précédentes, et si l'on observe que, par la nature du mouvement elliptique et des fonctions §r et d^v, les termes indépendants des forces perturbatrices et ceux qui ne dépendent que de la première

puissance de ces forces doivent disparaître d'eux-mêmes, on aura

d*{rà'r-{-\dr^) (i + m) r è' r (i4-m)3/-'

/>,„ du dR dR

J dx '^ dy dz

d^S'r ,, d^r ^ d^àr ,dvdl'v ., dv^

dt^ dl^ dt^ dt dt dl^

\ dt J ^ dt dt \dt J

{j + m)rd'r (i + m)ô/« dR dR dR

r* r* dx "^ dy dz

en observant de ne conserver dans les fonctions

/(IR et a;- \-y-^ ^-^-:r-

■y àx *' dv dz

que les termes dépendants des carrés et des produits des forces perturbatrices.

Les propriétés du mouvement elliptique donnent

/■* dv n --

r dv^ d'^r i + m

"d^ ~ Ir- "^ r^'

en substituant ces valeurs dans la seconde des deux équations différentielles précédentes, et en y mettant, au lieu de ^^~^"^y ' ^ g^ y^leur tirée de la première, on aura

2dd'l>

dt

djrdà'r — ^'rdr) d^jrd'r-j-^dr*)

dt^ "^ dt^

2(1 + m) Sr^ - /-, , / dR dR dR

«/"«^il^Ë-^^:

/•^ */ \ dx '^ dy dz

dr^d'àr — r^jdèvy — ^rdvdr dSv ~ dv* 6r^

Considérons dans cette expression de -^— les termes qui dépendent

de l'angle nt — Zn! l + in" t. Il est visible que les termes de ce genre, renfermés dans la différentielle dR, acquièrent par l'intégration le diviseur n — 3/z'+ in" dans l'intégrale TdR. Il en résulte dans l'ex-

pression de —r^ des termes dépendants du même angle, et qui ont le

même diviseur, ce qui donne dans SV des termes qui, ayant pour diviseur {n — Zn' -\- :in"y, peuvent devenir très considérables, et méritent une grande attention. Analysons ces différents termes.

Il est clair, par la seule inspection de l'équation différentielle en rZ'Pf que <5V renferme des termes dépendants de l'angle

nt — Zn' t -\- in" t,

et qui ont pour diviseur n — 3/^'-^ m"\ on peut s'assurer encore que, en négligeant les carrés et les produits des excentricités des orbites, S'rne contient point de termes qui aient pour diviseur (n—Zn!-A-in"Y\ en substituant les termes de son expression qui ont pour diviseur

n — 3w'-h 2/i" dans la fonction -^ -^^ — ^— ^' ce diviseur disparaît; on peut donc négliger cette fonction dans l'expression de —fr' On peut négliger, par la même raison, la fonction — - — ^7^—^ '

La fonction 4(^3 — i-J;5 — '"'^Tf) contient des termes dépendants de l'angle nt — Ziït 4- m" t\ mais ces termes n'ayant point pour diviseur /i — 3/i'-i- 2/1", ils disparaissent devant ceux du même genre* que renferme l'intégrale TdR et qui ont ce diviseur.

La fonction

2(1 + /n)^/-» hr d'^àr — r'^{dàvY—^rdv $r d$v — $r^ dv*

ne renferme aucun terme qui ait pour diviseur /z — 3/i^-f- 2/2", puisque les termes de ce genre ne se rencontrent point dans les expressions de Sr et de ^v. Dans la théorie du second satellite, cette fonction

devient

2ii-{-m')$r'* èr' d^ àr' - r'^ (dèv'y-lj ,' dv' àr' d 3/ - hr'^ dv'* r'> "•" dl^

On a vu, dans l'article V, que la valeur de or' est composée de deux termes, dont le premier dépend du cosinus de l'angle nt — nt -ht — t' et a pour diviseur n — n' — N', et dont le second dépend du cosinus de l'angle in' t — in"t H- 2£' — 2 s", et a pour diviseur 2/1' — iiï' — N'; il suit de là que 5/^ contient un terme dépendant du cosinus de l'angle nt — Zn't + in"t 4- £ — 3e' -f- 2£", et qui a pour diviseur {n — ri — N') (yiri — iri' — N'). Ce diviseur étant très petit, ce terme devient assez sensible pour y avoir égard. On trouvera pareillement

que — ^^— renferme un terme semblable, ayant le même diviseur, et

que la même chose a lieu pour les différents termes de la fonction

précédente; mais on doit observer que l'on a, à très peu près, par

l'article V,

—7— =: ; — > —i-i~ = — n'*or,

dt a' dt^

En substituant ces valeurs dans la fonction précédente et en y faisant

r' =^a\ -ij "= n'y — 7^— == ri^^ on trouvera qu'elle se réduit à zéro.

On voit ainsi qu'en n'ayant égard qu'aux termes dépendants de l'angle nt — 3rit -+- nri't et qui ont pour diviseur n — 3/i'+ 2/1", et en négligeant les carrés et les produits des excentricités des orbites,

l'expression de —r- se réduit à la suivante

d^'ç 3/dR

d'où l'on tire, en négligeant m v^îs-à-vis de l'unité et en observant que

dt* dt

Développons maintenant les différents termes de dR qui dépendent

m THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

de l'angle /li — 3n'i -i- 2.n"t -h z — 3t' -h ^e", et, pour abréger, désignons cet angle par ç. Si l'on n'a égard qu'à l'action du second satellite sur le premier, on a, par l'article IV,

' BW -^m' f-^^— mA cos((^'- p) — /n'D(2) cos2(t>'— v) - . . . .

Le terme m' [-^ — B''Mcos(f''— v) de cette expression de R produit dans dR la fonction différentielle

/ I dB^^^\ ( r \

m' dri -^2 TT" ) cos(p'— v) -h m' ch ( — , — B('M sin((^'— t').

Il faut substituer, dans cette fonction, au lieu de r, r', v et /, les quantités a H > a' H — T-j-, nt + t + ^v Qi n't + s.' -h Iv' . La substitution

de a H au lieu de r, et de nt + t -h ^v au lieu de v, ne donnera

aucun terme dépendant de l'angle ç ; il faudrait, pour cela, que et ^v

renfermassent des termes dépendants de l'angle in' t—in" t-\-i€ — i€\ parce que ces termes, en se combinant avec ceux qui dépendent de l'angle nt — ti'/ 4- £ — e', dans la fonction précédente, en produiraient d'autres dépendants de l'angle cp; or, il est visible, par l'article IV, que les valeurs de ■ — et de S^ ne renferment point de termes dépendants de l'angle in! t — in" t -\- 1^ — i€' -, leur substitution dans la fonction différentielle précédente ne donnera donc point de termes dépendants de l'angle ç.

r' dr'

Il n'en est pas de même de la substitution de a' h — au lieu de r',

et de n't -+-£'-}- ^v' au lieu de v'. En faisant cette substitution dans le terme m' dvl^ — B'^M sin(v'— v)y il en résulte les deux termes suivants

^^^{—~'^ (^2 -^ a' -^ j sin{n' t ~ nt -h a' — £), m'ndtàv' (-^ — B'^M cos(n'^ — /if + e'— e).

On a, par Tarticle V, en vertu de l'action du troisième satellite,

r'dr' -/i'm"F'

2(/l — rt'— N') — n'm"¥'

-, sin2(«"f — w'^ + e"— e');

ces valeurs, substituées dans les deux termes précédents, donnent le terme

n — n'—^')\a'^ ^ da' J ^

On a, par l'article V,

le terme précédent deviendra ainsi, en y substituant in' au lieu de n, qui en diffère très peu,

n'^m'm"TÇ,dt€m<:f

ia!{Ti — n'—W)

Ce terme acquiert une valeur sensible par son très petit diviseur

En discutant de la même manière les autres termes de l'expression do R qui dépendent de l'action de m\ on trouvera qu'ils ne produisent aucun terme sensible dépendant de l'angle 9; on trouvera pareillement que les termes de R qui dépendent de l'action des satellites m", m'" du Soleil et de la figure de Jupiter, ne produisent aucun terme sensible du même genre; on aura donc, en n'ayant égard qu'à ces termes et en changeant n dans in\

d^ à' y __ 3an'^ m' m" ¥' a s\n(f dt* ~ a'(/i — n'— N')

Relativement au second satellite, on a

d^à'v' Za'n'A'W dt* "" dt '

R' étant ce que devient R par rapport à ce satellite et la caractéristique

différentielle d' se rapportant aux seules coordonnées du même satellite. Si l'on n'a égard qu'à l'action de m sur m' , on a

R' — ^6(0)+ m (-^ — R(»)] cos(f''— ^) — 7nD(2)cos2(^>'— v) — ....

Le terme ml—^ — B('Mcos(^' — (^) de cette expression de R' produit dans d'R' la fonction différentielle

mdr'fj^- ^~) cos{v' - i>) - m dç' (Ç^ - B'^A sin(p'- t'),

et cette fonction développée renferme la suivante :

d{r'àr')fa' , <?B(»)\ , , , ,

m — — 7- — - [ — — a' , ,■ cosin' t — nt -\- t' — t) a^ \a^ aa' )

r' àr' / a' dB^'^X

— mn' dt — TT- { —z — a' , ,■ ) ?\n{n' t — nt -\- t' — e)

a^ \a^ aa' J

— mddç' f^^ — B^A sin{n't- nt + £'—£)

— mn' dtàv' ( ^ — B<*M cos(/i'/ — nt + e'— e).

r' êr'

En substituant pour — ^ et w' leurs valeurs dues à l'action du troisième satellite et que nous avons données ci-dessus, en observant, de plus, que 2n' — in" est très peu différent de n! , on trouvera que la fonction précédente renferme la quantité

/i — /i'— N' \2a- ^ da' ) ^'

mais on a à très peu près tî^ = l\n''^ et, par conséquent, 4«' = «' ou — i '■= -^', le terme précédent deviendra ainsi

n'^nim"¥'G dtsïnc^

2a'{n — n'~WY'

On s'assurera facilement que ce terme est le seul sensible que produise la partie de d'R' relative à l'action du premier satellite.

La partie de R' relative à l'action du troisième satellite est

R'z:=-.i/n''D'«')+/n''('-^^^ - B'"'] cos((^"- t^') -'«"'B''»'cos2(('" - c') -. . . .

Si Ton n'a égard qu'au terme — m"B'^^^ cos2(v" — i^') de cette expression, on aura

d'R' = — m' dr' ^^^ ces 2 ( v" — (^' ) - 2 /n" B'(') dv' sin 2 ( v" — v' ). or

Cette fonction différentielle renferme la suivante

„d{r'àr') ,<?B'<^' , „ , „ ,^

— m" -^--rr, — a' —ç~j- cos 2 (n"i - - n' t + e" — e' )

r' dr' (?B''2'

— 2 m"n' dt - , - a' -^-r- sin 2 ( n" t — n' t + e" — s' )

a^ oa

— 2 m''B'(») d àv' sm2(n''t~n't-h e" — e' )

-h ^ m''B' ^'hi' dt ôv' cos 2 {n"t — n't-\-£"-e').

Mais, par l'article V, l'action de m sur m' donne

r'èr' n'mG

—7,- = -, j — zrrr.COS{nt — n't -h£ — £'),

. , n'mG . , ,

op' z= -, — — sin ( n< — n' f -1- £ — e ) ;

la fonction différentielle précédente donnera ainsi le terme

2(« — n'— N')\ ^ ■ da' I ^

en observant que n — n' = n' k fort peu près. Or on a, par l'article V,

F'^a"^--h-r-%a'B'(^'; oa' n - n"

on aura donc, à très peu près,

2 a ■ oa

ce qui change le terme précédent dans celui-ci

7—7; î îî7r«^sino.

CEuvres de L. - XI. 48

On s'assurera facilement que ce terme est le seul sensible que produise la partie de d'R' relative à l'action du troisième satellite. Enfin, on trouvera que ni l'action de Jupiter, ni celles du quatrième satellite et du Soleil, ne produisent aucun terme de ce genre dans la valeur de d'R', en sorte que, en réunissant les deux termes relatifs à l'action du premier et du troisième satellite, on aura

d'où l'on tire

d^d'i^' gn'^ mm" F' G sine?

~df~ '~ "'4(/i — /i'— N') '

Il nous reste présentement à considérer la valeur de . ^ • On a

dt^ ~ dt

R" étant ce que devient R relativement au troisième satellite, et la caractéristique différentielle d" étant uniquement relative aux coordonnées de ce satellite. Si l'on n'a égard qu'à l'action du second satellite sur le troisième, on a

[ B'(o) + m' [-^",-2 -B'"^^ cos(p" — v') — m'B'i2) cos2(t^"— v^') —

En ne considérant que le terme — w'B''^'cos2(p"— ç'')de cette expression, on aura

r)B'(^) or

Cette fonction différentielle renferme celle-ci

r' èr' dB''2)

2 m' — r— a' — r-^ n" dt sin 2 ( n" t — n' t -\- t" — z' ) a'- ôa

— 4m' ôp'/i" rffB'<^) C0S2 («"^ - /i'f + e"— e'). En substituant pour - -,(- et S/ les parties de ces valeurs qui sont dues

à l'action de m sur m', la fonction précédente donnera cette quantité

n'm/n'G / , dB'(^> , ,^,..,\ „ ,, . -n'mm'F'V,

a(/i — n'— «)\ da' ) ^ 2a'{n — n'—N) ^

On s'assurera aisément que ce terme est le seul sensible que produise la partie de d"R" relative à l'action du second satellite, et que les actions de Jupiter, du Soleil, du premier et du quatrième satellite n'en produisent point de la même nature qui soient sensibles; on aura donc, en observant que n' ~ -in" à fort peu près,

d'è'v" 3 a" n'^ mm' F' G sino dt^ " 8a'(/i — n'— N') '

jî ^/ .yiir f

Quant à la valeur de — j-^y elle ne renferme point de termes semblables. Cela posé, on aura

d^ô'{v — ii>'-h'2i>") 3/i'3F'G fa

m' m" -h l mm"

y—, mm' ) smo.

dt" ~~ n — n' — W\a' * '*

Dans le second membre de cette équation, ç est égal à nt — 3n't-^- 2n"t-\-£ — Se'-h as";

or cette dernière quantité ne diffère de {> — 3v' -h- -iv" que par des termes qui dépendent soit des excentricités et des inclinaisons des orbites, soit des forces perturbatrices; en négligeant donc ces termes, nous pouvons supposer o — c — St^'-h 2^^; dans ce cas,

d^è'{v-Zv'-^'iv")—d''c^; ainsi, en faisant, pour abréger,

. 3/i'F'G [a , „ . .a" ,\ k — ; — =rj-, -, m' m" -h \ mm" 4- t— , mm' ),

on aura

L'équation précédente donne, en l'intégrant,

dt

\/c — ikn'* coS(jp

c étant une constante arbitraire dont la valeur peut donner lieu à trois cas différents que nous allons considérer :

1° La constante c peut surpasser ikn'^y abstraction faite du signe; alors elle est nécessairement positive; l'angle ±9 croît indéfiniment et devient successivement égal à une, deux, trois, ... circonférences.

2** La constante cpeut être moindre que ikn'^, tétant positif. Dans

ce cas, le radical \jc — 2^w'^coscp devient imaginaire lorsque l'angle ± op est égal à zéro, à une, deux, . . . circonférences; il ne peut donc alors qu'osciller autour de 180'', en sorte que sa valeur moyenne est 180°.

3" La constante c peut être moindre que — ikn'^, k étant négatif. Dans ce cas, le radical sjc — ikn'^ cos<p devient imaginaire lorsque ± cp est égal à 180*^ et en général à un nombre impair de demi-circonférences; l'angle cp ne peut donc alors qu'osciller autour de zéro, en sorte que sa valeur moyenne est nulle. Voyons lequel de ces trois cas a lieu dans la nature.

Nous trouverons dans la suite que k est une quantité positive; ainsi le troisième cas n'existe point et l'angle ç doit ou croître indéfiniment ou osciller autour de 180". Supposons «p = i8o**=h cj; le signe de u étant le même que celui du radical sjc — ikn'- cosç, on aura

dt "^^

Si les angles 9 et w croissent indéfiniment, c est positif et plus grand

que ikn'"^ ; on a donc, dans l'intervalle compris depuis w = o jusqu'à xs — 9o«,

n'sjik et, par conséquent,

ra

ainsi, le temps t que l'angle xs emploierait à parvenir de zéro à 90° serait moindre que -rr-- Nous verrons dans la suite que ce temps

n \Jik *

est au-dessous d'une année; or, depuis la découverte des satellites, cet angle a toujours- paru nul ou du moins très petit; il ne croît donc point indéfiniment, il ne fait qu'osciller autour de zéro, en sorte que sa valeur moyenne est nulle. C'est ce que l'observation confirme, et en cela elle fournit une nouvelle preuve de l'action mutuelle des satellites de Jupiter.

De là résultent plusieurs conséquences intéressantes. L'équation V — 3(^'-i- 2ç^"— 180° liz CT donne, en égalant séparément les quantités qui ne sont pas périodiques.

Ht— 3n'i+ 2/i"f + e — 35'4- 2e" — 180",

d'où l'on tire n — 3/i'+ in" = o; ainsi : 1° le moyen mouvement du premier satellite, plus deux fois celui du troisième, est rigoureusement égal à trois fois celui du second. 2° La longitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est exactement et constamment égale à 180°^. Nous avons déjà remarqué, dans l'article V, que ces deux théorèmes sont donnés d'une manière extrêmement approchée par les observations; nous pouvons maintenant assurer qu'ils sont rigoureux.

On a vu, dans l'article V, que les inégalités du second satellite produites par l'action du premier et du troisième se réunissent, en vertu de ces théorèmes, dans un seul terme qui forme la grande inégalité que les observations ont indiquée dans le mouvement du second satellite; ces inégalités seront donc toujours réunies, et il n'est point à craindre que, dans la suite des siècles, elles se séparent.

Sans l'action mutuelle des satellites, les deux équations

n'auraient aucune liaison entre elles; d'ailleurs, il faudrait supposer qu'à l'origine les époques et les moyens mouvements des satellites ont été ordonnés de manière à satisfaire à ces équations, ce qui est infiniment peu vraisemblable et, dans ce cas même, la force la plus légère, telle que l'attraction des planètes et des comètes, aurait fini par changer ces rapports; mais l'action réciproque des satellites fait disparaître ces invraisemblances et donne de la stabilité aux rapports précédents. En effet, on a par ce qui précède, à l'origine du mouvement,

dv odv' idv" ■ / c , , „ ,

-7-7, rr, + -rzn =—K/ -^ — 2^cos(£ — oe'-^afi"),

n'dt n' dt n' di \/ n'-

c étant moindre que ikn'^; il suffît donc, pour l'exactitude des théorèmes précédents, qu'à l'origine la fonction

dv 3 dç' 1 dv"

II' dt n' dt n' dt

ait été comprise entre les limites

H- 2 v/^Sin|(£ — 3£' + 2£")

et

— 2 v/^Sin|(£ — 32'+ 2£");

et, pour la stabilité de ces théorèmes, il suffît que les attractions étrangères laissent toujours la fonction précédente dans ces limites.

Les observations nous apprennent que l'angle vs est très petit, et qu'ainsi l'on peut, sans erreur sensible, supposer coscî = i — icy^ ; soit

donc — T— 7i — = ê^, ê étant arbitraire à cause de l'arbitraire c qu'il renferme; l'équation différentielle entre n et i donnera

m — êsin(/i'<\/A + A),

A étant une nouvelle arbitraire.

Le mouvement des satellites de Jupiter étant déterminé par douze

équations différentielles du second ordre, leur théorie doit renfermer vingt-quatre constantes arbitraires. Quatre de ces constantes sont relatives aux moyens mouvements des satellites ou à leurs moyennes distances; quatre sont relatives aux époques des longitudes moyennes; huit dépendent des excentricités et des aphélies et huit autres dépendent des inclinaisons et des nœuds des orbites. Les théorèmes précédents établissent deux relations entre les moyens mouvements et les époques des longitudes moyennes des satellites, ce qui réduit à vingt-deux ces vingt-quatre arbitraires; c'est pour y suppléer que l'expression de cr renferme deux nouvelles arbitraires.

Si l on reprend les valeurs de --7-^ > , , et , trouvées dans

l'article précédent, on voit qu'elles ont des rapports constants entre

elles et avec la valeur de -j-^> en sorte que si l'on fait

on aura

ÔV"=r ^^, P sin(n'ts/k + A) ; Sam" N » / '

de plus, comme on a on aura

ê=:±:P^+^^+-^^V \ /iam' [\am" J

Les trois premiers satellites de Jupiter sont donc assujettis à une inégalité dépendante de l'angle n't\k-\- k\ les observations peuvent seules fixer sa quantité et l'instant où elle est nulle. Cette inégalité mérite une attention particulière de la part des astronomes; on peut la considérer comme une librationdes mouvements des trois premiers satellites, en vertu de laquelle ces mouvements oscillent sans cesse autour des rapports précédents, et, par cette raison, nous la désignerons sous le nom de Ubration des satellites de Jupiter.

Nous avons observé, dans l'article IX, que les mouvements des satellites de Jupiter sont assujettis à des inégalités considérables dépendantes des variations séculaires de l'orbite et de l'équateurde Jupiter, et l'on peut croire que ces inégalités peuvent à la longue changer les rapports trouvés ci-dessus entre les époques et les longitudes moyennes des trois premiers satellites. Nous allons faire voir que ces rapports subsistent toujours, malgré ces inégalités séculaires qui se coordonnent sans cesse de manière à y satisfaire, en sorte que l'inégalité séculaire du premier satellite, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est constamment égale à zéro. Pour cela, nommons W, W, W" les inégalités séculaires du premier, du second et du troisième satellite, qui auraient lieu sans leur action mutuelle, quelle qu'en soit la cause, soit que ces inégalités dépendent des variations séculaires de l'orbite et de l'équateur de Jupiter, soit qu'elles viennent de la résistance d'un fluide éthéré; il en résultera dans la fonction différentielle d^v — 3d'^i^' -h 2d^v" , la quantité d-W — 3d^W -h ^d"^"^", et l'équation diff'érentielle en (p, que nous avons trouvée dans l'article précédent, deviendra

rf> , „ . d'W Sd'W d'-W

dt- ^ dt- dt^ de-

Si l'on fait «p = 180** + cy, et que l'on suppose xs très petit, on aura

^'^ / n d^W — 3 d^W -i- 2 d'W" -^ + knx^-^ d[^ ^

or les quantités ^, ^', ^" étant supposées varier avec une extrême lenteur, en sorte que la période de leurs variations embrasse un grand nombre de siècles, la partie de -n^ relative à ces quantités sera très petite par rapport à kn'^xs, parce que la période de l'angle n't \jk n'est, comme on le verra ci-après, que d'un petit nombre d'années ; on aura donc, en n'ayant égard qu'à la partie de vs qui dépend des quantités

W, W et W%

^ ~ kn'^'dT'

Cette partie de ct est insensible, parce que, U'*, W\ W" croissant avec une extrême lenteur, leurs différences secondes divisées par kn'^dt* sont à très peu près nulles; on peut donc supposer u = o, en n'ayant égard qu'à ces quantités, et alors les théorèmes énoncés précédemment sur les moyens mouvements et sur les longitudes moyennes des trois premiers satellites subsistent en entier.

Voyons maintenant comment les inégalités séculaires des trois premiers satellites se coordonnent entre elles. Si l'on suppose

qa' m a'm

4am' ^am"

on aura, par l'article précédent.

En substituant pour w sa valeur précédente, on aura

d'où l'on tire, en intégrant.

On trouvera pareillement

3a'm,„. / Cko! m ,\ ^,,, Za'm a" m . „. Za"m

b^am \ l\anv J lam!

T6am" \ i^am" )

~ Sam"

d'où l'on voit que l'on a, en vertu de ces valeurs,

V — St''-!- at^'i^ o.

Ainsi les inégalités séculaires des trois premiers satellites qui, sans leur action mutuelle, seraient respectivement égales à W, W et V ,

OEuvres de L. — XI. 49

se changent dans les précédentes et n'altèrent point les rapports établis ci-dessus.

La libration des satellites lie donc entre eux les mouvements, les époques et les inégalités séculaires des trois premiers satellites; elle modifie encore d'une manière très sensible celles de leurs inégalités qui croissent avec une grande lenteur. Nous avons trouvé, dans l'article ÏX, que l'action du Soleil produit, dans l'expression de t^, le terme

— Esin(M<4-A-B); n

l'expression de -ij^ contient donc le terme

££LEsin(M<+A-B).

Les expressions de ~-j^ et de -^-^ contiennent des termes semblables qui n'en diffèrent que par le diviseur n qui se change successivement dans n' et n"; on aura ainsi, par l'article précédent, en n'ayant égard qu'à ces termes,

^î = *«"sia?-3M'E(i-i + |„)sin(M* + A-B). Or on a, en vertu de l'équation n — 3n' -+- in" = o,

n n! n" nn' n" '

de plus, n étant à fort peu près égal à in\ et n" étant à peu près égal

à ^n\ on a

in'

en supposant donc <p = 1 80° -h t? et cr très petit, on aura

-^ +A:«'^7n = ~L sin(M^ + A-B).

Si l'on intègre cette équation, en faisant abstraction des constantes

arbitraires auxquelles nous avons eu égard dans ce qui précède, on aura

Maintenant on a, par Tarticle précédent,

■^7 ——bkn'^w sin(M<-l- A — D).

En substituant, au lieu de tr, sa valeur précédente, on trouvera, après avoir intégré, que l'expression de v renferme l'inégalité

3ME/ 36A:n'« \ . ,„ , „,

On trouvera de la même manière que l'expression de ç^' renferme l'inégalité

— — ^— Q t/iLMt j-irA sin(M< + A — B),

et que l'expression de v" renferme l'inégalité

6MEr Za"mhkn'^ 1 • /ai, a «x

M* étant moindre que kn!^, comme on le verra dans la suite, il en résulte que lalibration des satellites a une influence sensible sur l'inégalité qui dépend de l'angle M/-I- A — B.

J'ai déjà donné, dans les Mémoires de V Académie pour l'annéei 784 (')» les résultats précédents sur la libration des trois premiers satellites de Jupiter. J'y suis parvenu par une méthode différente de celle que je viens d'exposer : l'accord de ces deux méthodes peut servir à les confirmer mutuellement.

Les inégalités de Sf', S^', Zv"t qui ont pour diviseur (n — in'-^ /y, et celles des rayons vecteurs qui ont pour diviseur n — in' + f^ produisent, dans les équations qui déterminent les excentricités et les

(') Ci-dessus, p. 70 et suivanles.

aphélies des orbites, des termes qui, quoique dépendants des carrés et des produits des masses perturbatrices, sont cependant sensibles, à cause du diviseur (n — 2.n' -h fy, dont ils sont affectés. Pour les déterminer, nous allons d'abord déterminer la partie du rayon vecteur r, qui a pour diviseur n — iri -^ f.

Reprenons, pour cela, l'équation différentielle (i) de l'article II :

d^{rdr) (n-m)rôr ,-,^ ôR

JdR

L'intégrale /dR produit un terme qui a pour diviseur n — in' -\-f, et qui est multiplié par le cosinus de l'angle nt — in't^t-— it'+ ft-\-Y. Nous avons trouvé, dans l'article VIII, qu'il en résulte dans l'expression de '^v un terme dépendant du sinus du même angle et qui est donné par la double intégrale 3a fndi f dR; en nommant donc Q le coefficient de ce sinus, coefficient dont nous avons donné la valeur dans l'article VIII, on aura

àan ^ J '

pour le terme de 2 ydR qui dépend de l'angle

Nous avons vu, dans l'article V, que si l'on n'a égard qu'aux termes indépendants des excentricités, et qui ont pour diviseur in — in — N,

on a

aP- 2(2« — 2/l' — N)

N étant à très peu près égal kn — f^ on aura

r àr — nm' F , , , .

— r- = -7 . -j: C0S2{n't — nt-h è' — e)',

en substituant donc dans l'équation différentielle cnr^r, au lieu de r, la quantité a[i H- Acos(/îi + £ — u)], 73 étant supposé égal à// 4- F;

en observant d'ailleurs que l'on a à fort peu près — = ti^ et que le coefficient de r^r est N^ par l'article IV; enfin, en ne conservant que les

termes dépendants des excentricités des orbites qui ont pour diviseur n — in' -h f, on aura

a^dt^ a^ U{,n — in'-\-f) ^ ^c-t-*«;

Qcos(/ii— 2«'/4-e — 2e'+ tu)

in{n — in' + f)

Si, pour abréger, on fait

„ —3nm'¥/i 2(rt — 2n'+/)

~ 4(1-2/»'+/) 'JTi ^'

nm'Fh ~ Mn — 2n'-h/)'

on aura, à très peu près,

r dr

—y- =:Kcos{nt — 2n't-hs — 2e'+ cr) + Lcos(3n< — 2n'f4-3e — 2 e'— nr).

En supposant ensuite

2{n — 2rt'+/) /•<5r

on aura pour la partie entière de — j- qui a pour diviseur n — iri+fy

Hcos2(n< — /l'^ + e — e') H-Kcos( «< — 2/i'i-H e — 2Ê'-i-cy)

H- L cos(3n^— 2n'f 4- 3e — 2e'— cj).

Reprenons maintenant l'équation

d*(rd'r) {i-hm)rÔ'r i d* $r*

dt* r^ 2 dt^

(i-t-m)dr* r^T* à^ <?R <^R

r* ^ dx "^ dy àz

que nous avons trouvée dans l'article XIII. Nous n'aurons égard, dans cette équation, qu'aux termes de l'ordre des carrés et des produits des masses perturbatrices qui sont ou constants ou multipliés

par cos(nt -4- s — cy) et qui, de plus, sont divisés par (n — 2n' -^/y. Le terme Sr^ peut être mis sous cette forme ^^ — j-^> et il donne la quantité

/72JT2

[i — 2Acos(/z«-+-e — gt)] +a2H(K + L)cos(n«4-e — ct).

Le terme - ^ de l'équation différentielle précédente donne ainsi

la quantité

^n^a^B{hB. — K — L)cos{nt-\-e — rn).

Le terme — '^ ^ — peut être mis sous cette forme — ^ ~ -t

et il donne la quiantité

— ^^!^!i!! 4- n«a«H(| AH - K — L) cos{nt + e - cj).

Si Ton nomme a^g la partie constante de rS>, le terme ^

donnera la quantité

n^rd-' r — 3à^n^qhcos{nt-i-e — w);

l'équation différentielle en rSV deviendra donc

dHrè'r) NVÔ'r n^H^

a- at' a- 2

2 fir/t »r , \ / V • r IT. o <^R