SECONDE PARTIE
J'ai donné, dans le Volume de l'Académie pour l'année 1788, une théorie des satellites de Jupiter. La longueur de cet Ouvrage m'a obligé d'en renvoyer la suite à l'un des Volumes suivants. Je l'avais communiquée à M. de Lambre, qui l'a prise pour base d'un immense travail sur les satellites de Jupiter, d'où sont résultées les nouvelles Tables de ces astres, imprimées dans la dernière édition de V Astronomie de M. de la Lande. M. de Lambre se proposait de publier cette suite avec ses recherches qu'il voulait perfectionner encore; mais, ayant été chargé par l'Académie de mesurer, conjointement avec M. Méchain, l'arc du méridien terrestre qui doit donner la mesure universelle, il ne pourra de longtemps s'occuper de la théorie des satellites. C'est ce qui me détermine à publier ici la suite de mon travail, en y substituant aux résultats numériques que j'avais trouvés les résultats plus exacts que M. de Lambre a tirés de la discussion d'un très grand nombre d'observations, et qu'il a bien voulu me
communiquer. Je conserverai toutes les dénominations et l'ordre des articles de mon premier Mémoire dont celui-ci est la suite.
Détermination des masses des satellites et de l' aplatissement de Jupiter.
Pour déterminer ces inconnues, il faut cinq données de l'observation. Nous prendrons pour première donnée l'inégalité principale du mouvement du premier satellite, inégalité que M. de Lambre a fixée k 3'39" en temps. Pour la convertir en secondes de degré, il faut la multiplier par la circonférence entière ou par 1296000", et la diviser par la durée de la révolution synodique du satellite, durée que M. de Lambre a trouvée de i52 9i5",945i952o56. On aura ainsi 1 856", 08. Cette inégalité, par l'article XVIIl, est égale à 7185", o5 m', d'où l'on
tire
Nous prendrons pour seconde donnée l'inégalité principale du second satellite que M. de Lambre a fixée à i5'i5",3 en temps. Pour la réduire en secondes de degré, on la multipliera par 1296000", et l'on divisera le produit par la durée de la révolution synodique du second satellite, durée que M. de Lambre a trouvée de
On aura ainsi 3863", o; mais, par l'article XVIII, cette quantité est égale à 2279", 40^ + 3979", 83m", en réunissant, comme nous l'avons fait dans l'article V, les deux termes de ^v' qui dépendent des angles nt — n't -\- z — £' et 2.n't — 2n"t -h 21' — 21". On aura donc
ce qui donne
La troisième donnée dont nous ferons usage est le mouvement annuel et sidéral de l'abside du quatrième satellite, mouvement que les
observations ont donné à M. de Lambre de 254o",35. Nous supposerons donc/— 2540", 35 dans la dernière des équations (Q) de l'article XIX, qui devient ainsi
( o=r2224',7i — i377",82fx — ii7",55m — 348",89m'-l438^02/n''
Pour réduire cette équation à ne renfermer que les indéterminées fx,
m, m", il faut en éliminer les fractions jw,^ -tb y tj^- l>2i comparaison d'un
grand nombre d'éclipsés du troisième satellite avec la théorie m'a fait voir que son mouvement renferme deux équations du centre, très distinctes, dont l'une se rapporte à l'abside du quatrième satellite. M. de Lambre a fixé cette équation à 809", i, et il a trouvé l'équation du centre du quatrième satellite égal à 3o63",2; on a ainsi
h" 3oq", I ^
On déterminera j^ et p^ âu moyen des deux premières des équations (Q) de l'article XIX; mais il faut pour cela connaître d'une manière approchée les valeurs de p., m, m" et m'". Or on a, à très peu près, comme on le verra bientôt,
Ces valeurs ont une exactitude plus que suffisante pour la détermi-
nation des fractions -p et p-,, qui n'ont qu'une très petite influence sur les résultats suivants. La première et la seconde des équations (Q)
donnent à fort peu près, en y substituant, au lieu de /, (x, m, m\ wT
h" et pi leurs valeurs précédentes,
p—Oy oo3o527, ^ — o , 02 1 38o.
ÛEuvret de L. — XI.
h" En substituant ces valeurs, ainsi que celles de m' et de ^> dans
l'équation («), elle deviendra
o = i936",37 - i377",82/ji -iif,^^m — i i34",5om".
En substituant ensuite pour m sa valeur trouvée ci-dessus, en m'\ on
aura
m" = 1 , 706793 — 1,2 14473 fJi.
Cette valeur, substituée dans l'expression de m en m", donne
OT = — 1 , 285334 4-2,1 20469 [t..
La troisième des équations (Q) de l'article XIX nous fournira une quatrième équation pour déterminer les inconnues a, m, m" et m'".
En la divisant par h'\ et en y substituant, au lieu de m\ ^/' ^ ^t ^j leurs valeurs précédentes, on aura
o = 122", 93 — ioo3", 29fz — 127", 85m — 23", 24m" + i loi", 87 m"'.
Au lieu de m et de m", mettons leurs valeurs en (x, nous aurons
o=:247",59 — i246",i7/x + iioi",78m'%
d'où l'on tire
m"' = — 0,2247182 + i,i3io52|jL.
L'exactitude de cette équation dépend de la valeur 2A", c'est-à-dire de l'équation du centre du troisième satellite qui se rapporte à l'abside du quatrième; c'est la quatrième donnée que nous empruntons des observations qui la fixent avec assez de précision pour qu'on puisse l'employer avec avantage dans la recherche des masses des satellites.
Enfin, nous prendrons pour cinquième donnée de l'observation le mouvement annuel et sidéral du nœud de l'orbite du second satellite sur le plan de l'équateur de Jupiter, mouvement que M. de Lambre fixe à 43 25o"; nous supposerons ainsi, dans la seconde des équa-
THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER. il9
lions (M') de l'article XXI, ç^ = 43 25o", et elle deviendra
o — 43i82',84 — D097i",27jji — io22i%52/n — 6337%75/n''— 584",4o/n"
io22i",52/n^+6337",75m"^ 4- 584", 4o /n*' ^ .
Pour faire usage de cette équation, il faut connaître d'une manière
approchée les fractions 77' 7 ' 77; or, si dans la première, la troisième
et la quatrième des équations (M') de l'article XXI, on substitue pour <7, (ji, m, m', m" et m!" leurs valeurs précédentes approchées, on aura, en divisant par /', trois équations du premier degré entre les quan-
l l" l" tités j,-, j, j; et, en les résolvant, on trouvera, avec une exactitude
suffisante,
-77 ^=0,023 1 83, ^ =r — o , o386oo, -^=—0,0010488.
L'équation {h) devient, au moyen de ces valeurs,
o = 43 182", 84 — 50771 ",27^ - 9984% 55 m — 6582", 39 m"- 585", 01 m". En substituant pour m, m" et m!" leurs valeurs en pi, on aura
o = 449 12", 69 — 648 10", 7 5 /x, ce qui donne
fXzir 0,692982
et, par conséquent,
/n =: o,i84ii3, m" zzr o , 865 1 85, m'^^z 0,5590808.
On peut, avec ces valeurs, recommencer tous les calculs que nous venons de faire et en tirer des valeurs encore plus approchées de ces inconnues; mais le peu de différence d'avec celles que nous avons supposées rend ce calcul parfaitement inutile.
Les données les plus précises pour connaître les quantités précédentes seront les mouvements des nœuds et des absides des orbites des satellites, quand la suite des siècles les aura fait connaître avec exactitude. M. Maraldi avait trouvé, par la comparaison des éclipses
du troisième satellite, que l'inclinaison de son orbite est assujettie à une variation dont la période est de 182 ans; M. de Lambre a trouvé cette période d'environ iSg ans. En adoptant les valeurs précédentes des masses, on trouve cette même période de i34 ans; le milieu entre les résultats de MM. Maraldi et de Lambre nous aurait donc conduit à peu près aux mêmes valeurs que nous venons d'obtenir pour (ji, m, m!' et rrî" \ mais l'équation du centre que le troisième satellite emprunte du quatrième paraît être jusqu'ici une donnée de l'observation plus précise que la période des variations de l'inclinaison de son orbite.
La quantité [x détermine l'aplatissement de Jupiter; pour cela nous observerons que l'on a par l'article XIX
En substituant pour pi sa valeur précédente, on aura
Pour déterminer 9, soient t le temps de la rotation de Jupiter, T celui de la révolution périodique du quatrième satellite, on aura à très peu près
On a, par l'article XVII,
et, par les nouvelles déterminations de M. de Lambre,
La rotation de Jupiter est, suivant M. de Gassini, de g'' 56'°= 35760*;
partant
ce qui donne
Le rapport des axes de Jupiter est, par l'article III, égal à ^~p et,
par conséquent, il est égal à o.gSoS = f ^ à peu près. Ce rapport a été mesuré avec beaucoup de soin, en différents temps; le milieu entre les diverses mesures est j| ou 0,929, ce qui ne diffère du résultat précédent que d'une quantité insensible; mais, si l'on considère l'influence de la valeur de [/. sur les mouvements des nœuds et des absides des orbites des satellites, on voit que le rapport des axes de Jupiter est donné par les observations des éclipses avec plus d'exactitude que par les mesures les plus précises. L'accord de ces mesures avec le résultat de la théorie nous montre d'une manière sensible que la pesanteur vers Jupiter se compose de toutes les pesanteurs vers chacune de ses molécules, puisque les variations dans la force attractive de Jupiter, qui résultent de cette supposition et de l'aplatissement observé de Jupiter, représentent exactement les mouvements des nœuds et des absides des satellites.
Rassemblons maintenant les résultats que nous venons de trouver. Si l'on divise les valeurs de w, //z', m\ m'" par 10 000, on aura, par l'article XVIII, les rapports des masses des satellites à celle de Jupiter, et ces rapports seront :
Premier satellite 0,00001841 13
Deuxième satellite o ,oooo258325
Troisième satellite o-,oooo865i85
Quatrième satellite 0,00005590808
et le rapport des axes de Jupiter est celui de 67 à 72.
Après avoir ainsi déterminé l'aplatissement de Jupiter et les masses de ses satellites, nous allons reprendre l'évaluation en nombres de leurs inégalités séculaires et périodiques.
Des excentricités et des absides des satellites.
Les excentricités des orbites des satellites et les mouvements de leurs absides dépendent de la résolution des équations (Q) de l'article XIX. Si l'on y substitue pour [x, m, m', m" et m" leurs valeurs
précédentes, elles deviennent
/- 43089", 4oi394",6 -
Ces équations donnent une équation finale en / d'un degré fort élevé; à chacune des valeurs de /répond un système des constantes A, h', h", h'" dans lequel trois de ces constantes sont données au moyen de la quatrième, qui reste arbitraire; ainsi, comme il ne peut y avoir que quatre arbitraires par la nature du problème, l'équation en / n'a que quatre racines utiles. La grande influence de l'aplatissement de Jupiter sur les mouvements des absides des satellites rend les valeurs
de /peu différentes de celles qui auraient lieu par le seul effet de cet aplatissement; on aura ainsi une première approximation de ces valeurs, en égalant à zéro les premiers termes des seconds membres de chacune des équations (Q')- Cette considération facilite extrêmement la détermination des valeurs de/, que l'on peut avoir par une approximation très rapide, de cette manière.
On observera d'abord que la première des valeurs de/ dans l'ordre des grandeurs, est peu différente de 200000"; on supposera donc /= 200000" dans les trois dernières des équations (Q'), divisées
par^, pour en tirer les valeurs des fractions y-» -j-y y On substituera ensuite ces valeurs dans la première des équations (Q'), et l'on mettra, pour/ 200000" dans le diviseur ( i h g^r^) i f>n aura ainsi une valeur de/plus exacte que la valeur supposée. On fera de cette nouvelle valeur le même usage que de la précédente, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on trouve deux valeurs consécutives qui soient à très peu près les mêmes. Un petit nombre d'essais suffira pour cet objet, et alors on sera certain que les équations (Q') sont satisfaites. On trouve ainsi,
après trois essais,
A''^:— o,oo3888A, /^"'r= — 0,0000 17088 A.
Les valeurs de h', h\ h", relatives à cette valeur de/ étant plus petites que h, on peut considérer h comme l'excentricité propre au premier satellite, dont l'abside a un mouvement annuel et sidéral de 200 826".
La seconde valeur de / est d'environ 60 000". Pour l'avoir exactement, on supposera /= 60000" dans la première, la troisième^et la quatrième des équations (Q'), et l'on en tirera les valeurs des fractions ^,> ^, -a' On substituera ensuite ces valeurs dans la seconde
des équations (Q') divisée par A', et l'on fera/= 60000" dans le divi-
seur ( I H /"v^/ ) 'y on ^ura ainsi une valeur plus approchée de /,
avec laquelle on recommencera l'opération jusqu'à ce que l'on trouve deux fois de suite la même valeur de/. On trouvera ainsi
Les valeurs de A, A", K" étant plus petites que A', on peut considérer h' comme l'excentricité propre au second satellite, dont l'abside a un mouvement annuel et sidéral de 58 067", 52.
On voit, par le premier terme de la troisième des équations (Q'), que la troisième valeur de /est d'environ 10 000". On portera cette valeur dans la première, la seconde et la quatrième des équations (Q'), et l'on
en tirera les valeurs des fractions p? p? t?- On substituera ensuite ces valeurs dans la troisième des équations (Q') divisée par A", et l'on fera
/= 10 000" dans le diviseur ( i h 4-=-ttA \ on aura ainsi une valeur
plus approchée de/, avec laquelle on recommencera le calcul jusqu'à ce que l'on trouve deux fois de suite la même valeur. On trouvera
ainsi
h = — 0,000834427/2", h'^ o,2i54558A", A'"~ — o,ii8663/i".
Les valeurs de h, h\ h!" étant plus petites que celle de li\ on peut considérer A" comme l'excentricité propre au troisième satellite, dont l'abside a un mouvement annuel et sidéral de 98 12", 94.
Enfin, la quatrième valeur de/ est celle que les observations donnent pour le mouvement de l'abside, et qui, comme on l'a vu dans
l'article précédent, est de 254o", 35. On a, dans ce cas,
/rr:254o',35, h =: 0,0080527/*'', A'=:0,02l38oA"', A"rrr 0,1009075^'^.
Les valeurs de h. A', h" étant plus petites que h'\ on peut considérer >i"' comme l'excentricité propre du quatrième satellite, dont l'abside a un mouvement annuel et sidéral de 254o",35.
On voit par là que chaque satellite a une excentricité qui lui est propre. Cette circonstance, qui n'a pas lieu dans la théorie des planètes, est due à l'aplatissement de Jupiter, dont l'effet sur le mouvement des absides des satellites est très grand.
Il ne s'agit plus maintenant que de connaître les excentricités propres à chaque satellite et les positions de leurs absides à une époque donnée. Nous dirons, en parlant de la théorie de chaque satellite, ce que les observations ont appris sur cet objet.
Des inclinaisons et des nœuds des orbites des satellites.
L'inclinaison et le mouvement des nœuds des orbites des satellites dépendent de la résolution des équations (L') et (M') de l'article XXI. En substituant dans les équations (L') les valeurs précédentes de (x. m, m', 7n" et m'\ ces équations deviennent
o=i84493",9iv - 333o",84v'- i458",o5v''— i38",86v«'- 33%46, 0=: 43o8 1 % 3o v' - 1 8881 ',91V- 5483", 3ov''— 826% 73v»— 67',i6, 0= 9582",69v"— i94',74v — i296",3ov' — io66',25v''— i35',3i, 0= 2626%3iv''— ai',64v— 90% i3v' — 1244', lov"— 3i5%64.
OEuvres de L. — XI. 54
En résolvant ces équations, on trouve
Ces valeurs de v, v', v" et v'" déterminent la partie de la latitude des satellites qui dépend de l'inclinaison de l'équateur de Jupiter sur son orbite, et qui, par l'article X, est, pour les différents satellites,
Premier satellite ( i — v ) 4» sin ( /i ^ + e — I ),
Deuxième satellite (i — v' )4'sin(/i' ^ + e' — I),
Troisième satellite (i — v")di sin(/i"^ + e"— I),
Quatrième satellite (i — v"')^' sin(n"'^ h- t'"— I).
L'inclinaison ^ de l'équateur de Jupiter sur son orbite et la longitude I de son nœud ascendant doivent être déterminées, par les observations, pour une époque donnée. M. de Lambre a trouvé que l'on avait, à très peu près, au commencement de 1700,
^i^= 3<>6'o", I z=iio«i3°4'o".
Ces valeurs de ^ et de I sont variables, et, si la caractéristique a désigne des variations annuelles, on a, par l'article X,
d']^ =i—d^' ces (F- I) + f dV sin(r- I),
^I :=g^sin(I'-I)i^rfI'cos(r-I),
j»' et i' étant l'inclinaison et la longitude du nœud de l'orbite de Jupiter sur un plan Çxe. Si l'on prend pour ce plan celui de l'écliptique en 1700, on avait, à cette époque,
4>' = i°i9'io", r =3«7°34'ro",
rf(j;'=:-o",0784,
rfl'= 6",5o2,
d'où l'on tire
di =y,^o — e.
Nous avons donné l'expression de ê à la fin de l'article X. Si l'on y substitue pour p — i(p, m, m', m", m"\ v, v', v", v"' leurs valeurs trouvées précédemment, on aura
J U^'dVi
La loi de la densité des couches du sphéroïde de Jupiter étant in-
fu R' rfR
connue, la valeur de la fraction '— est pareillement inconnue.
y D R* rfR
Dans le cas où cette planète serait homogène, cette valeur serait égale à |; mais, l'aplatissement de Jupiter étant moindre que dans cette hypothèse, les densités n doivent diminuer du centre à la surface, ce qu'il est d'ailleurs très naturel d'admettre; alors on a
/nR'rfR 5 fu R* rfR " ^
Les phénomènes de la précession des équinoxes combinés avec ceux des marées donnent, pour la Terre, cette fraction à peu près égale à 2. Sa valeur doit peu s'éloigner du même nombre pour Jupiter. En l'adoptant, on a </I = 2". Nous aurons égard à cette variation; quant à la variation de ^y qui n'est de 1" en 100 ans, nous la négligerons.
Les équations (M') de l'article XXI deviennent, en y substituant au lieu de u, m, m' , m" et m!" leurs valeurs précédentes,
0 = (y -184494")^ -+-333o%84/'+ i458",o5/"-f i38',86r, o = (<7— 43081")/' 4- i88i",Qi/ + 5483% 3or-f- 326', 73/',
jo = (^— 9583")/"+ i94",74/+ i296%3o/'-hio66",25/*, \o = {q— 2626")/'' 4- 2i%64/-+- 90%i3/' 4-1244', 10/'.
Ces quatre équations donnent une équation en q, du quatrième degré. Pour en déterminer les racines, on fera usage de la même
méthode que nous avons employée dans l'article précédent, pour avoir les valeurs de /. On observera ainsi que la plus grande des valeurs de q est d'environ i85ooo". On supposera à q cette valeur dans les trois dernières équations (M''), et l'on en tirera les valeurs
des fractions y? -t' t* ^'^ substituera ces valeurs dans la première
des équations (M") divisée par /, et l'on aura une nouvelle valeur
de q. On fera de cette valeur le même usage que de la première, et
en continuant ainsi on trouvera fort exactement la valeur de q. On a
de cette manière
Les valeurs de /', /", /'" étant ici moindres que /, on peut considérer cette quantité comme exprimant l'inclinaison propre de l'orbite du premier satellite sur un point qui, passant constamment par les nœuds de l'équateur de Jupiter entre l'équateur et l'orbite de cette planète, est incliné de l'angle v^j; à l'équateur. Si l'on substitue pour V et <j; leurs valeurs précédentes, on trouvera cette inclinaison de 7", i; q exprime alors le mouvement annuel et rétrograde des nœuds de l'orbite sur ce plan, mouvement qui, par conséquent, est de 184539^7.
La seconde valeur de q est, suivant les observations, de 43 25o", et nous avons trouvé ci-dessus que l'on a
Ici, les valeurs de /, /", /"' sont moindres que /'. Cette quantité peut donc être considérée comme exprimant, l'inclinaison propre de l'orbite du second satellite sur un plan qui, passant constamment par les noeuds de l'équateur de Jupiter entre l'équateur et l'orbite de cette
planète, est incliné de l'angle v'^, à l'équateur. En substituant pour v' et ^ leurs valeurs précédentes, on trouve cette inclinaison de i'ii",7. Le mouvement annuel et rétrograde des nœuds de Torbitc du second satellite sur ce plan est de 43 25o".
La troisième valeur de q est d'environ 9583". On fera donc q — 9583" dans la première, la seconde et la quatrième des équations (M"), et
Ion en tirera les valeurs des fractions j,, j,, ^. En substituant
ensuite ces valeurs dans la troisième de ces équations (M") divisée par /", on aura une nouvelle valeur de q, avec laquelle on recommencera l'opération; on trouvera ainsi
Les valeurs de /, /', /'" étant ici moindres que /'", cette quantité peut être considérée comme exprimant l'inclinaison propre de l'orbite du troisième satellite, sur un plan qui, passant constamment par les nœuds de l'équateur de Jupiter entre l'équateur et l'orbite de cette planète, est incliné de l'angle ^"^y à l'équateur. En substituant pour v" et 'I leurs valeurs précédentes, on trouve cette inclinaison de 5' 34", 6. Le mouvement annuel et rétrograde des nœuds de l'orbite du troisième satellite sur ce plan est de 9563", 7.
Enfin, la quatrième valeur de q est d'environ 238o". Pour l'avoir
exactement, on fera q ■= 238o" dans les trois premières équations (M"),
/ /' /" et l'on en tirera les valeurs de ^> p> -p- En substituant ces valeurs
dans la quatrième des équations (M"), divisée par /"', on aura une valeur plus approchée de ^, avec laquelle on recommencera l'opération; on trouvera ainsi
Les valeurs de /, /', /" sont ici moindres que /'"; cette quantité peut donc être considérée comme exprimant l'inclinaison propre de l'orbite du quatrième satellite sur un plan qui, passant constamment par les nœuds de l'équateur de Jupiter entre l'équateur et l'orbite de cette planète, est incliné de l'angle v'"^ à l'équateur. En substituant pour v'" et (l» leurs valeurs précédentes, on trouve cette inclinaison de 25' 2", 3. Le mouvement annuel et rétrograde des nœuds de l'orbite du quatrième satellite sur ce plan est de 243 1", 3.
On voit par là que l'orbite de chaque satellite a une inclinaison qui lui est propre, circonstance qui est due à l'aplatissement de Jupiter, dont l'influence sur le mouvement des nœuds des orbites des satellites est très considérable.
Il reste maintenant à connaître les inclinaisons propres à chaque orbite, et les positions des nœuds. Nous verrons bientôt ce que les observations ont appris sur cet objet.
De la libration des trois premiers satellites.
Nous avons vu dans l'article XIV que les trois premiers satellites de Jupiter sont assujettis à une inégalité particulière que nous avons désignée sous le nom de libration, et dont nous avons donné l'expression analytique. Pour l'évaluer en nombres, nous observerons que l'on a, par l'article XIX,
L'expression de k de l'article XIII devient ainsi
A:=r 4qq,35oi ( -7 m' m" -\- y mm" -h - — jmm'] 1 \a' 4 4a' y
la valeur de k est donc positive, comme nous l'avons annoncé dans l'article XIV. Si l'on y substitue au lieu des masses m, m', m" leurs
THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER. V:n
rapports à celle de Jupiter trouvés dans l'article XXIII, on aura
Nous avons observé dans l'article XIV que l'angle désigné par n> dans cet article emploierait à parvenir, de zéro jusqu'à 90**, un temps moindre que ^. — ; or, si l'on nomme T la durée de la révolution du
n' sjik
second satellite, on a
ce qui donne
90** ^ T n' sf^k 4 sf^li
En substituant pour T et X: leurs valeurs, on aura
— = = 39oi,39; [\\Jik
ainsi le temps que l'angle nr emploierait à parvenir de zéro à 90" est au-dessous de 890 jours.
Les expressions de ^v, ^v', ^v" dépendantes de la libration, et que nous avons trouvées dans l'article cité, deviennent, en y substituant pour m, m', m" leurs valeurs précédentes,
ôt^' =— o,85o59P sin(/i'^V^^4- a), àv''= o,o6752Psin(«'iV^ + a);
les arbitraires P et A doivent être déterminées par les observations. La durée de la période de cette inégalité est
ou
T étant la durée de la révolution périodique du second satellite. Celte durée est donc de 2208^4» c'est-à-dire d'un peu plus de six ans.
Après avoir considéré l'ensemble du système des satellites, nous allons développer la théorie particulière de chacun d'eux, en commençant par le quatrième.
Théorie du quatrième satellite.
M. de Lambre a trouvé par la comparaison de toutes les éclipses observées de ce satellite que son mouvement séculaire est de 2188"''*^ 6* 24° 42' 20", 88, et que sa longitude moyenne, au commencement de 1700, était de 7^ 17^30' 20", 6; soit 6'" la longitude moyenne du quatrième satellite calculée sur ces données. M. de Lambre a trouvé pareillement, comme nous l'avons dit, que le plus grand terme de l'équation du centre de ce satellite est de 3o63",2; des recherches nouvelles lui ont fait ajouter 18", 8 à cette équation. Il a trouvé encore que le mouvement annuel de son aphélie est de 2540", 35 par rapport aux fixes, ou de 2590", 6 par rapport aux équinoxes, et que la longitude de l'abside était, en 1700, de 10^23*^19' 17".
Soit donc
ct"'=io''23°i9'i7"+ 259o",6f,
t étant le nombre des années juliennes écoulées depuis le commencement de 1700. La partie elliptique de la longitude du quatrième satellite sera
B'"— 3o82",o sin(Ô"'— m'") + i4",2 sin2(0«'— m'").
Le quatrième satellite participe un peu à l'équation du centre du troisième satellite. M. de Lambre a trouvé cette équation égale à 555", 8, et la longitude de l'abside égale à ii^ilfl^i' en 1700. Soit
donc
Ts"= 1 1«24°42'+ 9863%i9 i,
9863", 19 étant le mouvement annuel de l'abside du troisième satellite par rapport aux équinoxes; l'équation propre du centre de ce
satellite sera
— 555",8sin(Ô"-nj"),
G" étant la longitude moyenne du troisième satellite. On a, par l'article XXIV,
A''=:— o,ii8663A"r=+o,ii8663.|.555",8;
d'où il suit que l'équation du centre du quatrième satellite, relative à l'abside du troisième, est
-<-65",95sin(ô"'-Gj").
Si l'on désigne par II la longitude moyenne de Jupiter, rapportée à l'équinoxe mobile, on aura, par l'article XX,
H-4",2sin2(6"'— H).
On a encore, par le même article, l'inégalité
— o,oi7334A'^sin(e'^-+-cj"'— 2 0).
J'observerai ici que, ayant revu l'analyse de l'article IX, dans lequel j'ai donné l'expression analytique de cette inégalité, j'ai reconnu qu'elle doit être diminuée dans le rapport de 5 à 6; en sorte que son coefficient, au lieu d'être
-gM'-h
est égal à
— iSM^A
Il faut ainsi diminuer dans le rapport de 5 à 6 les coefficients numériques de cette inégalité donnés dans l'article XX. On peut facilement s'en assurer en suivant cette analyse. Cela posé, en substituant pour h'" sa valeur ^ 3o82", cette inégalité devient
— 22", 259 sin (Ô'^-+- GJ''— 211).
En désignant par V l'anomalie moyenne de Jupiter, on a, par l'article XX, l'inégalité
H-ïi4%6sinV.
Enfin, l'expression de Bv'" de l'article XVIII devient, en y substituant pour m" sa valeur trouvée précédemment,
ôt'"'— -8",976sin(0"-&'') — o",933sin3(ô'-9').
OEiiire» de L. — yil. 55
En réunissant toutes ces inégalités, on aura pour la longitude v'" du quatrième satellite, comptée sur son orbite,
. ç"'=Q'"—3oS2\osin{9"'—Tn"') 4- i4",2sin2(ô'"-cj"') + 66",osin(9"'-GT") + 4",2sin2(9"'-n)
— 22",3sin(9'"+în"'-2n) + ii4",6sinV
— 9",osin(9"-9"')
— 4",5sin2(9"— ô"')
— o",9sin3(ô"-ô'").
Considérons maintenant le mouvement du satellite en latitude. Ce mouvement dépend de l'inclinaison de Téquateur de Jupiter sur son orbite et de la longitude de son nœud ascendant à une époque donnée. M. de Lambre a trouvé, par la comparaison des éclipses du troisième et du quatrième satellite, que, au commencement de 1700, l'inclinaison de Téquateur de Jupiter sur son orbite était de ^°6' et que la longitude I de son nœud ascendant était de io^i3"4'- On a vu, dans l'article XXV, que la valeur de ^ peut être supposée constante durant deux ou trois siècles, et que la variation annuelle de I est d'environ 2". La partie (i — v"')^sin (n"'i -h t'" —l) de l'expression de la latitude qui résulte de l'article XXI devient ainsi, en substituant pour v'" sa valeur trouvée dans l'article XXV,
2°4o'58"sm(n''i + £'"— [o«i3°4'— 2^/).
Il est plus exact de substituer dans ce terme la longitude vraie v'" du satellite au lieu de la longitude moyenne; mais, comme ç'" se rapporte à l'équinoxe mobile, tandis que n"'t -h e'" se rapporte à l'equinoxe fixe, il faut, au lieu de n"'i -h s'", substituer v'"— 5o",25i, i étant, comme ci-dessus, le nombre des années juliennes écoulées depuis 1700. Le terme précédent deviendra ainsi, en augmentant de 12 signes l'angle sous le signe sin,
2°4o'58"sin(v'"+46°56'-52",25 0.
Le terme i" sin (n"'t h- i'" -h qi — A), qui, par l'article X, entre dans l'expression de la latitude du quatrième satellite, devient, en y substituant pour q la quatrième des valeurs de q que nous avons trouvée dans l'article XXV, et pour n"'t -+- s'" l'angle v'" - 5o", 25 1,
rsin(f''"4-238i",o5/-A).
M. de Lambre a trouvé, par la comparaison des observations,
ce qui réduit le terme précédent à celui-ci :
— i4'58''sin((^-f-4i°5o'H-238i",o50.
En faisant usage de la troisième des valeurs q de l'article XXV, le terme /'"sin («"7 4- t"'-h-qi — A) devient
rsin((;'"4-95i3",45/ — A).
On a de plus, par l'article XXV,
La comparaison des éclipses du troisième satellite a donné à M. de
Lambre
le terme précédent devient ainsi
2'ii',95sin(t'"'-h56°44'-+-95i3",450.
En vertu de la seconde valeur de q, le terme l"'s'ïn(n"'t 4- £'"-+- qi — A)
devient
/"sin (('^ -h 43199", 75/ — A),
et l'on a
les éclipses du second satellite donnent
d'où l'on tire
On peut donc négliger cette inégalité de la latitude du quatrième satellite, et l'on peut négliger, à plus forte raison, l'inégalité relative à la première valeur de q.
Il nous reste à considérer l'inégalité
— 0,0014445 (L'— /'") sin(«'"^ 4- z'"— 2Mi - 2E — qi-\- i),
que nous avons déterminée dans l'article XXII. Si l'on suppose que la valeur de q soit relative au déplacement de l'équateur et de l'orbite de Jupiter, on a, par l'article X,
ce qui donne
La somme de tous les termes
— o,ooi4445(L'— l'") ^m{n"'t+ s!"— i^t — 2E — qi + A),
relatifs au déplacement de l'orbite et de l'équateur de Jupiter, deviendra, par l'article X,
— 0,0014445 (i — v"')^]; sinC/i'"^ + e'"— aM^ — 2E -4- 1).
En y substituant v" — 5o", 25/ au lieu de n"7 -\- 1'", Il — 5o", iSi au lieu de M^ + E, I — 12''^"*' au lieu de I, et au lieu de /', 4* et I leurs valeurs précédentes, l'inégalité précédente deviendra
— i3",95'sin(p'"— 2 H — 46° 56'+ Sa", 25/).
Les autres termes renfermés dans l'expression
— o,ooi4445(L'— F) ?,m{n'"t + e'"- 2M^ — 2E — qi + A)
sont insensibles, car on a L'= o, par rapport aux différentes valeurs de q que nous avons déterminées dans l'article XXV, et la plus grande valeur de /'" est i4'58", ce qui rend le terme précédent insensible. En rassemblant toutes les inégalités sensibles de la latitude du qua-
trième satellite au-dessus de l'orbite de Jupiter, on aura
8"= 3''4o'58" sin(('*' H 46°ô6'— Sa^.aSi)
- i4'58" sin(P*' h-4i»5o'h-238i",o5i) + 2'ii",95sin(p"' + 56° 44'+ 95 1 3", 450
- i3",95sin(p''-2n-46''56'-i- 52", 250-
Les deux premiers termes de la valeur de s'" donnent lieu à une inégalité dont la période est d'environ 533 ans, et qui est assez sensible pour y avoir égard. J'ai parlé de ce genre d'inégalités dans l'article XVI, et je les croyais insensibles dans la théorie des satellites de Jupiter; mais un examen plus approfondi m'a fait reconnaître l'inégalité suivante. La méthode que j'ai employée pour la déterminer est celle dont j'ai fait usage dans \es Mémoires de l' Académie pour l'année 1786 ('), relativement à l'équation séculaire de la Lune. Si l'on nomme, comme précédemment,
S la masse du Soleil, celle de Jupiter étant prise pour unité;
D' la distance moyenne de Jupiter au Soleil;
a'" la distance moyenne du quatrième satellite au centre de Jupiter;
n"'t son moyen mouvement.
Si l'on fait, comme dans l'article VII,
T étant la durée d'une année julienne, on trouvera facilement, par la méthode dont il s'agit, l'inégalité suivante dans l'expression de t»"',
|T1(2'>4o'58") ''^ im^i sini4'58"sin(2433',3i-5»6'),
i étant le nombre des années juliennes écoulées depuis 1700; on a, par l'article XIX,
l'inégalité précédente devient ainsi
- 38% 2 s in (2433", 3/ -5° 6').
(«) Foir ci-dessus, p. 243.
Cette inégalité a été jusqu'ici confondue avec le moyen mouvement du quatrième satellite; elle a diminué le mouvement séculaire de 33", 9, et elle a augmenté la longitude, en 1700, de 3", 4- Ainsi, pour y avoir égard, il faut, dans les Tables de M. de Lambre, augmenter de 33", 9 le mouvement séculaire du quatrième satellite, et diminuer de 3", 4 sa longitude en 1700.
Dans les éclipses du quatrième satellite, les expressions de \>"' et de s'" se simplifient, car alors les angles 6'", v'" et II se rapportent à l'instant de la conjonction; ainsi l'on peut supposer 11 = 0'" dans le terme — 22",3sin(Ô'"— ct'"— 211) de l'expression de /', ce qui le change dans celui-ci : h- 22",3 sin(ô'"— cj'"). Ce terme se confond avec le terme — 3o82",osin(G"'— cr'"), qui devient par là
— 3o59",7sin(0"'4-nT'").
Le terme 4">2sin2(G '— H"') devient nul dans les éclipses; on a donc
alors
(;'"=0'"— 3o59",7sm (ô"'— nr")
H- i4",2sin2(e'"— Gj'") + 66",osin {B"'-xs")
— 38",2sin(2433",3f-5°6') + ii4",6sinV
9",osin (0"— 0'')
- 4",5sin2(Ô"-0'")
- o",9sin3(0"— r).
On trouvera pareillement que l'expression de la latitude devient, dans les éclipses,
8'"=. 2°4i'i2"sin(('"''+46°56'— 62", 250 — i4'58"sin((^"'4-4i''5o'-238i",o50
+ 2'i2"sin(p'"+56°44'-95i3",450-
Cette expression de s!" donne l'explication d'un phénomène singulier que les observations ont présenté relativement à l'inclinaison de l'orbite du quatrième satellite et au mouvement de ses nœuds. Cette inclinaison sur l'orbite de Jupiter a paru constante depuis la fin du dernier
siècle jusque vers 1760; les nœuds ont eu, dans cet intervalle, un mouvement direct d'environ 4' par année; l'inclinaison, dans ces trente dernières années, a augmenté d'une manière très sensible. On aura l'inclinaison de l'orbite et la position de ses nœuds à une époque donnée, en donnant à i, dans l'expression de /', la valeur qui convient à cette époque, et en mettant cette expression sous la forme
A smv'"— Bcost^*.
Alors -r est la tangente de la longitude du nœud, et sjX^-^ B' est l'inclinaison de l'orbite. En faisant successivement «= — 20, f— 20, I — 60, r — 90, on trouvera que, depuis 1680 jusqu'en 1760, l'inclinaison a fort peu varié, et que le nœud a eu, dans cet intervalle, un mouvement d'environ 4', conformément aux observations; on verra pareillement que, depuis 1760 jusqu'en 1790, l'inclinaison a augmenté très sensiblement.
Pour avoir la durée des éclipses du quatrième satellite, nous reprendrons la formule
<^T(i+x)i-~^^^±t/ri-4x+--^iri-ix-, '" -Tj
trouvée dans l'article XII ; T est la demi-durée moyenne des éclipses du satellite dans ses nœuds, et M. de Lambre a trouvé cette durée de 8590". On a ensuite
n" dt
ce qui donne, à fort peu près, en n'ayant égard qu'au terme le plus considérable de l'expression de v'" dans les éclipses,
X — 3o59",7COs(9"-gt"'); en réduisant cette valeur de X en parties du rayon, on aura
X = o,oi4833 008(9"— Gj'').
L'angle ê est le mouvement synodique du satellite durant le temps T,
et l'on trouve
On a enfin, par l'article XXIII,
s'" Cela posé, on formera la quantité —^ — rg dans les éclipses, et, en la
nommant ^, on aura
K= 1,35397 sin(t^'"+46°56'— 52", 25 0 — 0,12571 sin((^"'+ 4i°5o'h- 238i",o50 -f- 0,018471 sin(p"'+ 56044'+ gSiS", 450.
Maintenant on peut dans l'expression de t négliger, sans erreur sen-
T\s"' ds'" sible, le terme — N2g^ m> on peut ensuite mettre le radical de
cette expression sous cette forme
On aura ainsi
Soit T l'instant de la conjonction du satellite, en supposant son orbite dans le plan de l'orbite de Jupiter; T sera donné par l'expression précédente de v'" et par les Tables de Jupiter. Il est clair que l'instant de la conjonction réelle retarde sur T de la différence du mouvement du satellite sur son orbite à son mouvement projeté, réduite en temps.
Cette différence est - ,^,'„ ; pour la réduire en temps, il faut la multi-
plier par g, ce qui donne i38",2^-^- L'instant de l'immersion du satellite sera donc
l'instant de l'émersion sera
THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER. Ul
et la durée entière de Téclipse sera
Si les éléments dont nous avons fait usage étaient exacts, on pourrait, au moyen des formules précédentes, déterminer avec précision les éclipses du quatrième satellite et former des Tables de ses mouvements; mais il reste encore sur ces éléments une incertitude qui ne peut être levée que par les observations. Vu l'incertitude de ces observations, il faut en considérer un très grand nombre ; la méthode la plus simple pour cet objet est celle dont M. de Lambre a fait usage, et qui consiste à former, avec les éléments précédents, des Tables provisoires, et à calculer par ces Tables les éclipses observées. Soient
Bi"' la correction en temps de la première conjonction moyenne de
1700; Bn'" la correction du mouvement annuel des conjonctions moyennes ; SF" la correction de l'aphélie en 1700, cette correction étant réduite
en temps, à raison du moyen mouvement synodique du satellite; Bf" la correction du mouvement annuel de l'aphélie, réduite en temps; nBh'" la correction de l'équation du centre, pareillement réduite en
temps; q le retard de la phase observée sur la phase calculée par les Tables
provisoires.
On aura
q = i dn^^ (5e*- 2 ôh" sin ( 6"- rs"' ) + 0,0 1 4833 ( i èf + àl'" ) cos ( B"- ro* ),
i étant le nombre des années juliennes écoulées depuis 1700, et les angles G'" et u" se rapportant à l'instant de la conjonction.
Cette équation suppose les éléments de la demi-durée des éclipses bien connus. Pour avoir une équation indépendante de ces éléments, on considérera les éclipses voisines des nœuds, parce que, vers ces points, les observations sont le moins incertaines et le plus indépendantes des éléments de la demi-durée. Si l'éclipsé entière a été observée, alors,
OEuvres de L. — \\. 56
en supposant que q exprime le retard du milieu observé de l'éclipsé sur l'instant calculé de ce milieu, l'équation précédente sera, à très peu près, indépendante des éléments de la demi-durée.
Si l'éclipsé entière n'a pas été observée, on considérera deux éclipses assez voisines pour que les erreurs des demi-durées aient été à peu près les mêmes, et dans l'une desquelles l'immersion a été observée, tandis que l'émersion a été observée dans l'autre. En marquant d'un trait en bas les quantités relatives à la seconde éclipse, on formera une nouvelle équation semblable à la précédente; en les ajoutant, on aura
q^q, = {i^i,)W+i ôs'" - 2 W [ si n ( Q"- Ts'")^ sin ( 0'; - < )] + 0,014833 hfli cosiO^-xs") + /, ces ( 9"; - <)] 4-o,oi4833ôr"[ cos(9'"— Gj"')+ cos(07 — <)].
Cette équation est, à fort peu près, indépendante des éléments de la demi-durée. On formera ainsi un grand nombre d'équations de condition, au moyen desquelles on déterminera les cinq indéterminées Bn'", §£'", SA'", Bf", âr". Il est surtout essentiel d'avoir avec exactitude la valeur de Bf", parce qu'elle est une des données qui servent à déterminer les masses des satellites.
Si l'on nomme t' la durée entière d'une éclipse, on aura la durée moyenne des éclipses dans les nœuds, au moyen de la formule
2Tiz=
En considérant ainsi un grand nombre d'éclipsés vers les nœuds, dans lesquelles les deux phases ont été observées, on aura la valeur de T avec précision. On peut encore, pour le même objet, faire usage de deux éclipses consécutives ou fort voisines, dans l'une desquelles l'immersion a été observée, tandis que l'émersion a été observée dans l'autre; car les erreurs des éléments du mouvement et de la demidurée étant à peu près les mêmes dans les deux éclipses, l'erreur de la durée entière dans l'une ou l'autre de ces éclipses sera à fort peu près
égale à l'erreur de l'émersion calculée, moins l'erreur de l'immersion calculée ; on pourra donc ainsi corriger la demi-durée calculée par une de ces éclipses, et se servir ensuite de cette demi-durée pour avoir T. On rectifiera par son moyen la valeur de ^.
T étant connu, on aura la valeur de ^ au moyen de l'équation
La valeur de T, dans les éclipses peut être mise sous la forme
Asin(f'^— 52",25/)4-Bcos((''^— Sa^aSt) . — C sin((^"'+ 238i",o5i) — D cos(p*'+ 238i",o50 4-0,018471 sin(^'''+56°44'-^-95I3^45/).
Cette expression renferme quatre indéterminées A, B, C, D. Le nombre 238i",o5 peut avoir besoin de correction; mais, suivant la théorie, cette correction est à peu près égale à Bf" réduit en secondes de degré; ainsi, elle est supposée connue par ce qui précède.
Quant au terme
+ 0,018471 sin(t'«'4-56'',44'+95i3%450»
on peut l'employer sans correction, soit parce qu'il est fort petit, soit parce que les éclipses du troisième satellite le donnent avec beaucoup plus de précision.
Pour avoir les quatre indéterminées précédentes, on considérera les éclipses entières observées loin des nœuds; les observations sont alors plus incertaines, mais elles ont l'avantage de donner avec exactitude ces indéterminées. Je dois observer qu'en cherchant à concilier les observations avec la théorie on trouve des difficultés fondées sur ce que les lunettes achromatiques, dont on se sert aujourd'hui pour observer les éclipses, étant meilleures que les lunettes dont on se servait autrefois, les durées observées des éclipses, toutes choses égales d'ailleurs, sont maintenant plus courtes que dans le dernier siècle et
au commencement de celui-ci : cette différence devient très sensible vers les limites des éclipses du quatrième satellite.
Théorie du troisième satellite.
M. de Lambre a trouvé, par la comparaison d'un grand nombre d'éclipsés de ce satellite, son moyen mouvement séculaire égal à 5io5"''i^22°6'42",o, et sa longitude moyenne, en 1700, à 5^i4°i2'i2",4- Soit G" la longitude moyenne du troisième satellite calculée sur ces données.
Le mouvement de ce satellite est assujetti à deux équations du centre très distinctes, dont l'une, qui lui est propre, est égale dans son maximum à 555", 80; la longitude de l'abside était, en 1700, de ii''24°42', et le mouvement annuel de cette abside est, par l'article XXIV, de 9863", 19. Soit donc
Gï"nilI«24°42'H-9863",I9ï,
cette équation du centre sera — 555",8sin(G" — cy").
La seconde équation du centre se rapporte à l'abside du quatrième satellite; M. de Lambre l'a trouvée, dans son maximum, égale à 309", i; cette équation est, par conséquent, — 3o9",i sin(0"— cy'").
Si, dans l'expression de Q" de l'article XIX, on substitue au lieu de/la quatrième des valeurs de/de l'article XXIV ou /= 2540", 35, et au lieu de h' et h" leurs valeurs en h'" qui, par le même article,
sont
si l'on y substitue encore |3o82",o, au lieu de A'", et au lieu de m' sa
valeur, on trouvera
Qr=i9",9o6.
Dans l'équation
àv"=(yim{nt — in't + t — it'-\-ft^V)
de l'article XIX, l'angle// -h T relatif à la valeur précédente de Q' est égal à ts'"— 5o", 25i; en nommant donc 0 et 6' les longitudes moyennes du premier et du second satellite, on aura
nt—2n't-he — 2e'-h/t-}-T = d'—2e''-hrs''.
On a, par l'article V,
Q — 29'—iSo°-i-e'—29";
la valeur précédente de Bv" devient ainsi
— 1 9", 906 sin ( 9' — 2 0" 4- cj"' ).
Si dans l'expression de Q" on substitue pour / la troisième des valeurs de /de l'article XXIV ou/== 98i2",94, et au lieu de h' sa valeur en h", qui, par le même article, est 0,21 54558 A"; si l'on observe de plus que A" = i555",8, on trouvera
et l'inégalité de i'" relative à cette valeur de Q" sera
— 34",235 sin(0'- 2 0"+ cj").
Les équations du centre relatives aux deux autres valeurs de /ayant paru insensibles, les valeurs de Q"qui y ont rapport sont pareillement insensibles.
L'expression de Bç" de l'article XVIIl devient, en y substituant pour m' et m" leurs valeurs,
ap' = ~292",oosin (6' — 6")
- 4%26sin2(9' — 0")
- o",85sin3(0'-ô')
- i9%24sin {d'—e^) 4- 65",6isin2(0'— ô') -4- 4',6isin3(9"-0').
Il résulte de l'article V que le coefficient du premier terme de cette expression dépend de N", et qu'il doit être changé dans le rapport inverse de n' — n" — N" à la valeur supposée pour cette quantité. N"
dépend de p — 19, puisqu'il est égal à n"li — ^~J^V Nous avons
supposé, dans l'article XVIII, p — ^9 = 0,0194222; mais on a vu dans l'article XXIII qu'il est égal à 0,02177944- ^^ coefficient — 292^,0 du premier terme de S/' devient ainsi — 291", 78.
Parmi les inégalités dépendantes de l'action du Soleil, et qui ont été déterminées dans l'article XX, la plus sensible est celle-ci
en substituant dans les expressions de è et de ^ les valeurs de m, m', m", on trouve que cette inégalité se réduit à 48", 214 sinV.
L'inégalité de l'article XX, dépendante de l'excentricité du satellite, donne, à raison de sa double excentricité, les deux inégalités
suivantes
— i",72sin(Ô"-2n + cj"),
— o",96sin(Ô"— 2n + cj'");
dans les éclipses où l'on peut supposer U = 6", ces inégalités se réunissent aux deux équations du centre, qui deviennent ainsi
— 554",o8sm(9"-cj") et - 3o8",i4 sin(ô"- cj'").
Quant à l'inégalité de l'article XX, qui dépend de l'élongation du satellite au Soleil, elle est absolument insensible.
Il nous reste à considérer l'équation de la libration du troisième satellite; mais on a vu dans l'article XXVI que cette libration n'est pas un dixième de celles du second et du premier, et celles-ci n'ayant pu encore être remarquées, il s'ensuit que celle du troisième est tout à fait insensible. En réunissant donc toutes les inégalités sensibles du mouvement du troisième satellite en longitude, on aura pour l'exprès-
sion de sa longitude dans les éclipses
^"=9"— 554%i sin (ô"— gj")
— 3o8',i sin (Q"—xs^) -4- 48", 2 sin V
— 34%asin {9' — 2d''-\-m")
— 19", 9 sin (9'~2d''-v-t!f)
— 291", 8 sin {B'—e")
— 4",3sin2(0'-9'')
— o^gsinSiO' — d")
— 19", 2 sin (0"— 0") -+- 65",6sin2(ô"— 5'") -I- 4%6sin3(ô"— ô").
Le troisième satellite présente dans ses mouvements des variations singulières qui dépendent de la double équation du centre que renferme sa théorie. Pour les expliquer, M. Wargentin a eu recours à deux équations particulières, dont les périodes sont de douze ans et demi et de quatorze ans, et qui sont en elles-mêmes deux équations du centre rapportées à des absides mues avec différentes vitesses; mais les observations l'ont ensuite forcé de les abandonner. Il leur a substitué une excentricité variable et il a formé, sur cette hypothèse, des Tables qu'il n'a point publiées, mais dont il a donné la comparaison avec un grand nombre d'observations dans le quatrième Volume des Nouveaux Mémoires d'Upsal. La première hypothèse de ce savant astronome était, comme on vient de le voir, conforme à la nature ; mais il s'était trompé sur la grandeur et sur la période de ces équations, parce qu'il ignorait que l'une d'elles se rapporte à l'abside du quatrième satellite.: c'est un résultat que la théorie pouvait seule nous apprendre.
Nous avons trouvé
Gj"= 1 1»24<'42'+ 9863% 191, vs^^zz 10*23° 19' -h 2590", 6/, partant
GJ"— Cj'*'=r 3l°23'+ 7272", 591;
en supposant donc vs" — u" = o, on aura
iT=. — 1 5 , 5 ;
ainsi, en i684,5, les absides coïncidaient, et les deux équations du centre en formaient une seule égale à — 86i", 7sin(6"— tsr") ou, en temps, égale à — 6™5i%7 sin(6"— cy").
En supposant u" — xs'" = i8o°, on a
ainsi, en 1773,6, les deux équations du centre étaient de signe contraire et en formaient une égale à — 245",7 sin(G" — cy") ou, en temps, égale à — i'"57%4sin(ô"— cy").
On voit dans les Mémoires de l'Académie pour 1787, page 184, que l'équation du centre, variable, substituée par M. Wargentin aux deux équations de ses Tables imprimées, est, en effet, de 7"^ en temps, de 1668 à 1720, et de 2'"3o* depuis 1754 jusqu'à 1781, ce qui diffère peu des résultats de la théorie.
Considérons présentement le mouvement du satellite en latitude.
Si, dans la partie
(i — v")(|;sin(n"^ + g"— I)
de l'expression de sa latitude qui résulte de l'article XXI, on substitue pour v" sa valeur trouvée dans l'article XXV, et pour (J; et I leurs valeurs données dans l'article précédent; si, de plus, on met v" — 5o",25i au lieu de n"t + £", on aura
3°o'25"sin(p"+46°56'-52",250-
]Le terme /"sin(/i*i 4- £"+ y« — A) qui, par l'article X, entre dans l'expression de la latitude du troisième satellite, devient, en y substituant pour q la quatrième des valeurs de q de l'article XXV, et y" ^ 5o",2.5i au lieu de n"t + i",
f sin(p"+238i",o5/— A).
Or on a, par l'article XXV,
et, par l'article précédent,
r— i4'58» et A=-4i"5o';
le terme précédent devient ainsi
— 2'I8",7sin(^>' + 4l''5o'-+-238I^o50• Relativement à la troisième des valeurs de q de l'article XXV, les observations donnent, comme on l'a vu dans l'article précédent,
/"=— 12'7'' et A = — 56'>44'; le terme l"%m{n"t -\- z' ^qi — A), relatif à cette valeur, devient ainsi
— I2'7''sin(^'''^-56«>44'-4-95I3",450• Les observations du second satellite ont donné, relativement à la seconde valeur de q,
/'^27'59^8 et A = -i8°53',
et, eu égard à cette valeur de ^, on a par l'article XXV
le terme l"sm{n"t h- iq — A) deviendra donc
64%9sin(p"-hi8<'53'+43i99'',750.
La valeur de / relative à la première valeur de q ayant été jusqu'à présent insensible, la valeur de /" qui en dépend l'est à plus forte raison. Quant aux inégalités périodiques de l'expression de la latitude, déterminées dans l'article XXII, on voit d'abord que le terme de cette expression,
— o,ooo6i925(L'— l") 2,m{n''t -h e"— i}&t + 2E — qi -t- A),
donne le suivant
— 0,00061925(1 — v")t|/sin(p''— 2II — 46° 56' -4- 52'',25i),
et, par conséquent, celui-ci
— 6",7sin(v'"— 2n — 46°56'-i-52",250.
Œuvre* de L. — XI. 67
Ce terme, dans les éclipses où l'on peut supposer II = p", se réunit au premier.
En réunissant ces différents termes, on a pour l'expression de la latitude du satellite dans les éclipses
s"= 3°o'32",osin(p"+46°56'— 62", 250 -12' 7" sin((^"+56°/i4'+ 951 3", 450
— 2'i8",7Sin(p"+4i°5o'+ 238i",o50 + 1' 4",9sin(p"-i- i8°53'+43i99%75 0.
Pour avoir la durée des éclipses du troisième satellite, nous reprendrons la formule de l'article XII
T est la demi-durée moyenne de l'éclipsé du satellite dans ses nœuds, et cette demi-durée, suivant les observations, est de 642o^ On trouve ensuite, au moyen de la valeur de (^", dans les éclipses,
X= 0,0026848 cos(0"—nî") + 0,0014937 cos(6"— gt''^) + o,ooi4i47 cos(ô' — 0" ).
ê est le moyen mouvement synodique du satellite durant le temps T,
et l'on a
s" cela posé, on formera la quantité g dans les éclipses; en la désignant par ïi, on aura
K= 0,86770 sin(p"+46°56'— 52%250
— o,o5825 sin(p"+ 56°44'+ 95i3",450
— o,oj m sin(t'"+4i°5o'+ 238i",o5 0
+ o,oo5i9 sin(p"H- i8°53'+ 43i99,750- Maintenant, on peut, dans l'expression de t^ négliger, sans erreur sen-
siDle, le terme — )iQcn>"'' ^" ^^^^ ^^"^^
Soit T l'instant de la conjonction du satellite, en supposant son orbite dans le plan de l'orbite de Jupiter; T sera donné par les Tables de cette planète et par l'expression précédente de i^". Il est visible que l'instant de la conjonction réelle retardera sur T de la différence du mouvement du satellite sur son orbite à son mouvement projeté sur l'orbite de
T • 1 • 15" ds"
Jupiter, réduite en temps. Cette différence est - -^-rl pour la réduire en temps, il faut la multiplier par g, ce qui donne i8o%42^; l'instant de l'immersion du satellite sera donc
l'instant de l'émersion sera
et la durée entière de l'éclipsé sera
Pour rectifier ces éléments du mouvement du troisième satellite, on formera d'abord à leur moyen des Tables provisoires de ce satellite; ensuite, on choisira un grand nombre d'éclipsés parmi celles dont les deux phases ont été observées. Soient Be" la correction en temps de la première conjonction moyenne de 1700; Bn" la correction du mouvement annuel des conjonctions moyennes; ST" la correction de la longitude de l'abside en 1700, cette correction étant réduite en temps, à raison du moyen mouvement synodique du satellite. Soient encore B/" la correction du mouvement annuel de l'aphélie, réduite en temps, et 2B/1" la correction de son équation propre du centre, pareillement
réduite en temps. Soit enfin 2 oh'[ la correction , en temps, de l'équation du centre de ce satellite qui se rapporte à l'abside du quatrième; quant à la correction de cette abside, elle est supposée connue par l'article précédent. Le mouvement du troisième satellite renferme encore une inégalité dépendante de son élongation au second satellite; cette inégalité peut avoir besoin de correction; mais, comme son coefficient a un rapport constant avec le coefficient de la principale inégalité du premier satellite, et que les observations donnent ce dernier coefficient avec beaucoup de précision, on peut supposer l'inégalité correspondante du troisième satellite assez exactement connue et la très petite correction dont elle est encore susceptible sera mieux déterminée par les éclipses du premier satellite. Cela posé, nommons q le retard observé du milieu d'une éclipse du troisième satellite sur le milieu calculé, on aura
g — Ô£"+ t on"— -xW sm(0"- w") + 0,0026844 (iô/"+ ar") cos(Ô"— cî") — i^h