sin2(0'— e

-4- i9",3isin3(0'— 6")

— 3",i4sin4(0'-e").

Le coefficient du second terme de cette expression doit être diminué et réduit à 3848", 2, à raison de l'augmentation de p — ^9, suivant la remarque de l'article précédent.

Parmi les inégalités du second satellite qui dépendent de l'action du Soleil, et qui sont déterminées dans l'article XX, la seule sensible est l'inégalité

en substituant pour m, m\ m!' leurs valeurs, cette inégalité devient

35%78sinV.

Enfin l'équation de la libration relative au second satellite est, par

l'article XXVI,

— o,85o59P sin(/i'< V^ -+- ''^)î

mais jusqu'ici la valeur de F a été insensible.

En rassemblant toutes les inégalités sensibles du mouvement de ce satellite, on aura

v'=e'— i2o",2sin(ô' — td")

— 66",osin(ô'— GT*')

— i98",4sin(0 — 20'4-tît")

— io2",4sin(9 — aâ'-Hcr'")

— 35",8sinV

— 5i%7sin {9' -6") ■+3848",2sin2(ô'— 9") -4- i9",3sin3(ô'-ô")

— 3",isin4(ô'-0).

La plus considérable de toutes les inégalités de cette expression est celle qui dépend de l'angle 2(6'— 6") et qui, réduite en temps, à raison du moyen mouvement synodique du satellite, est de iS^ii". Cette inégalité a été reconnue, a posteriori, par M. Wargentin, dans ses belles recherches sur le mouvement des satellites, imprimées dans le troisième Volume des anciens Mémoires d'Upsal. Depuis, MM. Bailli et de la Grange l'ont déterminée par la théorie. C'est la seule inégalité employée dans les Tables de M. Wargentin; mais on voit que le mouvement du second satellite a plusieurs autres inégalités assez sensibles pour y avoir égard, et c'est ce que M. de Lambre a fait dans ses nouvelles Tables des satellites.

Considérons maintenant le mouvement du second satellite en latitude. La partie

(i— v')ij;sin(n'^-i-e'— I)

de l'expression de sa latitude devient, en y substituant pour v', ^ et I leurs valeurs données dans l'article XXV, et en y mettant v^— 5o",25t au lieu de/ï7 + £',

3°4'48*sin(p'-4- 46°56'— ^i',2$i).

OEuvrea de L. — XI, 58

On a, relativement à la première des valeurs de q de l'article XXV,

mais, les observations n'ayant point fait reconnaître de valeur sensible à /, on peut n'avoir aucun égard à cette valeur de /'.

Da valeur de /' relative à la seconde des valeurs de q est, comme on l'a vu dans l'article précédent, égale à — 27'58",9. La partie /' ûxiiii't -\- £'+ qi — A) de l'expression de la latitude du second satellite devient

— 27'58^9sin((^'-M8<'53'+43I99^7oO• La valeur de /' relative à la troisième des valeurs de q est, par l'article XXV, 0,1624575/", et l'on a

on aura donc, pour cette partie de la latitude,

-i'58"sin(p'-h56°44'-H95i3",450.

La valeur de /' relative à la quatrième des valeurs de q est

et

on a donc, pour ce terme,

— 26",o8sin(p'4-4i°5o'+288i",o50.

Enfin la partie

— 0,00080787 (L'— /') sin(/i'^ + e'— aM^ — 1^ — qt — k)

de l'expression de /, trouvée dans l'article XXII, devient, en y substituant 3° 4' 48" au lieu de L'— /',

— 8", 408 sin(p'- 2n — 46° 56'+ 52", 25/),

et, dans les éclipses,

-h 3",4o8 sin(p'+ 46°56'- 52",250.

L'autre partie de l'expression de s' du même article peut être négligée.

En rassemblant donc tous les termes sensibles de l'expression de la latitude du second satellite dans les éclipses, on aura

5'= 3° 4'5i",4sin(p'H-46-56'— 52%25i) -27'58%9sin(t''+ 1 8° 53' + 43 199", 75/)

— ï'58",isin(p'+56<»44'H- 95 1 3", 45/)

— 26",osin(p'+4i°5o'4- 238i",o5/ ).

Pour avoir la durée des éclipses du second satellite, nous reprendrons la formule de l'article XII

Test la demi-durée moyenne des éclipses du satellite dans ses nœuds; M. de Lambre a trouvé cette demi-durée de 5170*. La valeur de p' donne, à fort peu près,

X=— 0,018657 COS2(9'—ô")-

6 est le moyen mouvement synodique du satellite pendant le temps T,

et l'on a

Cela posé, on formera la quantité . g> et, en la nommant C, on

aura

Ç= 0,547265 sin(p'+46°56'— 52', 25 0

— o,o83i53 sin((^'+ i8°53'+ 43I99^750

— 0,0058275 sin(t^'+56°44'H- 95i3",440

— 0,0012842 sin(p'+4i**5o'+ 2381", o5f).

Maintenant, on peut dans l'expression de / négliger, sans erreur sen-

TlLs' ds' sible, le terme — -, ,.g . ,; on aura ainsi

(i — p)*6av' t = 546% 9 y^ ± 5170» v/i-X-Ç*.

Soit T l'instant de la conjonction du satellite, en supposant son orbite

km THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

dans le plan de l'orbite de Jupiter; T sera donné par les Tables de cette planète et par l'expression précédente de v'. Il est clair que l'instant de la conjonction réelle du satellite retarde sur T de la quantité '^^, > réduite en temps. Cette quantité ainsi réduite est égale à

l'instant de l'immersion du satellite sera donc

T-3iiSo^-5i70»(x + X)v/i-X-Ç^

L'instant de l'émersion sera

T-3ii%o^ 4-5i7o«(i + X)s/i-X-ÇS

et la durée entière de l'éclipsé sera

io34o»(i + X)v/i-X-Ç2.

Pour corriger ces éléments, on formera à leur moyen des Tables provisoires du second satellite. Son mouvement en longitude offre trois corrections, savoir : i° celle de l'époque de la longitude moyenne du satellite en 1700, soit Se' cette correction réduite en temps, à raison du moyen mouvement synodique du second satellite; 2** celle du mouvement annuel des moyennes conjonctions, soit S/^' cette correction; 3° la correction du coefficient 3848", 2 de sin2(6'— 6"), soit Sy cette correction réduite en temps. Pour déterminer ces trois inconnues, on formera des systèmes de deux éclipses fort voisines, dans l'une desquelles l'immersion a été observée, tandis que l'émersion a été observée dans l'autre. On calculera par les Tables provisoires l'instant de l'immersion dans la première éclipse, soit q l'excès de l'instant calculé sur l'instant observé. On calculera par les mêmes Tables l'instant de l'émersion dans la seconde éclipse, soit q^ l'excès de l'instant observé sur l'instant calculé; on aura l'équation de condition suivante :

9 + grim 2 ôe'-i- (i -I- f,) <5/î'+ 5/[sin2 (ô'~ 0") + sin2(9; — 9; )].

i et ï, sont les nombres des années juliennes écoulées depuis 1700 jusqu'à la première et à la seconde éclipse; ô'— Ô" sont les valeurs de ces angles à l'instant de la conjonction dans la première éclipse; 6', — 0" sont les valeurs de ces mêmes angles à l'instant de la conjonction dans la seconde éclipse. Plus les éclipses que l'on aura choisies seront voisines, plus l'équation de condition sera exacte et indépendante des éléments de la durée des éclipses. Si les deux éclipses se réduisaient à une seule dont on eût observé à la fois l'immersion et l'émersion, on aurait alors

irrti, Q'-Q\ et e''=Q\;

- — ^ serait l'excès de l'instant observé de la conjonction sur l'instant

calculé; mais les éclipses de ce genre sont très rares.

On formera ainsi un grand nombre d'équations de condition, au moyen desquelles on déterminera les corrections Se', ^n' et S/. Si ces corrections ne représentent pas les observations, ce sera une preuve que les arbitraires auxquelles nous n'avons point eu égard ont un eflet sensible. Ces arbitraires sont au nombre de six, savoir : l'excentricité de l'orbite du premier satellite et la position de son aphélie, car on a vu ci-dessus que cette excentricité est plus sensible dans le mouvement du second satellite que dans celui du premier; ensuite l'excentricité propre au second satellite et la position de son aphélie; enfin, les deux arbitraires P et A de l'équation de la libration. Il sera fort difficile de déterminer ces diverses arbitraires par les observations, et c'est ce qui rendra la théorie du second satellite très compliquée si ces arbitraires sont sensibles. On ne doit donc les introduire dans cette théorie qu'après que les observations en auront fait sentir la nécessité. M. de Lambre a fait, pour les reconnaître, quelques tentatives inutiles, d'où il résulte que ces arbitraires sont très petites et du même ordre que les erreurs des observations dans lesquelles elles sont confondues.

Pour corriger les éléments de la demi-durée, on rectifiera d'abord le premier terme de l'expression de X, au moyen des corrections déjà

k^ THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

faites au premier terme de cette expression relative soit au troisième, soit au quatrième satellite; car les éclipses de ces deux derniers satellites donnent l'inclinaison de l'équateur sur l'orbite de Jupiter et la position de ses nœuds avec beaucoup plus de précision que les éclipses du premier et du second. On calculera ensuite les phases des éclipses observées près des nœuds, au moyen de la valeur de v' corrigée, et, en nommant q l'excès de l'instant observé sur l'instant calculé, on aura à

fort peu près

,7=:±<5T(i + X)v/i-X — ÇS

Bl étant la correction de T, le signe -h ayant lieu pour les émersions et le signe — ayant lieu pour les immersions. On corrigera ainsi T au moyen d'un nombre suffisant d'observations.

On considérera les éclipses éloignées des nœuds et l'on calculera, au moyen de la valeur corrigée de ç', l'instant T de leurs conjonctions, en supposant l'orbite du satellite dans le plan de l'orbite de Jupiter. L'instant de l'émersion ou de l'immersion du satellite sera à fort peu près

T-3iiSo^±(5i7o«+ÔT)\/i-X-Ç^

soit T' l'instant observé de l'émersion ou de l'immersion, on aura

T'r= T — 3i i%o^ ± (5i7o«+ ÔT) (i + X) v/"r=ôr^.

On aura donc la valeur de

d= (5170^4- ÔT)(i + X)v/i-X — Ç2

en retranchant T de T' et en ajoutant à cette différence la quantité 3ii*, o^-f qui, vu sa petitesse, connue. Soit t' cette valeur, on aura

tité 3ii%o^ qui, vu sa petitesse, peut être supposée suffisamment

Ici, on a trois corrections à faire; elles sont relatives au coeffî-

cient — o,83j53 du second terme de C. à l'angle constant i8°53'de ce terme, et au coefficient 43 199", 75 de i dans ce même terme. Ce dernier coefficient étant une des données dont nous faisons usage pour avoir les masses des satellites, il doit être déterminé avec beaucoup de précision, et pour cela il est nécessaire d'employer un grand nombre d'observations.

Théorie du premier satellite.

M. de Lambre a trouvé, par la comparaison d'un grand nombre d'observations de ce satellite, son moyen mouvement séculaire égal à 20 645""^*= 7' 25** 29' 1 1", 4» Pt sa longitude moyenne en 1700 égale à 2^i7°i5'47". Soit 0 la longitude moyenne du satellite calculée par ces données.

On n'a point, jusqu'ici, reconnu d'équations du centre propres au premier et au second satellite; ainsi nous n'avons à examiner que les deux équations du centre qui se rapportent aux absides du troisième et du quatrième satellite. Il est facile de s'assurer que l'équation relative à l'abside du troisième est insensible, mais la quatrième des valeurs de / de l'article XXIV donne

/iz=: 0,0080527/1'^;

ainsi l'équation du centre du premier satellite relative à l'abside du

quatrième est

-9',4sin(9-Gj').

Cette inégalité, réduite en temps, est d'environ une seconde; ainsi on peut la négliger.

Si dans l'expression de Q de l'article XIX on met successivement les quatre valeurs de /de l'article XXIV, on aura

Q—— 2,96667/4, Q= i,5663oA', Qrz o,336i3/t', Q~ 0,020807 A"'.

A et A' sont insensibles; niais, en substituant pour A" sa valeur ^555", 8,

on trouve l'inégalité

93",75sin(0 — 2 9' + ct").

En substituant pour K" sa valeur |3o82", o, on trouve l'inégalité

Parmi les inégalités dépendantes de l'action du Soleil, et que nous avons déterminées dans l'article XX, la plus considérable est celle-ci :

Cette inégalité, réduite en temps, est d'environ une seconde; ainsi l'on peut se dispenser d'y avoir égard.

Si l'on substitue dans l'expression de S^ de l'article XVIII au lieu de m! sa valeur trouvée dans l'article XXIII, on aura

ô(^=— i5",68sin (0— Ô') + i856", iosin2(0- 0') + 5",93sm3(0-Ô').

Le coefficient du second terme de cette expression doit être un peu diminué, suivant la remarque de l'article XXVIII, à cause de l'augmentation de la valeur de p — ^9. On trouve qu'il se réduit à i825",o.

On a ainsi

v = B^ 93",8sin (0 — 20' + cj")

+ 3i", I sin (6 — 20' + tu'") — i5",7sin (0— 0') -hi825",osin2(0— B') -h 5",9siii3(0— 0').

Pour avoir l'expression de la latitude du premier satellite, au-dessus de l'orbite de Jupiter, nous observerons que l'on a, par l'article XXV»

on a d'ailleurs

vj; = 3°6',

d'où l'on tire

on aura ainsi pour la partie de la latitude du satellite relative à l'inclinaison de l'équateur sur l'orbite de Jupiter

3°5'53"sin(^-i-46"56'— 52",250.

La valeur de / relative à la première valeur de q de l'article XXV a été jusqu'à présent insensible. Sa valeur relative à la seconde valeur

de q est

ainsi cette partie de la latitude sera

— 39"sin(t^ -f- 18°53'4- 43199', 750-

Mais, comme elle ne peut affecter que de i%6 la demi-durée des éclipses, on peut la négliger. Les valeurs de /relatives aux deux autres valeurs de q sont insensibles.

Enfin, la valeur de s de l'article XXII donne, en n'ayant égard qu'à la partie

— o,oooi53i2(L' — /) sin(n/; -h£ — 2M< — 2E — 7<-hA)

qui dépend de l'action du Soleil, et en y substituant S^'S'SS" pour

— i%7 sin(p — an — 46°56'+ 52",25/),

quantité qui, dans les éclipses, se réunit au premier terme de la latitude, qui devient par là

3°5'54",7sin((; + 46°56'-52",25/);

c'est à ce terme que se réduit sensiblement la valeur de s.

Pour avoir la durée des éclipses du premier satellite, nous reprendrons la formule de l'article XII

OFMures de l.. — \l. Sq

T est la demi-durée moyenne des éclipses du satellite dans ses nœuds, et cette demi-durée a été observée de 407^'; ^ étant le moyen mouvement du satellite durant le temps T, on a

ê — 34536", 62; l'écruation ^ -- — ~-—^ donnera donc

Ç = 0,34794 sin(p H- 46° 56'— 52", 250- La valeur de v donne, à fort peu près,

Maintenant on peut, dans l'expression de t, négliger sans erreur sen-

S fis *

sible le terme — TX7 ,-^^^', on aura ainsi

Soit T l'instant de la conjonction du satellite en supposant son orbite dans le plan de l'orbite de Jupiter; T sera donné par les Tables de cette planète et par l'expression précédente de v. Il est clair que l'instant de

• ï S ds la conjonction réelle du satellite retarde sur T de la quantité - -7—

réduite en temps. Cette quantité ainsi réduite est égale à 294% 3 -^— ; l'instant de l'immersion sera donc

KdK

l'instant de l'émersion sera

IdK

T - 388s o ^ + 4075^(1+ X) y/ 1 - X - es

et la durée entière de l'éclipsé sera

Le coefficient 0,34794 du premier terme de l'expression de l doit être rectifié en le faisant varier dans le rapport de l'inclinaison de l'équateur de Jupiter, rectifiée par les éclipses du troisième et du quatrième satellite, à l'inclinaison supposée de 3**6'. Enfin, il faut employer l'angle constant 46''56' de ce même terme, corrigé par les mêmes éclipses.

Pour corriger les autres éléments du mouvement du premier satellite, on formera des Tables provisoires de ce satellite avec les éléments précédents; on calculera par ces Tables une phase quelconque observée d'une éclipse; soit^ l'excès de l'instant observé sur l'instant calculé; soit Bz la correction de l'époque de la longitude en 1700, réduite en temps, à raison du mouvement moyen synodique du satellite; soit §w la correction du mouvement annuel des conjonctions moyennes du satellite; soit encore By la correction du coefficient de sin2(ô — Ô') de l'expression de ç», cette correction étant réduite en temps; enfin, soit BT la correction de la demi-durée moyenne des éclipses dans les nœuds; la demi-durée moyenne des éclipses dans les plus grandes latitudes du satellite ne différant que d'environ 4' de cette demidurée, on peut supposer, sans erreur sensible, que 8T est la correction de la demi-durée d'une éclipse quelconque. Cela posé, on aura l'équation de condition

q = à£-h ièn-hàysm2{9~Q')zçzàT,

le signe supérieur ayant lieu pour les immersions et le signe inférieur ayant lieu pour les émersions; î est, comme ci-dessus, le nombre des années juliennes écoulées depuis 1700.

Il serait utile d'ajouter aux quatre indéterminées précédentes une cinquième indéterminée pour la correction du mouvement de la lumière. Les éclipses du premier satellite ont fait connaître ce mouvement, et je suis persuadé qu'elles peuvent le donner avec plus de précision que l'aberration des fixes. Il faut pour cela choisir un grand nombre d'éclipsés observées fort près de la conjonction de Jupiter, et en pareil nombre avant comme après, en sorte qu'il y ait autant

d'immersions que d'émersions. De cette manière, les erreurs sur la durée de ces éclipses auront peu d'influence sur leur résultat moyen, que l'on comparera à celui d'un grand nombre d'éclipsés observées fort près de l'opposition de Jupiter, et en pareil nombre avant comme après, en sorte qu'il y ait autant d'immersions que d'émersions. Si l'on a soin de choisir, autant qu'il est possible, des observations faites par les mêmes observateurs ou avec des lunettes de pareille force et dans le même climat, on aura avec beaucoup d'exactitude l'équation de la lumière, dont la détermination précise intéresse toute l'Astronomie.

Conclusion.

J'ai donné, dans la première Partie de cet Ouvrage, la théorie analytique des inégalités des satellites de Jupiter, et j'ai fait en sorte de n'omettre aucune de celles qui peuvent influer d'une manière sensible sur leurs mouvements. Dans la seconde Partie, j'ai présenté le résultat de leur comparaison avec un très grand nombre d'observations et les formules nécessaires pour déterminer les mouvements des satellites. Je vais rappeler ici les principaux résultats de la théorie et des observations, pour mieux faire sentir l'exactitude de cette théorie et son utilité dans cette branche délicate et importante de l'Astronomie.

Les moyens mouvements et les époques des trois premiers satellites de Jupiter, tirés des Tables de M. Wargentin, off'raient un résultat très remarquable : le moyen mouvement du premier satellite, plus deux fois celui du troisième, approchait extrêmement d'égaler trois fois le moyen mouvement du second.

Pareillement, la longitude moyenne du premier satellite, en 1700, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, approchait extrêmement de 180°; d'où il suivait que les trois premiers

satellites ne pourraient être à la fois éclipsés qu'après un très grand nombre de siècles.

Frappé de ces résultats, je soupçonnai que ces égalités très approchées, dont cependant les Tables différaient encore de plusieurs minutes, étaient rigoureuses, et que les différences des Tables dépendaient des erreurs dont elles étaient encore susceptibles. Je cherchai donc, dans la théorie, la cause de ces égalités, et je trouvai, en l'approfondissant, que l'action mutuelle des trois premiers satellites rendait les rapports précédents rigoureusement exacts; d'où je conclus que, en déterminant avec plus de précision qu'on ne l'avait encore fait les mouvements de ces satellites, et en employant des observations plus nombreuses et plus éloignées entre elles, ces mouvements approcheraient encore plus de ces rapports. J'ai eu la satisfaction de voir cette conséquence de la théorie confirmée par les recherches de M. de Lambre. On a vu précédemment que la comparaison d'un très grand nombre d'observations lui a donné :

clr s o ' "

Moyen mouvement séculaire du premier satellite 20645.7.25. 29. 11,4

Moyen mouvement séculaire du deuxième satellite... 10285. 3.23. 14. i3,o Moyen mouvement séculaire du troisième satellite. . . 5io5.i .11. 6.42,0

Ces résultats donnent le moyen mouvement séculaire du premier satellite, moins trois fois celui du second, plus deux fois celui du troisième, égal à — 3", 6. On ne peut désirer un accord plus satisfaisant entre la théorie et les observations. Pour les faire coïncider exactement, M. de Lambre, dans ses Tables, a ajouté o",6 au moyen mouvement séculaire du premier et du troisième satellite, et a retranché o",6 du moyen mouvement séculaire du second.

On a vu pareillement que les observations ont donné à M. de Lambre :

Longitude moyenne du premier satellite, en 1700 .'.. 17. 15.47

Longitude moyenne du deuxième satellite, en 1700 2.i5.i3.32

Longitude moyenne du troisième satellite, en 1700 5. 14-12.12, 4

ces résultats donnent la longitude moyenne du premier satellite, en 1 700, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième.

égale à 5" 29^59' 3 5", 8. Suivant la théorie, cette quantité doit être de 6^; il n'y a donc ici qu'une différence de 24", 2 entre la théorie et les observations; ainsi elles s'accordent aussi bien qu'on peut le désirer. Pour les faire coïncider exactement, M. de Lambre, dans ses Tables, a ajouté 4" aux longitudes du premier et du troisième satellite, en 1700, et il a retranché 4" de la longitude moyenne du second satellite.

Il n'est pas nécessaire, comme on l'a vu dans l'article XIV, que les rapports précédents entre les moyens mouvements et les longitudes des trois premier^ satellites aient eu lieu exactement à l'origine de ces mouvements; il suffit que ces mouvements s'en soient peu écartés, et alors l'action mutuelle des satellites a suffi pour établir rigoureusement ces rapports. La différence des rapports primitifs aux rapports actuels a donné lieu à une inégalité d'une étendue arbitraire, commune aux trois satellites, et que j'ai désignée sous le nom de libration. Mais la discussion d'un grand nombre d'observations n'ayant point fait reconnaître cette inégalité, elle doit être fort petite et même insensible.

Les trois premiers satellites de Jupiter sont assujettis à une inégalité dont la période est d'environ 4^7 jours, et que les observations ont fait connaître. Cette inégalité est due à l'action mutuelle de ces trois satellites, et sert à déterminer leurs masses. Nous en avons développé la cause dans l'article V.

Les orbites des deux premiers satellites n'ont point d'excentricité sensible; mais les excentricités des orbites du troisième et du quatrième sont fort sensibles. La plus considérable est celle du quatrième; elle se répand sur les orbites des trois autres, mais plus faiblement à mesure qu'ils sont plus près de Jupiter. En se combinant avec l'excentricité propre à l'orbite du troisième satellite, elle produit dans son mouvement une équation du centre variable et rapportée à une abside dont le mouvement est variable. Cette double excentricité de l'orbite du troisième satellite a fort embarrassé les astronomes, qui l'auraient difficilement reconnue par les seules observations.

Les plans des orbites des satellites de Jupiter sont variables; on peut représenter à peu près leurs mouvements, en concevant chacune d'elles mue uniformément sur un plan qui passe constamment par l'intersection de l'équateur et de l'orbite de Jupiter entre ces deux plans, et qui est incliné à l'équateur d'un angle plus grand, à mesure que les satellites sont plus éloignés de Jupiter. Cette différence d'inclinaison a été reconnue par les astronomes sans qu'ils en aient deviné la cause; car, suivant la Table des éléments des satellites que M. de la Lalande a insérée dans la troisième édition de son Astronomie, n** 3025, les inclinaisons moyennes des orbites sur l'orbite de Jupiter dans l'hypothèse circulaire sont : 3°! 8' 38" pour le premier satellite, 3**i6'o" pour le second, et 3°i3'58" pour le troisième; en sorte que la différence des inclinaisons moyennes des orbites du premier et du troisième satellite est 4'4o''» différence qui, suivant la théorie précédente, est d'environ 6'.

Depuis l'époque de la découverte des satellites de Jupiter, l'inclinaison de l'orbite du quatrième est parvenue à son minimum; elle a donc été stationnaire pendant un assez grand nombre d'années, et ses nœuds ont eu un mouvement annuel direct d'environ 4' sur l'orbite de Jupiter. Cette circonstance, que les observations ont fait connaître, a été saisie par les astronomes pour calculer les éclipses de ce satellite; mais, depuis plusieurs années, les observations ont fait apercevoir dans l'inclinaison un accroissement très sensible, qui, sans le secours de la théorie, eût rendu très difficile la formation des Tables de ce satellite.

Ainsi la théorie a non seulement expliqué la cause des inégalités que les observations ont fait connaître, mais elle a développé les lois de toutes les inégalités qui, en se combinant entre elles, offraient aux astronomes des résultats trop compliqués pour qu'ils aient pu démêler les inégalités simples dont ils étaient formés. Elle a banni tout empirisme des Tables des satellites de Jupiter, et celles que M. de Lambre vient de publier dans la troisième édition de V Astronomie de M. de la Lande étant fondées sur la théorie de la pesa'nteur universelle, elles

ont l'avantage de s'étendre à tous les temps, en rectifiant les données que l'observation seule peut déterminer.

La grande influence de l'aplatissement de Jupiter sur les variations des orbites des satellites détermine avec beaucoup de précision cet aplatissement. On a vu, dans l'article XXIII, qu'il s'accorde parfaitement avec les mesures directes les plus exactes. Cet accord prouve que la gravitation des satellites de Jupiter vers cette planète se compose de leur gravitation vers chacune de ses molécules, puisque c'est dans cette hypothèse que nous avons calculé les variations des orbites des satellites. La vérité de cette hypothèse résulte du principe de l'égalité entre l'action et la réaction ; car, tous les corps à la surface de la Terre pesant vers son centre, il est nécessaire que la Terre pèse vers chacun d'eux, et qu'ainsi il y ait entre toutes les molécules de la matière une action réciproque, d'où résulte la sphéricité des corps célestes et leur force attractive; mais les phénomènes de l'aplatissement de la Terre, de la variation de la pesanteur à sa surface et des variations des orbites des satellites de Jupiter, démontrent, a posteriori, cette loi de la nature.

J'ai observé, dans l'article XXX, que les éclipses du premier satellite pouvaient donner la quantité de l'aberration avec plus de précision encore que les observations directes. M. de Lambre ayant bien voulu, à ma prière, discuter dans cette vue un grand nombre d'éclipsés de ce satellite, il a trouvé 10" )- pour la valeur entière de l'aberration. Cette valeur est exactement celle que Bradley a fixée par ses observations. Il est curieux de voir un aussi parfait accord entre deux résultats conclus par des méthodes aussi diff^érentes. 11 suit de cet accord que la vitesse de la lumière est uniforme dans tout l'espace compris par l'orbe terrestre; en effet, la vitesse de la lumière donnée par les observations de l'aberration est celle qui a lieu sur l'orbite terrestre, et qui, en se combinant avec le mouvement de la Terre, produit le phénomène de l'aberration. La vitesse de la lumière, conclue des éclipses, est déterminée par le temps que la lumière emploie à traverser l'orbe terrestre; ainsi, ces deux vitesses étant les mêmes, la

vitesse de la lumière est uniforme dans toute la longueur du diamètre de l'orbe do la Terre. Cette uniformité est une nouvelle raison de penser que la lumière du Soleil est une émanation de cet astre; car, si elle était produite par les vibrations d'un fluide élastique, il y a tout lieu de penser que ce fluide serait plus élastique et plus dense en approchant du Soleil, et qu'ainsi la vitesse de ses vibrations ne serait pas uniforme.

OEuvres de L. — XI. . 6o

DU

DU

Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris, année 1789; l'an II

do la République.

Sur la théorie des satellites de Jupiter.

J'ai donné dans le Volume de l'Académie pour l'année 1788 (' ) une théorie des inégalités des satellites de Jupiter, dans laquelle j'ai fait en sorte de ne rien négliger de ce qui peut influer d'une manière sensible sur les mouvements de ces astres. La longueur de cet Ouvrage ne m'a pas permis d'en publier la suite dans le même Volume. J'y déterminais par une première approximation les masses des satellites, l'aplatissement de Jupiter et tous les éléments du mouvement des satellites, et j'indiquais en même temps la marche qu'il fallait suivre pour corriger mes premiers résultats, par des approximations successives, et pour former des Tables des satellites aussi exactes que les observations le comportent. Ces résultats ont été publiés en partie dans la Connaissance des Temps pour 1792. M. de Lambre, à qui j'ai communiqué toutes mes recherches sur cet objet, a suivi la marche que j'avais indiquée. En discutant un très grand nombre d'observations d'éclipsés de satellites et en les comparant à mes formules, il est parvenu à de nouveaux résultats beaucoup plus précis que les miens, et il en a tiré de nouvelles Tables plus exactes que celles dont on fai-

(») Foir plus haut, p. Sog.

sait usage, et qui ont de plus l'avantage d'être uniquement fondées sur la loi de la pesanteur universelle : ces Tables viennent de paraître dans la troisième édition de V Astronomie de M. de la Lande. Pour sentir toute l'étendue de ce travail, il faut considérer que les indéterminées, dont les observations seules peuvent fixer la valeur, sont au nombre de vingt-neuf, savoir : les vingt-quatre éléments des quatre orbites des satellites, leurs masses et l'aplatissement de Jupiter. A la vérité, les deux rapports que j'ai trouvés entre les époques des longitudes et les moyens mouvements des trois premiers satellites réduisent à vingtdeux les vingt-quatre arbitraires que donnent les éléments des orbites; mais il y a deux nouvelles arbitraires qui dépendent d'un mouvement particulier à ces trois satellites, et que j'ai nommé libration; en sorte que le nombre entier des indéterminées s'élève toujours à vingt-neuf. Pour les déterminer par les observations, il faut revenir plusieurs fois, par des calculs longs et pénibles, sur la théorie de chaque satellite, jusqu'à ce que l'on ait trouvé les valeurs qui représentent le plus exactement les éclipses observées; et, comme ces observations sont fort incertaines, on doit en considérer un très grand nombre pour faire disparaître de leurs résultats moyens les erreurs dont elles sont susceptibles. Tel est l'immense travail que M. de Lambre vient d'exécuter avec autant de sagacité que de patience. Mais, indépendamment de l'utilité de la théorie des satellites de Jupiter pour la navigation, cette théorie offre des résultats si curieux, et sa correspondance avec les observations est si parfaite, que le géomètre et l'astronome sont par là pleinement dédommagés de leurs peines.

Quoique les observations exactes des satellites ne remontent guère au delà d'un siècle, cependant les mouvements de ces astres sont si rapides que, dans ce court intervalle, leur système nous a présenté, relativement à leurs inégalités séculaires, les mêmes phénomènes que le système planétaire ne développe que dans un grand nombre de siècles.

M, de Lambre a retrouvé, par la comparaison d'un grand nombre d'observations et avec une précision très remarquable, les deux théo-

rëmes auxquels la théorie m'a conduit sur les époques et sur les moyens mouvements des trois premiers satellites. Ces théorèmes consistent : 1° en ce que le moyen mouvement du premier satellite, plus deux fois celui du troisième, est exactement et constamment égal à trois fois celui du second; 2° en ce que la longitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est exactement et constamment égale à 180°. L'équation de la libration lui a paru insensible.

Les observations des éclipses du premier satellite de Jupiter ont fait découvrir le mouvement successif de la lumière. Il m'a paru que, en en considérant un grand nombre disposées d'une manière avantageuse, on devait obtenir ce mouvement avec plus de précision encore que parle phénomène de l'aberration. J'avais engagé les astronomes à le déterminer de cette manière; c'est ce que M. de Lambre a fait : il a trouvé pour l'aberration .en longitude 2o"j, exactement comme Bradley l'avait conclue des observations directes. Il en résulte que le mouvement de la lumière est uniforme, au moins dans tout l'espace compris par l'orbe terrestre.

M. de Lambre n'a point remarqué d'équation du centre sensible, propre au premier et au second satellite; l'équation du centre du troisième se communique aux deux premiers et au quatrième; l'équation du centre du quatrième satellite se communique sensiblement aux trois autres, mais plus faiblement, à mesure qu'ils en sont plus éloignés. La partie de cette équation, que le troisième satellite emprunte du quatrième, est un peu plus petite que je ne l'avais trouvée. Elle est une des données les plus avantageuses que l'on puisse employer pour déterminer la masse du quatrième satellite. Elle explique en même temps les inégalités singulières du mouvement du troisième satellite, que M. Wargentin a représentées empiriquement dans ses Tables, mais d'une manière imparfaite, parce qu'il en ignorait les lois et la cause, que la théorie seule pouvait faire connaître.

Les mouvements des orbites des satellites offrent des phénomènes très remarquables. La théorie m'a fait voir, et l'observation a con-

firme, que ces orbites ne se meuvent point sur l'équateur de Jupiter, mais sur des plans qui, lui étant différemment inclinés, sont situés entre le plan de l'équateur et celui de l'orbite et passent tous par la commune intersection de ces deux plans. Il en résulte que les inclinaisons des orbites des satellites sur celle de Jupiter et les positions de leurs nœuds sont très variables; mais, dans leurs mouvements périodiques, les orbites parviennent à une disposition telle que l'inclinaison de l'orbite du quatrième satellite change fort peu durant un long intervalle de temps. C'est en vertu de cette disposition des orbites, qui a eu lieu depuis la fin du dernier siècle jusqu'en 1760, que l'inclinaison de l'orbite du quatrième satellite a paru constante pendant cet intervalle, tandis que ses nœuds ont eu un mouvement annuel direct et d'environ 4'i-

Les masses des satellites, que M. de Lambre a conclues de ses recherches, diffèrent beaucoup de celles que j'avais trouvées, ce qui tient principalement au mouvement de l'abside du quatrième satellite que je supposais trop petit. Elles ont probablement encore besoin de quelques corrections, que de nouvelles observations et de nouveaux calculs feront connaître; mais ces corrections influeront peu sur les inégalités des satellites.

Enfin, en considérant l'influence de l'aplatissement de Jupiter sur les mouvements des nœuds et des aphélies des orbites, le rapport des axes de Jupiter, auquel M. de Lambre est parvenu, est celui de 4o à 43, ce qui se rapproche extrêmement de celui de i3 à i4 que Short a trouvé par des mesures directes. Cet accord nous montre évidemment que l'action de Jupiter sur les satellites se compose de l'action de toutes ses molécules, et il fournit la preuve, peut-être la plus décisive, de l'attraction mutuelle de toutes les parties de la matière. La valeur de p — jç» que j'ai supposée, dans l'article XVIII de mes recherches, égale à 0,0194222, a été trouvée par M. de Lambre égale à 0,02177944- Cette valeur influe sur les inégalités des trois premiers satellites dépendantes de leur configuration mutuelle; les valeurs numériques de ces inégalités, que j'ai données dans l'article cité.

doivent donc être un peu changées. Il n'y a, par l'article V de mes recherches, que les grands termes de ces inégalités qui puissent subir ainsi des changements sensibles; et il résulte du même article que les grands termes des expressions de Br et de Bu doivent être changés dans le rapport inverse de la valeur de 2/z — 2/1'— N à la valeur supposée pour cette quantité. Pareillement, les grands termes des expressions de Br' et de ou' doivent être changés dans le rapport inverse de la valeur de n — n' — W k h valeur supposée pour cette quantité; enfin, les grands termes des expressions de Br" et de Bu" doivent être changés dans le rapport inverse de n' — n" — N" à la valeur supposée pour cette quantité.

Quoique ces changements soient très petits, il seja bon d'y avoir égard dans les nouvelles recherches que l'on voudra entreprendre pour perfectionner les Tables des satellites. M. de Lambre doit publier son travail sur cet objet, dans lequel il exposera la marche qu'il a suivie. Par cette raison, je me dispenserai de publier la suite que je me proposais de joindre h ma théorie; puisque cette suite ne renfermait que mes premiers résultats et la méthode de les perfectionner, l'Ouvrage de M. de Lambre la rend inutile.

Sur les variations de l'obliquité de l'écliptique, du mouvement des èquinoxes en longitude et de la longueur de l'année.

On sait que l'action du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre fait rétrograder les èquinoxes, et que, en supposant fixe le plan de l'écliptique, elle conserve toujours sensiblement à l'axe de la Terre la même inclinaison sur ce plan, à un mouvement près de nutation, dont l'étendue est d'environ 1 8" ou 20", et dont la période est la même que celle du mouvement des nœuds de l'orbite lunaire. L'obliquité moyenne de l'écliptique sur l'équateur serait donc invariable, sans l'action des planètes sur la Terre, qui change à chaque instant la position de son orbite. Il en résulte dans cette obliquité une diminution confirmée par toutes les observations anciennes et modernes, et qu'il

OEuvret de L. — \l. 6l

n'est plus possible maintenant de révoquer en doute. Cette diminution est indépendante de l'ellipticité du sphéroïde terrestre; mais l'action du Soleil et de la Lune sur ce sphéroïde, en se combinant avec les variations du plan de l'écliptique, doit l'altérer et en changer les lois. Supposons, en effet, que l'on rapporte à un plan fixe la position de l'orbite de la Terre et le mouvement de son axe de rotation ; il est clair que l'action du Soleil produira dans cet axe, en vertu des changements de l'écliptique, un mouvement d'oscillation analogue à celui de la nutation, avec cette différence que, la période des variations du plan de l'orbite terrestre étant incomparablement plus longue que celle des variations du plan de l'orbite lunaire, l'étendue de cette oscillation doit être beaucoup plus grande que celle de la nutation.

L'action de la Lune produit dans l'axe de la Terre un mouvement semblable à celui que nous venons de considérer, car j'ai fait voir, dans nos Mémoires pour l'année 1786, page 25i ('), que l'inclinaison moyenne de son orbite sur celle de la Terre reste toujours la même, et qu'ainsi les plans de ces deux orbites sont assujettis aux mêmes variations séculaires. L'obliquité de l'écliptique sur l'équateur doit donc changer d'une manière très sensible par l'action du Soleil et de la Lune, combinée avec le déplacement de l'écliptique, et cette variation doit être ajoutée à celle qui résulte de ce déplacement. Il est d'autant plus essentiel d'y avoir égard, que si le mouvement des équinoxes était très rapide par rapport aux variations du plan de l'orbite terrestre, l'inclinaison de ce plan sur l'équateur serait constante, l'action du Soleil et de la Lune ramenant sans cesse l'axe de rotation de la Terre à la même inclinaison sur l'écliptique.

On doit appliquer des réflexions semblables aux variations du mouvement des équinoxes en longitude et de la longueur de l'année. Dans la recherche de tous ces phénomènes, il est nécessaire de combiner l'action du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre avec les changements de l'écliptique.

Les résultats suivants sont le développement de cette remarque, que

(M Voir ci-dessus, p. 258.

DU SYSTÈME DU MONDE. kSZ

j'ai déjà indiquée dans nos Mémoires pour l'année 1786, page 25 1 (*). Pour les rendre utiles aux astronomes, j'ai eu égard à tout ce qui peut avoir une influence sensible sur les phénomènes dont il s'agit. En partant des valeurs les plus probables des masses des planètes, je donne des expressions numériques très simples de la variation del'écliptiquc et de l'équation de la précession des équinoxes, due aux variations du plan de l'orbite terrestre, équation à laquelle il est indispensable d'avoir égard lorsque l'on veut comparer les observations du Soleil faites par Hipparque aux observations modernes. Ces résultats font partie d'un Ouvrage que je me propose de publier sur l'Astronomie physique; mais, au lieu de rapporter l'analyse qui m'y a conduit, il sera plus simple ici d'employer les formules connues de la précession et de la nutation.

Si l'on désigne par t le nombre des années juliennes écoulées depuis une époque donnée, telle que le commencement de 1700; par 'j" la quantité dont les équinoxes ont rétrogradé depuis cette époque, et par nt la partie moyenne de leur mouvement, n étant, suivant les observations, très peu diff'érent de 5o"; si l'on nomme ensuite 6 l'obliquité de l'écliptique sur l'équateur; oG sa variation; c l'inclinaison moyenne de l'orbite lunaire sur l'écliptique; à -t- A la distance moyenne du nœud ascendant de cette orbite à l'équinoxe du printemps; enfin, si l'on désigne par [7- la masse du Soleil divisée par le cube de sa moyenne distance à la Terre; par [jl' la masse de la Lune divisée par le cube de sa moyenne distance à la Terre; on aura, en n'ayant égard qu'à l'action du Soleil et de la Lune sur la Terre,

dd) u.' cos'ô — sin'0 ,. ..

-r='H — 7 :— 7ï 7i — ne cos(U -h A),

dt h'-'^i^ sin9cos9

69 = ^, ^cos(iV + A).

Ces deux formules, auxquelles M. d'Alembert est parvenu le premier,

(*) Foir ci-dessus, p. 258.

kSk SUR QUELQUES POINTS

sont un des résultats les plus intéressants de la théorie de la pesanteur universelle; elles ont généralement lieu quelle que soit la figure de la Terre, en la supposant môme recouverte d'un fluide d'une profondeur et d'une densité quelconques, ainsi que je l'ai fait voir ailleurs.

Considérons maintenant l'écliptique en mouvement par l'action des planètes, et rapportons' la position de l'écliptique vraie et de l'équateur à un plan fixe, par exemple à l'écliptique de 1700; 0 sera l'inclinaison de l'équateur sur ce plan, et ^ sera la quantité dont les équinoxes ont rétrogradé sur le même plan depuis l'époque donnée. On sait que la tangente de l'inclinaison de l'orbite solaire sur ce plan, multipliée par le sinus de la distance de son nœud ascendant à l'équinoxe du printemps, est exprimée par une suite de termes de la forme csin(iV + A); nous représenterons cette suite par ZcsinÇà -h A), la caractéristique S des intégrales finies servant ici à désigner la somme des termes de la forme précédente, dont le nombre est égal à celui des planètes. Pareillement, la tangente de l'inclinaison de l'orbite solaire, multipliée par le cosinus de la distance de son nœud ascendant à l'équinoxe du printemps, sera représentée par la fonction Zccos(it 4- A), dans laquelle se change Scsin(tVH- A), en augmentant dans cette dernière fonction tous les angles à de 90". L'expression précédente de §ô, due à un terme semblable que produit la variation du plan de l'orbite lunaire, donnera donc pour la variation de 0, qui résulte de l'action du Soleil combinée avec le déplacement de l'écliptique,

è9 = fi— y ^cos(iV-H A).

La formule 2csin(iV + A) représente encore la tangente de l'inclinaison moyenne de l'orbite lunaire sur le plan fixe, multipliée par le sinus de la distance de son nœud ascendant à l'équinoxe, en y ajoutant le terme de la forme csin(iV + A) dû au mouvement propre des nœuds de l'orbite lunaire. [Voir les Mémoires de l'Académie pour l'année 1786, page 25 1 (').] Nous ferons ici abstraction de ce dernier

(•) Voir ci-dessus, p. 208.

terme d'où résulte la nutation. On aura donc, par l'action de la Lune,

$6 = ^y^cos(/f + A);

ainsi, par les actions réunies du Soleil et de la Lune, on aura

ÔO=r— V ~C0S(i7H- A).

Pour avoir la variation de l'inclinaison de l'équateur sur l'écliptique vraie, il faut ajouter à cette valeur de §0 la variation qui résulte du déplacement seul de l'écliptique, et qui est égale à Sccos(iV -h A), comme il est facile de s'en assurer. En désignant donc par oO' l'accroissement de l'obliquité de l'écliptique vraie, on aura

Considérons maintenant le mouvement des équinoxes; on aura, en vertu des actions du Soleil et de la Lune combinées avec le déplacement de l'écliptique,

d'il (cos^O — sin^^) „

dt smôcosô

La quantité n est proportionnelle au cosinus de l'obliquité du plan fixe sur l'équateur; elle est par conséquent de cette forme Kcos6, ce

qui donne

n z= n{i — èôtàngô),

/2 el 0 étant constants dans le second membre de cette équation. L'expression précédente de ~ deviendra ainsi, en substituant pour 56 sa

valeur — V -^cos(i'/ + A) et en négligeant les termes de l'ordre c\

■—- = /i -^^ { ~ ~"' ) '^"o^-i- cosô /iccos(«7 4- A); ce qui donne, en intégrant,

^=znt-h const.H-'V (- — I ) tango -t- cosô -r- sin(«i -h A).

Ainsi la variation de l'angle ^ ou du mouvement des équinoxes, variation que nous désignerons par ^']^, est

a^l^^V r-l — I j tango + COS0 ^sin(f7 + A).

Pour avoir la variation de cet angle relativement à l'écliptique vraie, il faut retrancher de ^^ la variation du mouvement des équinoxes en longitude due au seul déplacement de l'écliptique, et qui est égale à SccotG sin(i/ -+- A). En nommant donc B'\t' la variation du mouvement rétrograde des équinoxes par rapport à l'écliptique vraie, on aura

ê'f zzz^/'n- "lang^ô^ f'4 — i\c cote s\n{it -h A).

Il est facile de condure de cette formule la variation de l'année tropique, car on aura son accroissement en multipliant -^ par

iJ ou par 86/400" de temps, et en le divisant par 5ç)'S",3, mouvement journalier du Soleil, ce qui revient à réduire en secondes les coefficients des sinus et des cosinus de ~- et à les multiplier par

. On peut observer sur les valeurs précédentes de Sô' et de S^' qu'elles seraient nulles à très peu près, si i était peu différent de /i; ce cas aurait lieu si le mouvement des équinoxes était très rapide relativement à celui du plan de l'orbite de la Terre, car alors les angles (n — i)t, dont ce dernier mouvement dépend, seraient très petits par rapport à nt.

Si l'on choisit pour plan fixe celui de l'écliptique à une époque donnée, et que l'on fixe l'origine de ^ à cette époque, la tangente de l'inclinaison de l'orbite terrestre sur le plan fixe sera nulle avec t. Or le carré de cette tangente est

[le cos{it + A)]2+ [2c sin(«7 + A)]^;

on aura donc, à l'époque donnée,

2csinAi=:o, 2ccosA=:o.

Ainsi, en réduisant l'expression de SO' dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de t et en ne conservant que la première puissance, on aura

ô9'= — V -ccosA — 2a7sinA.

La variation de l'obliquité de l'écliptique sera donc à cette époque égale à — Sci^sinA, et par conséquent elle sera la même qui résulte du seul déplacement de l'écliptique.

La fonction 2csin(iV -+- A) dépend des masses des planètes, et, comme plusieurs de ces masses sont encore inconnues, cette fonction n'a pu être jusqu'ici exactement déterminée. M. de la Grange l'a calculée dans deux hypothèses différentes sur ces masses. {Voir les Mémoires de l'Académie pour l'année 1774» ^^ les Mémoires de Berlin pour l'année 1782.) Si l'on fait usage de la dernière de ces déterminations, on trouve que la variation de l'inclinaison de l'écliptique vraie sur l'écliptique fixe de 1700, variation dont les limites sont ± 5° 23', produit dans l'obliquité de l'écliptique vraie sur l'équateur une variation dont les limites sont ± i°2i'28",5; en sorte que l'action du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre réduit au quart l'étendue des variations de l'obliquité de l'écliptique qui auraient lieu si la Terre était une sphère.

Pareillement les limites ± 2"i7% 7, que M. de la Grange assigne aux variations de la longueur de l'année, se trouvent réduites par nos formules à celles-ci ± 5i%9; d'où l'on voit la nécessité d'avoir égard aux considérations précédentes.

L'incertitude où l'on est encore sur les masses de plusieurs planètes ne permet pas d'avoir exactement les fonctions Scsin(i/ 4- A) et Sccos(i; 4- A). On en déterminera facilement, par la méthode sui-

vante, des valeurs approchées qui pourront s'étendre à toutes les observations anciennes, et qu'il sera aisé de rectifier, à mesure que les phénomènes célestes feront mieux connaître les masses des planètes; car, jusqu'à ce que ces masses soient connues avec beaucoup de précision, il sera inutile de calculer par des formules rigoureuses les fonctions dont il s'agit.

Soit (p l'inclinaison de l'orbite terrestre sur un plan fixe, que nous supposerons être celui de l'écliptique à l'époque où / = o. Supposons que t soit le nombre des années juliennes écoulées depuis cette époque; soit 'C la distance du nœud ascendant de cette orbite à un point fixe pris sur ce plan. Si l'on fait

/? = tang9sinC, ^=: tang9 cosÇ,

on déterminera, par les formules connues, les valeurs de ^ et de -j^> lorsque / = o. Soient a et b ces valeurs ; on déterminera de la même manière les valeurs de -— et de -£■> après le nombre T d'années écoulées depuis la première époque. Soient a' et b' ces valeurs. Cela posé,

on fera

pz=A' s'mgt -hB'{i-~ cosg' t)f

q = B' s'mg't — A' (i — cosgt);

on aura

k'g cosg T H- B'^'sin^'T = a', B'g'cosg'T — A'gsmgT = b'.

Si T est tel que les angles ^T et g'T soient peu considérables, ce qui aura toujours lieu lorsque T n'excédera pas looo ou 1200, on pourra supposer ces angles égaux à leurs sinus et leurs cosinus égaux à l'unité, ce qui donne

A'^- + B'g^'T = a', B'g'-A'gn- = b'; les quantités négligées ne seront que de l'ordre ^'T^ et par consé-

quent insensibles; on aura donc

^ ~ aT ' ^ ~ b'ï '

" h — ir

Maintenant, m étant le mouvement rétrograde des équinoxes depuis l'origine de t, si l'on suppose X, nul à cette origine, la tangente de l'inclinaison de l'orbite terrestre, multipliée par le sinus de la longitude de son nœud ascendant, sera tang9sin(^ -h/i/) ou /^cos/i; -+- ysin/^/; ce sera, par conséquent, la valeur de la fonction Scsin(fV -f- A), ce qui donne

Ic&m^it-^- k)—— A'sinn^4-B'cosni + A'sin(n + ^)< — B'cos(n4-^')/.

On aura pareillement

Iiccos(ïfH- A)=:lang9C0s(Ç-+- nt) = q cos nt —ps'mnt,

d'où Ton tire

2ccos(/^ + A) =— A'cosn^ — B'sinn^H- A'cos(/i -\- g)t -\-B's\n{n -^ ^')t;

en sorte que la fonction Scsin(ïV + A) se change en Jlccos(it h- A), en augmentant les angles it de 90°, comme cela doit être.

Vï.

Pour appliquer des nombres à ces formules, nous commencerons par déterminer les masses des planètes. Le moyen le plus précis d'avoir celle de la Terre est de faire usage de la longueur observée du pendule à secondes; et il est facile de s'assurer que, si Ton nomme m la masse de la Terre, celle du Soleil étant prise pour unité; {jl le rapport de la longueur du pendule à secondes au rayon terrestre; t: la parallaxe du Soleil, et T le temps de sa révolution sidérale exprimé en secondes; on a, en supposant la Terre sphérique,

m =:||uLT*sin'7:.

Les valeurs de (x et de u ne sont pas les mêmes sur toute la surface

OFMcres de L. — \\. 6a

de la Terre, et, quoique leurs variations soient peu considérables, il est cependant utile d'y avoir égard. Or il résulte des recherches que j'ai données dans nos Mémoires de 1 782 et 1 783 ( * ) sur la figure des planètes et de la Terre, que, sous le parallèle dont le sinus de latitude est v/j, la quantité ^[xT^sin'ir est égale à la masse de la Terre, multipliée par l'unité, moins le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur; en sorte que, pour avoir cette masse, il suffit de diviser la quantité précédente par ce multiplicateur. En supposant donc les deux axes de la Terre dans le rapport de i à i,oo3ht, rapport qui répond bien à tous les phénomènes; en supposant ensuite, comme M. du Séjour l'a trouvé par l'ensemble des observations des deux passages de Vénus sur le disque du Soleil, que la parallaxe horizontale polaire du Soleil dans les moyennes distances est 8", 81 28, je trouve le logarithme de la masse de la Terre égal à 4»4837748, et par conséquent cette masse égale à j^iî^.

Le logarithme de la masse de Vénus qui m'a paru le mieux répondre à tous les phénomènes sur lesquels cette planète a de l'influence est 4, 4166456.

Suivant les observations de M. Herschel, la révolution synodique du second satellite de la nouvelle planète est de i3J ii^5™ i*, 5, et sa plus grande élongation, vue à la moyenne distance de la planète au Soleil, est de 44">23. En supposant donc cette moyenne distance égale à 19,182558, je trouve le logarithme de la masse de la nouvelle planète égal à 5,7099085, et par conséquent cette masse égale à j^^.

Quant aux masses des autres planètes, j'ai adopté les déterminations que M. de la Grange en a données dans les Mémoires de Berlin pour l'année 1782, et suivant lesquelles on a

log de la masse de Mercure 3 ,6984015

log de la masse de Mars 3 ,7337488

log de la masse de Jupiter 6,9717561

log de la masse de Saturne 6,4738674

sur quoi l'on peut observer que ces deux derniers logarithmes sont les

(1) OEuvres de Laplace, T. X el XI.

seuls auxquels on doive avoir confiance ; mais heureusement les masses des autres planètes ont très peu d'influence.

Cela posé, j'ai trouvé pour le commencement de 1700, et en prenant pour plan fixe celui de l'écliptique à cette époque, où je fixerai l'origine de t,

«=: O^oSoSSS, ft r= — O", 500O.

En faisant ensuite T = — 1000, j'ai trouvé

a' — a =3 — o", 042220, b'— 6 — — o^oI265, d'où j'ai conclu

gz=- 32",/18i4, g'=— i7%4o88, A'=z-5io", i5, B'= 5924', 17;

et par conséquent, la précession moyenne des équinoxes dans ce siècle étant de 5o" j par année, on a

2c sin(f7 + A) — 5io", i5sin(5o'', 250 + ^9'^^''y^l cos(5o",25/)

— 5io",£5sin(i7",76860 — 5924'',i7 cos(32^84I2/),

iccos(iV H- A) = — 5924", 17 sin(5o'', 25/) + 5io",i5 008(50", 25 f)

+ 5924",i7 sin(32",84i20 — 5io",i5 ces ( 17', 7686 0;

ces valeurs donnent

àQ'— 932",56cos(i7",76860-3i4o",34sin(32",84i20, ô|'r=— 3292",28 sin(i7",76860 — 93i5",65cos(32",84i20,

d'où l'on tire, pour le mouvement rétrograde '^' des équinoxes depuis 1700,

v}>'=:5o",53353/ — 3292%28sin(r7'',76860 + 93i5%65[i — cos(32%84i20].

En en retranchant 5o",25^, on aura l'équation séculaire du Soleil relativement aux équinoxes, et l'on trouvera l'accroissement de l'année

égal à

— 36",ii4sin(32",84i20 — 6",9o39[i — cos(i7%76860];

en sorte qu'au temps d'Hipparque l'année était plus longue d'environ 10"^ qu'aujourd'hui.

Les astronomes rapportent les catalogues d'étoiles à une époque différente de celle de leur formation, en tenant compte des mouvements des étoiles en ascension droite et en déclinaison, dus à la préeession des équinoxes. La précision des observations modernes exige une grande exactitude dans cette réduction ; c'est à quoi l'on peut parvenir au moyen des formules précédentes. Pour cela, soient £ l'ascension droite d'une étoile et y sa déclinaison boréale; soient c?£ et chyles variations annuelles de ces angles; soient d'^ et dB les variations annuelles de ^ et de 6. On trouvera facilement, par les formules différentielles de la Trigonométrie sphérique,

dy =:d^ s'xnO cos£ -h dd sine,

Il ce cos{it -+- A)

de = d'^icosO 4- d<]i sin9 langy sine — dO tangy cose —

sin(

La valeur de d^ se déduit du mouvement annuel des équinoxes par rapport à l'écliptique vraie, que nous désignerons par d^\ au moyen

de l'équation

,, ,,, Hc cos(it -+- A)

''+=''+ + — tsp —

Mais on a, par l'article précédent, dans ce siècle où / = o,

lie cos {it H- A ) — o", o8o333 ;

on a ensuite

d^ = Ine sinA = o;

enfin les observations donnent

On aura donc

dy = 50", 4349 sinôcoss, d£ =^d^ cos 9 -h d'\)smO tangy sine — o",2oi6,

équations dans lesquelles on pourra prendre pour 6, y et £ leurs va-

leurs à l'époque de la formation des catalogues, ou, plus exactement, à l'époque moyenne entre^ celle de leur formation et celle de leur réduction. Ces équations supposent que la valeur 5o" { de la précession annuelle est exacte; elles supposent encore la variation séculaire de l'obliquité de l'écliptique égale à 5o". Ces deux suppositions ont peutêtre besoin de quelques corrections; mais, dans l'état actuel de l'Astronomie, les équations précédentes me paraissent les plus précises dont on puisse faire usage.

Sur les degrés mesurés des méridiens et sur les longueurs observées

du pendule.

Je me propose ici de discuter les mesures des degrés des méridiens et de la longueur du pendule à secondes, et d'examiner si l'on peut, sans faire trop de violence aux observations, concilier ces mesures avec une figure elliptique. Je considère d'abord les degrés des méridiens. Si, par l'axe de rotation de la Terre et par le zénith d'un lieu de sa surface, on imagine un plan prolongé jusqu'au ciel, ce plan y tracera la circonférence d'un grand cercle qui sera le méridien de ce lieu. Tous les points de la surface de la Terre qui auront leur zénith sur cette circonférence seront sous le même méridien céleste, et ils formeront sur cette surface une courbe qui sera le méridien terrestre correspondant.

Pour déterminer cette courbe, représentons par fx = o l'équation de la surface de la Terre, fx étant une fonction des trois coordonnées orthogonales X, y, z. Soient oc',y\ z' les trois coordonnées de la verticale qui passe par un lieu de la surface de la Terre déterminé par les coordonnées x,y^z\ on aura, par la théorie des surfaces courbes, les deux équations suivantes,

dx -^ dy

dx âz

en ajoutant la première, multipliée par une indéterminée X, à la se-

m SUR QUELQUES POINTS

conde; on en tirera

dx

Cette équation est celle d'un plan quelconque parallèle à la verticale

dont nous venons de parler; cette verticale, prolongée à l'infini, se

réunissant au méridien céleste, tandis que son pied n'est éloigné que

d'une quantité finie du plan de ce méridien, peut être censée parallèle

à ce plan ; l'équation différentielle de ce plan peut donc coïncider avec

la précédente. Soit

dz' = a dx' + b dy'

cette équation; en la comparant à la précédente, on en tirera

^ ' dz dx dy '

Pour avoir les constantes a et b, on supj)Osera connues les coordonnées de l'extrémité de l'axe de rotation de la Terre et celles d'un lieu donné de sa surface. En substituant ces coordonnées dans l'équation précédente, on aura deux équations au moyen desquelles on déterminera a et b.

L'équation {a), combinée avec l'équation pi = o de la surface, donnera la courbe du méridien terrestre qui passe par le lieu donné. Cette courbe ne se confond avec l'intersection de la surface par le plan du méridien céleste, que dans le cas où la Terre est un solide de révolution. Si la Terre est un ellipsoïde quelconque, [jl sera une fonction rationnelle et entière du second degré en x,y, z-, l'équation (a) sera donc alors celle d'un plan dont l'intersection avec la surface de la Terre formera le méridien terrestre; dans les autres cas, ce méridien est une ligne à double courbure. Mais, si l'on regarde comme une quantité très petite du premier ordre la différence de la figure de la Terre à celle d'une sphère, il est aisé de voir que l'on pourra, aux quantités près du second ordre, supposer la longueur du méridien terrestre égale à celle de la courbe formée par l'intersection de la surface terrestre avec le plan du méridien céleste.

Les mesures géodésiques donnent la ligne la plus courte tracée entre deux points situés sous le même méridien, et cette ligne n'est point celle du méridien terrestre; mais on peut encore s'assurer facilement que la longueur de l'arc du méridien est, aux quantités près du second ordre, la même que celle de la ligne la plus courte menée entre les deux extrémités de cet arc.

Si l'on nomme ds l'élément de la courbe du méridien terrestre et r son rayon osculateur, on aura

ds*

v/(rf*a?)*+(û?«7)*+(ûP«)*-(^'*)'

En prenant pour le plan des a? et des y le plan même du méridien céleste, z sera une quantité très petite du premier ordre, puisqu'elle serait nulle, si la Terre était une sphère. On aura donc, en négligeant les quantités du second ordre,

ds = ^dx- 4- dy*, ds^

\J{d^xY-^{d*yy — {d^s)'

le rayon osculateur du méridien terrestre peut donc être supposé le même que celui de la courbe formée par l'intersection de la surface de la Terre et du méridien céleste.

Le plan 'mené par la verticale, parallèlement au plan du méridien céleste, se confond avec lui, lorsque la Terre est un solide de révolution ; dans les autres cas, ces deux plans s'écartent l'un de l'autre. Leur distance mutuelle est insensible relativement aux étoiles; mais elle peut être sensible pour la Lune. Des observations multipliées d'écIipses de Soleil et d'occultations d'étoiles, faites sous des longitudes très différentes, peuvent nous éclairer sur cet objet.

On a déjà mesuré un assez grand nombre de degrés des méridiens; ces mesures ont été combinées de beaucoup de manières pour en

déduire la figure elliptique qui s'accorde le mieux avec elles, car, la Terre n'étant pas sphérique, cette figure est la plus simple qu'on puisse lui supposer; d'ailleurs, elle résulte de la pesanteur universelle si cette planète a été primitivement fluide et si, en se durcissant, elle a conservé sa figure d'équilibre. Mais les combinaisons des mesures des degrés ont donné pour la figure des méridiens des ellipses qui s'éloignent trop des observations pour pouvoir être admises; d'où l'on a conclu que la figure de la Terre s'éloignait sensiblement de celle d'un ellipsoïde de révolution. Cependant, avant que de renoncer entièrement à la figure elliptique, il faut déterminer celle dans laquelle le plus grand écart des degrés mesurés est plus petit que dans toute autre figure elliptique et voir si cet écart est dans les limites des erreurs des observations. J'ai donné dans nos Mémoires de 1783 (') une méthode pour résoudre ce problème et je l'ai appliquée aux quatre mesures des degrés du Nord, de France, du cap de Bonne-Espérance et du Pérou; mais cette méthode devient très pénible lorsque l'on considère à la fois un grand nombre de degrés. La méthode suivante est beaucoup plus simple.

Soient «, «,, a^, a^, ... les degrés du méridien; soient p, p,,p2, . . . les carrés des sinus des latitudes correspondantes; supposons que, dans l'ellipse cherchée, le degré du méridien soit représenté généralement par z -hpy. En nommant ce, x^, x^, x^, ... les erreurs des observations, on aura les équations suivantes, dans lesquelles nous supposerons que p, Pi,p2* • • • forment une progression croissante

-Piy = ^u

-pzy — x%>

a^— Z—pny = Xn^

(1) Voir, plus haut, p. 3.

Cela posé, concevons que Xi soit, abstraction faite du signe, la plus

grande des erreurs ^r, ^,, J'observe d'abord qu'il doit exister une

autre erreur a;,' égale et de signe contraire à Xi\ autrement on pourrait, en faisant varier z convenablement dans l'équation

ai — z—piy — Xi,

diminuer l'erreur Xi en lui conservant la propriété d'être l'erreur extrême, ce qui est contre l'hypothèse. J'observe ensuite que Xi et Xi> étant les deux erreurs extrêmes, l'une positive, l'autre négative, et qui doivent être égales, par ce que l'on vient de dire, il doit exister une troisième erreur Xi» égale, abstraction faite du signe, à a?,. En effet, si l'on retranche l'équation correspondante à a?,- de l'équation correspondante à Xi-, on aura

tti — ai—{pi — Pi) y — Xf — Xi,

Le second membre de cette équation est, abstraction faite du signe, la somme des erreurs extrêmes, et il est clair que, en faisant varier convenablement y, on peut la diminuer en lui conservant la propriété d'être la plus grande de toutes les sommes que l'on peut obtenir par l'addition ou par la soustraction des erreurs Xy a?,, x^, ..., pourvu cependant qu'il n'y ait point une troisième erreur Xi» égale, abstraction faite du signe, à Xi : or, la somme des erreurs extrêmes étant diminuée, et ces erreurs étant rendues égales au moyen de la valeur s, chacune de ces erreurs est diminuée, ce qui est contre l'hypothèse. Il existe donc trois erreurs a?,, a?/', Xi» égales entre elles, abstraction faite du signe, et dont l'une a un signe contraire à celui des deux autres.

Supposons que ce soit a?,-; alors le nombre i tombera entre les deux nombres i et i". Pour le faire voir, imaginons que cela ne soit pas et que i' tombe en deçà ou au delà des nombres i et i"\ en retranchant l'équation correspondante à i' successivement des deux équations correspondantes à « et à î", on aura

ai — (li — {Pi — Pi' )y = ^i — oci-y af— ai>— {pi' — Pc) y = Xi'—Xc

OEuvrcs de L. — W. 63

Les seconds membres de ces équations sont égaux et de même signe; ils sont encore, abstraction faite du signe, la somme des erreurs extrêmes : or il est clair que, faisant varier convenablement y, on peut diminuer chacune de ces sommes, puisque le coefficient de j est du même signe dans les deux premiers membres; on peut donc alors diminuer chacune des erreurs extrêmes, ce qui est contre l'hypothèse; ainsi le nombre i' doit tomber entre les nombres i et i".

Déterminons maintenant lesquelles des erreurs x, a?,, x.^, ... sont les erreurs extrêmes. Pour cela, on retranchera la première des équations (A) successivement des suivantes, et Ton aura cette suite d'équations

-a— {p^~p)y = xi-~x,

Supposons j infini; les premiers membres de ces équations seront

négatifs, et alors la valeur de x sera plus grande que x^, x^, En

diminuant continuellement y, on arrivera enfin à une valeur qui rendra positif l'un de ces premiers membres; mais, avant que d'arriver à cet état, il deviendra nul. Pour connaître celui de ces membres qui, le premier, devient égal à zéro, on formera les quantités

Pi — /^ Pi — P Pz — P

Nommons ^ la plus grande de ces quantités et supposons qu'elle soit

Pv — p

S'il y a plusieurs valeurs égales à p, nous considérerons celle qui correspond au nombre rie plus grand. En substituant ^ pour j, dans la ^iéme jgg équations (B), Xr sera égal à x, et, en diminuant y, il l'emportera sur a?, le premier membre de la r"^^"^^ équation devenant alors

DU SYSTÈME DU MONDE, i99

positif. Par les diminutions successives de y, il croîtra plus rapidement que les premiers membres des équations qui le précèdent, puisque son coefficient de — j est plus considérable ; ainsi ce membre devenant nul lorsque les précédents sont encore négatifs, il est visible que, dans les diminutions successives de y, il sera toujours plus grand qu'eux, ce qui prouve que Xr sera constamment plus grand que x, a?, , X.,, . .. , Xr^ lorsque j sera moindre que p. Les premiers membres des équations qui suivent la r'^™® seront d'abord négatifs, et tant que cela aura lieu, Xr+^, x^^^, ... seront moindres que x, et par conséquent moindres que x^. Ainsi x^ sera la plus grande de toutes les erreurs x, Xt, ..., x^ lorsque y, en diminuant, sera moindre que P; mais, en continuant de diminuer j, on parviendra à une valeur de y telle que quelques-unes des erreurs Xr+,, x^+i, . . . commenceront à l'emporter sur Xr.

Pour déterminer cette valeur de y, on retranchera la (r -\- 1)»^™» des équations (A) successivement des suivantes, et l'on aura

«1-^1 — «»•— iPr+l — Pr)f = ^r+l ~ ^ r, ^r+2 ^v \Pr-^ï — Pr) y ^^ ^ r-\-'i. — ^ ry

On formera les quantités

^r+i ^r ^/•-t-2 — ^r Pr+\—Pr Pr-\-2—Pr^

Nommons ^, la plus grande de ces quantités, et supposons qu'elle soit

a^i — Or

Pv — Pv

Si plusieurs de ces quantités sont égales à p,, nous supposerons que r' est le plus grand des nombres auxquels elles répondent. Cela posé, Xr sera la plus grande des erreurs a?, a?,, . . ., x^ tant que y sera compris entre p et ^, ; mais, lorsque, en diminuant j, on sera arrivé à p,, alors Xr' commencera à l'emporter sur x^ et à devenir la plus grande

des erreurs. Pour déterminer dans quelles limites, on formera les quantités

Pr'+i—Pr' Pr+i — Pr'

Soit (^2 la plus grande de ces quantités, et supposons qu'elle soit

Pv" — Pr'

Si plusieurs de ces quantités sont égales à (^o, nous supposerons que r" est le plus grand des nombres auxquels elles répondent, a?/ sera la plus grande de toutes les erreurs, depuis j = Pi jusqu'à j = |32. Lorsque j = p2» alors ^r^/ commence à être cette plus grande erreur. En continuant ainsi, on formera les deux suites

l .ty ce y, CV,.-, CVr") ' ' -f ^nf

( 00» P, Pi, (32, ..., (3ç, —00.

La première indique les erreurs x, x^, x/, x//, . . . qui deviennent les plus grandes; la seconde suite, formée de quantités décroissantes, indique les limites de y entre lesquelles ces erreurs sont les plus grandes; ainsi x est la plus grande erreur depuis j = qo jusqu'à j = P; Xr est la plus grande erreur depuis y= P jusqu'à y::^i^^; x/ est la plus grande erreur depuis j = P, jusqu'à y = ^2 ; ainsi de suite.

Reprenons maintenant les équations (B), et supposons j négatif et infini; les premiers membres de ces équations seront positifs; x sera donc alors la plus petite des erreurs x, x^, En augmentant continuellement y, quelques-uns de ces membres deviendront négatifs et alors X cessera d'être la plus petite des erreurs. Si l'on applique ici le raisonnement que nous venons de faire pour le cas des plus grandes erreurs, on verra que, si l'on nomme X la plus petite des quantités

flti — a r?2 — a a^ — a Px — a Pi—p' P% — p^

et si Ton suppose qu'elle soit

Ps—p

s étant le plus grand des nombres auxquels répond X si plusieurs de ces quantités sont égales à X, a? sera la plus petite de toutes les erreurs depuis7 = — co jusqu'à y = X. Pareillement, si l'on nomme Xj la plus petite des quantités

Ps->-i — Ps Ps-hi—Ps^

et que l'on suppose qu'elle soit

X a.- — fl«

Ps Ps

s' étant le plus grand des nombres auxquels répond X, si plusieurs de ces quantités sont égales à X, , a; sera la plus petite de toutes les erreurs depuis j = X jusqu'à j = X,, et ainsi de suite. On formera de cette manière les deux suites

— 00, A, 11, ^2, ..., CCq'j ÛO.

La première indique les erreurs x, x^, a?/, . . . qui sont successivement les plus petites à mesure que l'on augmente j; la seconde suite, formée des termes croissants, indique les limites des valeurs de y entre lesquelles chacune de ces erreurs est la plus petite; ainsi x est la plus petite des erreurs depuis y = — co jusqu'à y = X ; ic^ est la plus petite erreur depuis j = X jusqu'à j = X, , et ainsi de suite du reste.

Cela posé, la valeur de y qui appartient à l'ellipse cherchée sera l'une des quantités 3» P»» Pa» • • • » ^» ^i» ^2» Elle sera dans la première suite si les deux erreurs extrêmes de même signe sont positives; en effet, ces deux erreurs étant alors les plus grandes, elles sont alors dans la suite a?, a?^, a?/, ... ; et, puisqu'une même valeur dey les rend égales, elles doivent être consécutives, et la valeur dey qui leur convient ne peut être qu'une des quantités p, p,, . . . , puisque deux de ces erreurs ne peuvent être à la fois rendues égales, et les

plus grandes, que par l'une de ces quantités. Voici maintenant de quelle manière on déterminera celle des quantités ^, p,, ... qui doit être prise pour j.

Concevons, par exemple, que p, soit cette valeur; il doit alors se trouver, par ce qui précède, entre cCr et cc/, une erreur qui sera le minimum de toutes les erreurs, puisque x^ et cv/ seront les maxima de ces erreurs. Ainsi, dans la suite x, x^, ... , quelqu'un des nombres s, s', . . . sera compris entre r et r'. Supposons que ce soit s. Pour que x, soit la plus petite des erreurs, la valeur dey doit être comprise depuis X jusqu'à X, . Donc, si [3, est compris entre ces limites, il sera la valeur cherchée de y, et il sera inutile d'en chercher d'autres. En effet, supposons que l'on retranche celle des équations (A) qui répond à x^ successivement des deux équations qui répondent a x^ et k x/, on

aura

a,. — a,— {p,. — ps)y = x,. — Xs,

a,. — as— iPr' — Ps)f = .Xr'—Xs-

Tous les membres de ces équations étant positifs, en supposant j = ^,, il est clair que, si l'on augmente j, la quantité x^ — x^ augmentera; la différence des erreurs extrêmes en sera donc augmentée. Si l'on diminue au contraire y, la quantité x^'— x^ en sera augmentée et par conséquent aussi la différence des erreurs extrêmes. La valeur cherchée de y ne peut donc pas être plus grande ou plus petite que (3, ; ainsi elle est égale à p,.

On essayera de cette manière les valeurs de ]3, (3, , po, . . . , ce qui se fera très aisément par leur inspection seule; et, si l'on arrive à une valeur qui remplisse les conditions précédentes, on sera sûr d'avoir la valeur de y.

Si aucune des valeurs de p ne remplit ces conditions, alors la valeur

de j sera quelqu'un des termes de la suite 'k,'k^,'k^, Concevons,

par exemple, que ce soit 'k^. Les deux erreurs x^ et x^' seront alors négatives et il y aura, par ce qui précède , une erreur intermédiaire qui sera un maximum et qui tombera par conséquent dans la suite

X, Xry x/y — Supposons que ce soit x^, r étant alors nécessairement compris entre s et /; \^ devra donc être compris entre P et p,. Si cela est, ce sera une preuve que j est égal à X,. On essayera donc ainsi tous les termes de la suite X, X,, Xo, .. ., jusqu'à ce que Ton arrive à un terme qui remplisse les conditions précédentes; ce terme sera la valeur cherchée de j.

Lorsque l'on aura ainsi déterminé la valeur de j, on aura facilement celle de z. Pour cela, supposons que p, soit la valeur de j et que les trois erreurs extrêmes soient x^, a?/ et x^^ on aura

Xg :rr Xf.

et, par conséquent.

ar— z— p,.y= X,.

a, — z — psy = —Xr

d'où l'on tire

^ar-^as Pr + Ps

on aura ensuite la plus grande erreur x^, au moyen de l'équation

Appliquons la méthode précédente aux degrés déjà mesurés. Je réduis ces degrés aux suivants, savoir :

i^ Le degré du Pérou, à zéro de latitude, et que M. Bouguer a trouvé de 56 738 toises.

2° Le degré du cap de Bonne-Espérance, par 33° 18' de latitude australe, et que M. l'abbé de la Caille a trouvé de 67 037 toises.

3° Le degré de Pensylvanie, par 39*'! 2' de latitude, mesuré par MM. Mason et Dixon, et que M. Maskelyne a fixé, d'après ces mesures, à 56 888 toises.

4° Le degré de Rome, par 43*^ 1' de latitude, que les PP. Boscovich et Le Maire ont trouvé de 56979 to'ses.

50i SUR QUELQUES POINTS

5*^ Le degré de France, par 45°43' de latitude, que M. l'abbé de la Caille, dans nos Mémoires de 1758, a fixé à 57 o34 toises.

G** Le degré de Vienne, par 48*^43' de latitude, et que le P. Liesganig a trouvé de 57 086 toises.

7° Le degré de Paris, de 49° ^3' de latitude, et que, après plusieurs vérifications, on a fixé enfin à 57 074'^, 5.

8° Le degré de Hollande, par 52^4 1' de latitude, mesuré primitivement par Snellius, et ensuite rectifié par MM. de Cassini, qui l'ont fixé à 57145 toises. La grandeur de ce degré vient d'être confirmée par les nouvelles mesures que l'on a faites en Angleterre, et avec lesquelles elle est à fort peu près d'accord.

9'' Le degré deLaponie, que je fixe à 67405 toises, M. de Maupertuis l'a trouvé de 57 438 toises; mais il faut en retrancher 16 toises, à cause de la réfraction qu'il avait négligée. J'en retranche encore 17 toises, en prenant un milieu entre les résultats des douze suites de triangles, d'où l'on peut conclure la grandeur de ce degré, ce qui la réduit à 67 4o5 toises.

On pourrait joindre à ces degrés tous ceux que Ton a mesurés depuis Dunkerque jusqu'à Perpignan ; mais il suffît, dans la suite des degrés mesurés en France, d'en considérer, comme nous l'avons fait, deux placés vers les extrêmes. Je ne considère point ici le degré de Turin, ni celui de Hongrie, parce que l'un et l'autre laissent une grande incertitude dans les mesures. Voici maintenant une Table des neuf degrés précédents, disposés suivant l'ordre des latitudes, en observant que ces latitudes correspondent au milieu de chaque degré :

Latitudes. Degrés.

o toises

Les équations (A) de l'article IX deviennent donc ici

57087 — 5 — o,3oi43 7 = ^,,

(E) { 57034 — - — 0,5l25l7nr 07^,

Les deux suites (C) du même article deviennent

et les deux suites (D) deviennent

337,96, H- io55,2, +1258,4, 00.

Il est aisé d'en conclure, par l'article précédent,

7 = 684^73, ce qui donne, par le même article,

Ainsi, de quelque manière que l'on combine les neuf degrés précédents, quelque rapport que l'on, choisisse pour celui des deux axes de la Terre, il est impossible d'éviter dans l'ellipse une erreur dv 108 toises; et, comme cette erreur étant la limite de celles qui peuvent être admises, elle est par cela même infiniment peu probable, il fau-

OEuvrcs de L. — XI. 64

drait, pour admettre une figure elliptique, supposer des erreurs plus grandes encore que io8 toises dans quelques-uns de ces degrés.

La valeur que nous venons de trouver pour y donne une ellipse dont les axes sont dans le rapport de 249 à 25o. Dans cette ellipse, les trois plus grandes erreurs tomberaient sur les degrés de Pensylvanie, du Cap de Bonne-Espérance et du Nord. En considérant avec attention les mesures de ces trois degrés, il me semble impossible qu'il se soit glissé dans chacun d'eux une erreur de 108 toises, surtout après les réductions que j'ai déjà faites au degré du Nord. 11 me parait donc prouvé, par les mesures précédentes, que la variation des degrés des méridiens terrestres s'écarte sensiblement de la loi du carré du sinus de la latitude, qui résulte d'une figure elliptique.

L'ellipse déterminée dans l'article précédent sert à reconnaître si la supposition d'une figure elliptique est dans les limites des erreurs des observations; mais elle n'est pas celle que les degrés mesurés indiquent avec le plus de vraisemblance. Cette dernière ellipse me paraît devoir remplir les deux conditions suivantes : 1° que la somme des erreurs soit nulle; 2.° que la somme des erreurs prises toutes avec le signe + soit un minimum. M. Boscovich a donné pour cet objet une méthode ingénieuse, qui est exposée à la fin de l'édition française de son Voyage astronomique et géographique ; mais, comme il l'a inutilement compliquée de la considération des figures, je vais le présenter ici sous la forme analytique la plus simple.

Reprenons les équations (A) de l'article IX. En les ajoutant ensemble; en nommant A la somme des quantités a, a,, a.^, ... divisée par leur nombre ; en nommant F la somme des quantités /?, /?< , ^2» • • • divisées par le même nombre, la condition que la somme des erreurs

soit nulle donnera

d'où l'on tire

DU