U MONDE

En faisant donc

-Ai

Pz-

les

équations

deviei

idront

-9 y -<ïty

Formons les quotients -> — > — > •••> et disposons-les suivant leur ordre de grandeur, en commençant par le plus grand; les premiers membres des équations précédentes donneront une suite de cette forme, en écrivant les premiers ceux auxquels répondent les plus grands quotients, et en changeant le signe de ceux dans lesquels j' a un coefficient négatif,

(F) ày — c, hiy — Ci, h^y — c^, h^y — c^,

Cela posé, il est clair qu'en faisant j infini, chacun des termes de cette suite devient infini ; mais ils diminuent en diminuant j, et finissent par devenir négatifs : d'abord le premier, ensuite le second, et ainsi du reste. En diminuant toujours j)', les termes une fois parvenus à être négatifs continueront de l'être et diminueront sans cesse. Pour avoir la valeur de y, qui rend la somme de ces termes pris tous avec le signe -h un minimum, on ajoutera les quantités h, hf^ h^, ... jusqu'à ce que leur somme commence à surpasser la moitié de la somme entière de toutes ces quantités. Ainsi, en nommant F cette somme, on déterminera r, de sorte que

h-\- hi+ hi+. ..+ hr >îF,

je dis qu'alors on aura

Cr

Pour le faire voir, supposons que l'on augmente y de la quantité By, de manière que j- -hBy soit compris entre -p^ et j^; les r premiers termes de la série (F) seront encore négatifs, comme dans le cas où l'on avait y = p-, mais, en les prenant avec le signe 4-, leur somme diminuera de la quantité

(A + Ai + .. .+ /î,.i)ôj.

Le (r + i)ième jermc de cette suite, qui est nul lorsque j = t^> deviendra positif et égal à h^^y; la somme de ce terme et des suivants, qui sont tous positifs, augmentera de la quantité

{h,.-hh,.+i + ...)dy.

Mais on a, parla supposition,

/i + A, -+- A2 4- . . . 4- hr-i < A;. + h,.+i 4- . . . .

La somme entière des termes de la suite (F), pris tous avec le signe -h, sera donc augmentée, et comme elle est égale à la somme des erreurs œ, Xt, ... prises toutes avec le signe -h, cette dernière somme sera

augmentée par la supposition de y = r^ h-ôj. 11 est facile de s'assurer

de la même manière qu'en augmentant j, de sorte qu'il soit compris

entre r^^ et v^^» ou entre -—^ et -—^i ••-, la somme des erreurs

prises avec le signe -+- sera toujours plus grande que lorsque y = -p. Diminuons présentement y de la quantité §j, en sorte que jr- — ^y soit compris entre r^ et y^; la somme des termes négatifs de la série (F) augmentera, en changeant leur signe* de la quantité

(^ + /ll^-/^2^-.. .-hhr)dyf

et la somme des termes positifs de la même série diminuera de la

quantité

{h,.+i-{- hr+i -}-... )ây.

et, puisque l'on a

A -H /ti H- . . . -h Ar > ^r+i -h A,.+, -+- . . . ,

il est clair que la somme entière des erreurs prises avec le signe -fsera augmentée. On verra de la même manière qu'en diminuant/ de sorte qu'il soit entre j^^ et ^^S ou entre |^' et ^S • • •> la somme des erreurs prises avec le signe h- est toujours moindre que lorsque y — -j^' Cette valeur de y est donc celle qui rend cette somme un minimum. La valeur de y donne celle de z au moyen de l'équation

z = A-py.

Pour appliquer cette méthode aux équations (E) de l'article X, on en tirera d'abord l'équation

La suite (F) de l'article précédent sera formée des premiers membres des équations suivantes, écrits dans le même ordre que ces équations,

0,01022 J — 65,6 1 rr X3, 0,07617/ — l56,6l =: ^i, o,36324j- 360,39=: — ^8> o, 14646 j— 100,39=— ;r7, 0,47563 r — 291,91=: X, 0,08906/ — 4i>39=: — Xs, o,ioo58/— 29,89 = — Xi, 0,17420/— 7,61= a:,, o,o3688 / + 1 0,6 1 = — 0:4.

La demi-somme des coefficients de/, dans les premiers membres de ces équations, est 0,78622. Les quatre premiers coefficients de / sont moindres que cette demi-somme; mais les cinq premiers la surpas-

sent, d'où il suit que la valeur cherchée de y est égale à

ou à 6i3,io.

Dans ce cas, l'erreur a; est nulle, et l'expression générale du degré du

méridien est

56753T+6i3'r,iosin20,

6 étant la latitude correspondante. Le rapport des axes de la Terre est alors celui de 278 à 279; mais l'expression précédente donne une erreur, en plus, de 187'^, 7 dans le degré du Nord, et une erreur, en moins, de 109"^, 9 dans celui de Pensylvanie, ce qui ne peut pas être admis. On voit ainsi qu'il n'est pas possible de concilier avec une figure elliptique les degrés du méridien. Voyons s'il est possible de concilier avec cette figure les longueurs du pendule à secondes.

xin.

En examinant avec attention les longueurs observées du pendule à secondes, il m'a paru que dans les treize suivantes les erreurs ne surpassent pas douze ou quatorze centièmes de ligne.

Longueurs observées du Latitudes. pendule à secondes.

. , „ lie