o 44ij

Ces longueurs sont réduites au vide, au niveau de la mer, et à la

température d'environ i4« du thermomètre de Réaumur. Les trois premières ont été mesurées par M. Bouguer, sous l'équateur, à Portobello, et au petit Goave.

La quatrième a été mesurée au Cap de Bonne-Espérance par M. l'abbé de la Caille.

La cinquième a été mesurée à Rome par les PP. Jacquer et Sueur.

La sixième a été mesurée à Vienne par le P. Liesganig.

La septième a été mesurée à Paris par M. Bouguer.

La huitième a été conclue de la précédente, en supposant, avec M. de Maupertuis, que le pendule à secondes de Paris, transporté à Londres, fait 7,7 oscillations de plus dans un jour.

La neuvième, la dixième et la onzième ont été observées par M. Griscow à Arensbourg, à Pernavia et à Pétersbourg {Nouveaux Mémoires de Pétersbourg, Tome VII). Cet habile observateur a mesuré directement la longueur du pendule à secondes à Arensbourg, et j'en ai conclu celles de Pernavia et de Pétersbourg, d'après les différences qu'il a observées dans le nombre des oscillations du même pendule dans ces trois lieux.

La douzième longueur est celle de Pello. Je l'ai conclue de celle de Paris et de l'observation de M. de Maupertuis, suivant laquelle le pendule k secondes de Paris, transporté à Pello, fait 59 oscillations de plus par jour.

Enfin la treizième a été conclue de celle de Pétersbourg et de l'observation de M. Mallet qui, par la comparaison des oscillations d'un même pendule à Ponoi et à Pétersbourg, a trouvé o''«,20 pour l'excès du pendule à secondes de Ponoi sur celui de Pétersbourg {Nouveaux Mémoires de Pétersbourg, Tome XIV, II* Partie).

Représentons maintenant par x ->rpy la longueur du pendule à secondes, p étant, comme dans l'article IX, le carré du sinus de la latitude; on formera les équations suivantes :

SUR

Xi,

Xi,

■ o,3oi43/ =

■o,446ooy =

:Xi,

-o,723io/ =

zXg,

-Xn,

Ces équations répondent aux équations (A) de l'article IX. Les deux suites (C) du même article deviennent

00, -h 3,2585, -4-3,0678, -t- 2,3907, -+-2,0145, —00. Les deux suites (D) deviennent

X, X^, ^Mi ^ii

Il est facile d'en conclure, par l'article IX,

ce qui donne, par le même article,

iC =: ^5=: — a?3=r — 0,09897.

Ainsi, de quelque manière que l'on combine les treize mesures précédentes de la longueur du pendule à secondes, quelque rapport que l'on choisisse pour celui des axes de la Terre, il est impossible d'éviter, dans l'hypothèse elliptique, une erreur de -^ de ligne, à fort peu près; cette erreur est dans les limites de celles dont les observations sont

susceptibles. La loi d'un accroissement dans la longueur du pendule, proportionnel au carré du sinus de la latitude, est donc à fort peu près celle de la nature. Un dixième de ligne dans cette longueur répond à i3 toises et un tiers dans la longueur du degré. Nous avons vu, dans l'article X, que la loi d'un accroissement proportionnel au carré du sinus de la latitude s'écartait au moins de 108 toises des mesures des degrés des méridiens; cette loi se rapproche donc environ huit fois plus des observations dans la longueur du pendule que dans la grandeur des degrés.

Pour avoir la loi des longueurs du pendule, la plus vraisemblable, nous appliquerons aux équations (G) de l'article précédent la méthode de l'article XI; nous aurons d'abord

5 = 44o,5o3 — o,5ooi3/.

La suite (F) du même article sera formée des premiers membres des équations suivantes, écrits dans le même ordre que ces équations :

o,24886y — 0,707= — jr,o, o, 22583 j — 0,597 ^= — -^s' o, 34814/ — 0,907 =: — ar,2, o , 5oo 1 3 / — 1 , 293 =r X, O' 399977— i,o33= -^2'

o,o54i3/ — 0,123=: Xi,, 0,34468/ — 0,767 = — j:,,.

o, 1 1263/ — 0,247 =: — X-y o , 1 9870/ — o , 363 r= Xif

La demi-somme des coefficients de / dans les premiers membres de ces équations est i, 62543. Les quatre premiers coefficients sont moin-

OKuvres de L. — XI. 65

OC ^ "^^z^

o,oo5.

dres que cette demi-somme, mais les cinq premiers la surpassent; d'où il suit que la valeur de y est égale à

— 7i ou a 2,5827.

Dans ce cas, x.^ est nul, z est égal à 439,211, et l'expression générale de la longueur du pendule à secondes est

439"?, 211 + 2i's, 5827 sin^ ô,

ô étant la latitude correspondante. Cette expression donne les erreurs

suivantes :

Xt r= — o,o44, x^ ——0,009,

^9 =r 0,0l4, Jîio = 0,064, a;i, = — 0,123, ^12= 0,008.

Ces erreurs sont dans les limites de celles dont les observations sont susceptibles. Les deux seules qui surpassent ^ de ligne tombent sur les mesures du pendule au Cap et en Laponie. Mais il est possible qu'elles ne tiennent pas uniquement aux observations, et qu'elles dépendent de la disposition intérieure des parties de la Terre, qui peut écarter les variations des longueurs du pendule de la loi du carré du sinus de la latitude. 11 résulte des observations de M. Grischow qu'à Arensbourg, à Pernavia et à Pétersbourg les oscillations d'un même pendule ne suivent pas exactement cette loi; mais nous sommes fondés à croire, d'après les observations précédentes, que sur la surface entière du globe les longueurs du pendule à secondes rt'e s'éloignent de cette loi que d'environ -^ de ligne.

Il existe, entre la différence des longueurs du pendule à secondes au pôle et à l'équateur et entre la différence des deux axes de la Terre, un rapport remarquable, qui détermine l'une de ces quantités au moyen de l'autre. Ce rapport consiste en ce que, si l'on ajoute la différence des deux axes de la Terre, divisée par la demi-somme de ces

axes, à la différence des longueurs du pendule au pôle et à Téquateur, divisée par la demi-somme de ces longueurs, le résultat doit être égal à cinq fois la moitié du rapport de la force centrifuge à la pesanteur, rapport qui, comme on sait, est y^. Ce résultat a généralement lieu quelle que soit la figure de la Terre, pourvu que les variations des longueurs du pendule suivent, à fort peu près, la loi du carré du sinus de la latitude, ce qui, comme on vient de le voir, est le cas de la nature. [Voir nos Mémoires pour l'année 1788 (').] De là et de l'expression précédente de la longueur du pendule à secondes, on conclut que les deux axes de la Terre sont entre eux comme 358 est à 359, ou, ce qui revient au même, que l'aplatissement de la Terre est ^J^. Cet aplatissement est plus petit que celui qui résulte de la mesure des degrés des méridiens; en l'adoptant avec une figure elliptique, on aurait une erreur de 3o5 toises à répartir entre les deux degrés du Nord et de Pensylvanie, ce qui est contre toute vraisemblance; on peut donc encore moins concilier avec une figure elliptique l'ensemble des mesures des degrés des méridiens et du pendule, que les mesures des degrés entre eux; ainsi tout concourt à nous faire rejeter la figure elliptique dans le calcul de la variation des degrés.

L'aplatissement-^ est moindre que celui de ~j, auquel je me suis arrêté dans nos Mémoires de 1783; mais il y a lieu de croire qu'il n'est pas trop petit, par les raisons suivantes :

i** Il résulte d'un grand nombre de bonnes observations de la longueur du pendule, avec lesquelles il s'accorde d'une manière fort précise.

2° Il suit des recherches sur la figure de la Terre, que j'ai données dans nos Mémoires pour 1783, que, si l'on suppose l'action de la Lune triple de celle du Soleil dans les phénomènes de la précession des équinoxes et des marées, ainsi que je l'ai trouvé par la comparaison d'un grand nombre d'observations des marées, la nutation entière de l'axe de la Terre est de 2o",ï663; et, dans ce cas, si l'on suppose, comme cela est fort probable, que la densité des couches de la Terre diminue du centre à la surface, l'aplatissement de cette planète doit,

(» ) Ci-dessus, p. 3.

pour satisfaire aux phénomènes de la précession et de la nutation, être compris entre ~ et ~. L'aplatissement -^ tombe entre ces limites, et il s'éloigne assez de la limite -^ que donne le cas de l'homogénéité, pour pouvoir être admis avec vraisemblance.

3° Les mouvements observés des nœuds et des aphélies des satellites de Jupiter ont donné, avec une grande précision, les deux axes de cette planète dans le rapport de 4o à 4^. En supposant que, pour la Terre comme pour Jupiter, l'aplatissement soit la même partie aliquote du rapport de la force centrifuge à la gravité sous l'équateur, on aura ^J^ pour l'aplatissement de la Terre, ce qui est encore au-dessous de celui que nous venons de trouver.

Il reste maintenant à expliquer pourquoi la figure elliptique, qui s'accorde si bien avec les variations de la pesanteur et les mouvements de la Terre autour de son centre de gravité, s'en éloigne sensiblement dans la variation des degrés; mais, ayant discuté cet objet dans nos Mémoires de 1788, je me contente d'y renvoyer. J'observerai seulement ici que, dans le calcul des parallaxes, on doit faire usage de l'hypothèse elliptique et de L'aplatissement déterminé par les observations du pendule, ainsi que je l'ai fait voir dans les Mémoires cités; d'où il suit que l'aplatissement ~ donne certainement des variations trop grandes dans les parallaxes de la Lune, et que les astronomes qui font usage du rapport de 177 à 178 s'éloignent autant de la vérité, en plus, que ceux qui calculeraient dans l'hypothèse sphérique s'en écarteraient en moins.

Sur la figure de la Terre.

J'ai fait voir, dans nos Mémoires pour l'année 1782 (*), que, si l'on suppose la Terre fluide et homogène, sa figure ne peut être que celle d'un ellipsoïde de révolution. Je me propose ici d'étendre ce résultat au cas où la Terre, ayant été primitivement fluide, serait formée de couches de densités variables. M. Glairaut a déjà fait voir que la figure

(») OEuvres de Laplace, T. X.

oUiptiquo remplit, dans ce cas, les conditions de l'équilibre; mais il s'agit de prouver qu'elle est la seule qui satisfasse à ces conditions. Pour cela, je vais rappeler quelques propositions que j'ai démontrées dans les Mémoires cités.

Soit 6 l'angle formé par un rayon r, mené du centre de gravité de la Terre à un point quelconque d'une de ses couches et par l'axe de rotation de cette planète; soit cosô=ra. Nommons ct l'angle que forme le plan qui passe par ce rayon et par l'axe de rotation avec un méridien invariable. Soit Y, une fonction rationnelle et entière de l'ordre i des trois quantités (jl, y i — K-'' sinnj et y/i — (x^coscy, et qui soit assujettie à l'équation aux différences partielles

d^Yi

La surface de la couche du sphéroïde, dont le rayon est r, étant supposée très peu différer d'une surface sphérique, on pourra toujours exprimer r par une suite de cette forme

a + a a ( Yo + Y, + Y, + Y3 -f- . . . ),

a étant un très petit coefficient dont nous négligerons le carré.

Nommons p la densité de la couche dont le rayon est r, et II la pression du fluide à sa surface. La densité p étant supposée la même dans toute l'étendue de sa surface, elle sera une fonction de a; de plus, la pression II est, comme on sait, la même sur toute cette surface, en sorte qu'elle est fonction de a. Cela posé, on aura l'équation suivante, donnée par les conditions de l'équilibre [Mémoires de l'Académie pour l'année 1782, page i79(')l»

: an / pda-

•+ 4«Tn 1 pdla-

Yo-4-^Y.+