DE LA LUNE

27. Nous avons remarqué, dans le commencement de ce Livre, que le mouvement de la Lune, conclu par la comparaison des observations de Flamsteed et de Bradley, est sensiblement plus grand que celui qui résulte des observations de Bradley comparées aux observations de Maskelyne, et que les observations faites depuis quinze à vingt ans indiquent dans-ce mouvement une diminution plus grande encore. Cela semble prouver qu'il existe dans la théorie de ce satellite une ou plusieurs inégalités à longues périodes, dont il est important de connaître la loi. En examinant avec la plus scrupuleuse attention cette théorie, on voit que l'action des planètes ne produit aucune inégalité semblable, comme on peut s'en convaincre par l'analyse exposée dans le n° 21 ; mais l'attraction du Soleil produit, dans l'expression de nt-i-z, une inégalité proportionnelle au sinus de l'angle

3f — 3 mv -\- 3 c' mv — igv — cv-hnô + vs — 3nj'.

Les termes qui composent cette inégalité sont très-petits dans les équations différentielles; mais quelques-uns d'eux acquièrent par les intégrations successives le diviseur (3 — 3m ■+- 3c' m — 2g — cy, et ce diviseur peut les rendre sensibles par son excessive petitesse. Pour déterminer ce diviseur, nous observerons que l'on a, par le n" 16,

3 — ig — c = o, 00040849.

De plus, le mouvement annuel du périgée solaire étant, par le n° 25

du Livre VI , égal à 36", 88 1 443 , on a

I — c' = 0, ooooogciaoSS , d'où l'on tire

3 — 3m + 3c' m — ig — c = o, ooo4o64'2 ,

et par conséquent,

(3 — 3m -{- 3c' m — t. g — c)"^ = o,ooooooi65i8.

A la vérité, on a vu, dans le n° 5, que le carré du coefficient de l'angle v ne peut pas, en vertu des intégrations successives, être diviseur de l'inégalité correspondante, lorsque l'on n'a égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice; mais cela cesse d'avoir lieu pour les termes dépendants du carré de cette force, et l'inégalité dépendante de 3(^ — 3mç^ -1- 'dc'rnv — 2gç — cv -i- 2^ -h vs — 3ct' ne peut résulter que de ces termes. Pour le faire voir considérons le terme 'iaffndtàK de l'expression de S(^, donnée par la formule (Y) du n'^ 46 du Livre II; ce terme paraît être celui dont l'inégalité que nous considérons doit principalement dépendre. Le développement de R donne des termes de la forme

H CCS {3nt --3n' t -\- 3c'n' t — ignt — cnt -^ iB +xs — 3m'].

Si ces termes ne résultent que de la première puissance de la force perturbatrice, n't et c'n't se rapportent aux coordonnées du Soleil, et alors la différentielle dR, qui ne se rapporte qu'aux coordonnées de la Lune, devient

dR = — (3 — 2^ — c) n cl t. Us'in [3nt — 3n' l-\-3c'n't — i gnt — cnt + 20 + nj — 3nj') .

La double intégrale 3affndtdR acquiert le diviseur (3 — 3m-]-3c'm — ng — c)^,

m étant, par le n*' 4, égal à — ; mais elle a pour facteur '5 — 2g — c, qui

est à très-peu près égal à 3 — 3w + 3c'm — 2^ — c; ainsi elle doit être considérée comme n'ayant que le diviseur 3 — 3m-+-3c'/n— 2^ — c, ce qui ne paraît pas suffire pour la rendre sensible. Si le terme précé-

dent de l'expression de R résulte du carré de la force perturbatrice, c'est-à-dire de la substitution des termes de r et de v dépendants de cette force, alors les coordonnées de la Lune renferment les angles n't et c'n't. Supposons, par exemple, que la partie — 2n't de l'angle — 3/i7 dans ce terme de R dépende des coordonnées de la Lune; on a dans ce cas

dR=: — {3 — 0.111 — ig— c)

X B.ndtsin{3nt — 3n' t -h3c'n' t — ignt — cnt H-aô + nr— 3vs'],

et le terme 3affndtàB. donne, dans l'expression de la longitude de la Lune, le suivant,

3a{3— im — "2 g — c)«2H sin {3nt — 3 n't -+-3 c'n't — ignt — cnt -+--29 -h m — 3 cr') (3 — 3 m H- 3 c' m — -ig — c)'^

qui peut devenir sensible par l'extrême petitesse de son diviseur. Les termes de ce genre sont en très-grand nombre, et il est difficile de les déterminer avec exactitude; mais il suffit d'être averti de la possibilité de l'inégalité qui en résulte, pour suivre sous ce point de vue les observations. Cette inégalité doit être appliquée au moyen mouvement, et par conséquent à l'anomalie moyenne.

La théorie indique encore une inégalité dont la période est à trèspeu près la même que celle de l'inégalité précédente, et qui dépend de l'aplatissement de la Terre. On a vu, dans le n°20, que l'expression de Q contient le terme

or

on a , par le plus on a

même numéro,

^rzz s COSl +

de

— s^ sin

iXsin/f ;

ce qui donne dans Q ou dans — R la fonction

'■^ûctf — (xp) — a3(i — |*2jsiii2Xcosa/f.

Cette fonction produit, par son développement, des termes dépendants de l'angle

ifnt-\- nt — n' t -\- c' n't — ngnt — cnt + 2 0 + cj — iin';

ils sont analogues à ceux que donne la fonction R relative à l'action du Soleil, et qui dépendent de l'angle

Znt — 3n'f -H 3c'n'f — ignt — cnt-\- iQ -{-vs — 3cî';

le coefficient du temps t est à très-peu près le même dans ces deux angles, qui maintenant, vu la position du périgée solaire, diffèrent peu de 200 degrés. Tous les termes de R se rapportant ici aux seules coordonnées de la Lune, si l'on représente par

K sin ( ifnt -{- nt — n' t -h c' n' t — 1 gnt — cnt -hiO-hxrs — td']

le terme dépendant de l'angle précédent, que donne le développement de R, ce terme acquerra dans la différentielle dR le facteur

et par conséquent il n'aura pour diviseur, dans la double intégrale "iaffndtdR, que la première puissance, et non le carré, de cette quantité; l'inégalité correspondante à ce terme ne paraît donc pas devoir être sensible.

Le terme de la forme Y^^^ qui, comme on l'a vu dans le Livre III, peut exister dans l'expression du rayon vecteur du sphéroïde terrestre, peut encore introduire, dans l'expression de la longitude vraie de la Lune, une inégalité dépendante du sinus de 3/nt — 2gnt — cnt + 26 -f-cj, et qui maintenant se confond à peu près avec les deux précédentes. Si cette inégalité devenait sensible, il en résulterait de nouvelles lumières sur la figure de la Terre; mais quelques calculs que j'ai faits sur cet objet me portent k croire que cette inégalité est insensible, comme la précédente. La suite des siècles et de nouveaux progrès dans

l'analyse éclairciront ce point délicat et important de la théorie lunaire.

28. Nous allons maintenant établir par les observations l'existence de l'inégalité dépendante du sinus de l'angle

3nt — 3n' t + 3c' n' t — ignt — cnt + 20 + cj — Snr'.

Cet angle est évidemment le double de la longitude du nœud de l'orbite lunaire, plus la longitude de son périgée, moins trois fois la longitude du périgée du Soleil; nous le désignerons par E, et nous allons faire voir que la loi des variations de sinE est la même que celle des anomalies observées dans le moyen mouvement de la Lune.

Les Tables lunaires insérées dans la troisième édition de V Astronomie de Lalande supposent que, dans l'intervalle de cent années juliennes, le mouvement de la Lune par rapport aux équinoxes surpasse un nombre entier de circonférences, de 342°, 09629, et que l'époque de 1760 est de 209°, 20820. La correction de l'époque de ces Tables pour 1691 a été déterminée par Bouvard et Bûrg, au moyen de plus de deux cents observations de La Hire et de Flamsteed; ils ont trouvé l'un et l'autre cette correction égale à — i3", 58.

La correction de l'époque des mêmes Tables pour lySô a été déterminée par Mason et Bouvard, au moyen d'un très-grand nombre d'observations de Bradley, et ils l'ont trouvée nulle. Ainsi, dans l'intervalle de 1691 à 1756, le moyen mouvement de la Lune a été de i3", 58 plus grand que par ces Tables, ce qui donne 20", 9 pour l'accroissement du moyen mouvement séculaire des mêmes Tables.

Bûrg a trouvé , par un grand nombre d'observations de Maskelyne , la correction de l'époque de ces Tables égale à — 9^,26 pour 1766, et égale à — 28", 09 pour 1779.

Bouvard a trouvé, par un grand nombre d'observations de Maskelyne, — 54", 32 pour la correction de l'époque de ces Tables en 1789.

Enfin, par un nombre considérable d'observations faites à Greenwich, à Paris et à Gotha, on trouve — 87^,96 pour la correction des époques des mêmes Tables en 1801.

De là il suit que, depuis 1756 jusqu'à ce jour, le moyen mouvement de la Lune a diminué d'une manière sensible, et que cette diminution est maintenant croissante; car de 1756 à 1779, c'est-à-dire, dans un intervalle de vingt-trois ans, ce mouvement a été plus petit que par les Tables de 28", 09; et de 1779 à i8or, c'est-à-dire, en vingt-deux ans, il a été plus petit de 59", 97. L'époque de 1756, comparée à celle de 1779, donne 126" pour la diminution du mouvement séculaire des Tables, tandis que l'époque de 1756 à 1801 donne 172^,5 pour cette diminution. L'ensemble des observations indique donc évidemment ces trois résultats : i** un mouvement moyen plus grand que celui de ces Tables, depuis 1691 jusqu'en 1756; 2° un mouvement moyen plus petit, depuis 1756 jusqu'à ce jour; 3° une diminution de plus en plus rapide.

Ces résultats sont conformes à la marche de l'inégalité précédente; car, à l'époque de 1691, le sinus de E était négatif; il était positif en 1756; cette inégalité a donc augmenté , dans cet intervalle, le moyen mouvement de la Lune. En 1756, ce sinus était positif et vers son maximum, et depuis cette époque il a toujours été en diminuant; l'inégalité a donc diminué le moyen mouvement de la Lune. Enfin ce sinus était presque nul en 1801, et alors sa diminution est la plus grande; la diminution du moyen mouvement a dû par conséquent être plus considérable dans ces dernières années.

Déterminons présentement le coefficient de cette inégalité. Il est visible qu'elle doit produire un changement, soit dans l'époque des Tables pour 1750, soit dans le moyen mouvement séculaire de ces Tables. Nommons s la correction de l'époque des Tables en 1760, xh diminution de leur moyen mouvement séculaire, et / le coefficient de l'inégalité précédente. La formule de correction des époques des Tables sera, en nommant î le nombre des siècles écoulés depuis 1760,

e — ar/+jsinE.

Pour déterminer les trois inconnues e, œ et y, j'ai comparé cette formule aux trois époques de 1691, 1756 et 1801, déterminées par

OEiivres de L. — \\\. 4»

les observations , ce qui m'a donné les trois équations suivantes :

e + ^.0,59— jy'.o, 6366o = — 1 3", 58 ,

Ces trois équations donnent

Au moyen de ces valeurs on trouve — i3",58, + o",oo, — 1 r',64, — 35", o3, — 57", 62, et — 87", 96, pour les corrections des six époques de 169 1, 1756, 1766, 1779, 1789 et 1801. La somme de ces six corrections est — 2o5", 83, et la somme des six corrections déterminées par les observations est — 193", 21 : l'ensemble de ces corrections indique par conséquent qu'il faut augmenter de H- 2", 10 la valeur précédente de 6, et alors la formule de correction des Tables devient

- 89", 44 - 98", 654. i 4- 47",5i .sinE.

En calculant par cette formule les corrections pour les six époques, on a

Corrections dos Tables Correction Excès de ces corrections

par les observations. par la formule. sur les premières.

1691 - i3",58 - ii",48 + 2", 10

1^56 4- o'^oo + 2", 10 + 2", 10

1779 - -^^''.og - 32",93 - 4",84

Les différences entre les résultats des observations et ceux de la formule sont dans les limites des erreurs dont ces derniers résultats sont susceptibles; elles peuvent dépendre en partie de la formule ellemême , que l'on rectifiera par de nouvelles observations.