MM U

v' étant ici la longitude de la Terre vue du Soleil. Si l'on prend pour plan fixe celui de l'écliptique en 1760, on pourra supposer / = o. Représentons par r'dq' le petit arc décrit par la Terre dans l'instant dt, et qui est égal à sfdx"^ 4- dy"^ h- dz''^\ cet arc est à celui que la Lune décrit par son mouvement relatif autour de la Terre à très-peu près

dans le rapport de — à l'unité, et par conséquent trente fois au moins

plus considérable; on a donc, à fort peu près,

^W-^d^Y-^[dy'^^Y-^{dz' + dzY^r'dq' 4- ^~? 4- ^-^'.

Si l'on néglige l'excentricité de l'orbe terrestre , on a dq' = mdt , le temps t étant représenté par le moyen mouvement de la Lune. On a ensuite

smf', -7^=cosc',

r'dq' ~ ' r'dq

et par conséquent ,

sj[dx' + dx)'^-{- [dy' -^ dy)"^ -\- [dz' -\- dzY = ma'dt — dx sine' + dycosv'.

De là il est facile de conclure

dO (K — K')m2sinv' 3Kw dx Km dx , Km dy .

-^ = .5 '- j- -y~ H Y ;t-C0S2/+ j -^Sin-ii^',

dx u^ lu dt iu at iu at

dO (K' — K]m2cosc' 3Km t/r Km rf^ . , Km dr

^ — * ■ — —y -T~ H T T7 Sin2f y ■— C0S2f',

iu at 2u at lu at

dy

Km dz

dz ~~

u' dt

et par conséquent, en substituant pour x eiy leurs valeurs, et négligeant le carré de l'excentricité de l'orbe lunaire,

dQ idQ {K'—K)m^sm{v — v') 3Km du du u ds m2^'2 zu^u' dt

Km dv . , ,; Km du , ,, -TT Sin ac— IV -—, ~rr ces 2t^ — IV ),

lu^u dt ^ lu^u dt ^ '

dO dv {K' — K]m'^dv , ,. 3Km , dv

~ —- — — — cos [V — V ) ;-— dv -j-

dv a» m'^m» ^ ' lu'u* dt

Km j dv , ,. Km j du . , ,.

r—r dv -J- cos {2V — IV ) -{ T— r dv ~j- SinllV — 2.V ,

lu u* dt ^ ' o.uu^ dt ^ '

• dQ du (K' — K)m2rfa . ,. 3Km c?m

dv u^dv u'^u^ dv ^ ' lu'u* dt

Km du , ,,

p— • -J- cos [9.V — IV ].

•xu'u" dt ^ '

La valeur de K n'est pas constante : si l'on suppose la densité de l'éther proportionnelle à une fonction de la distance au Soleil, en dési-

gnant par <p(w') cette fonction, elle sera, relativement à la Lune, pour laquelle u' devient u' cos(t^ — v'),

<i^'(u') étant la différentielle de 9(w') divisée par du'; ainsi l'on pourra supposer

K = H<p(M')-^-9'(M')cos(f-f').

Cela posé, si l'on néglige les quantités périodiques autres que les sinus et cosinus de w — ct, on aura

dO dv Hm2c?f ,, ,> 3Hm , ,. j dv

— -^ — = 9 M ) T—z 9[u]di>-r--

dv m2 ^u" ^ ^ ' lu'u" ^^ ' dt

En substituant - [i -+■ e cos{cç — ts)] pour u, et dv[i— 2e cos{cv — xs)] pour dt, on aura

CàQ dv ,u * r3?("') // m1

sin ce — cy .

On aura ensuite

J£ 21 — — iHma3 ^ \ '^ e sin ct^ — ro ,

dQ du H w , p 3 9 ( m' dv u^dv ~~ 2

«3 j xi J. m<p'(M') esin(cc — nj). Soit donc

ê=Hma3[M50-im(p'(«')]; il faudra ajouter au second membre de la seconde des équations (L) du

n° 1, et par conséquent au second membre de l'équation (L') du n° 9,

la fonction

h ê — sin et' — CT .

La valeur de - sera ainsi, par le n*' 10, augmentée de la quantité

et conséquemment la valeur de a sera diminuée de oca^v; on aura en suite à très-peu près, par le même numéro.

dv a,

ce qui donne

- =iconst. (i +^6c),

et, par conséquent.

e = consl. [i — (a — ^6)v].

Le rapport de l'excentricité au demi-grand axe est donc assujetti, par la résistance de l'éther, à une équation séculaire; mais elle est insensible par rapport à l'accélération correspondante du moyen mouvement de la Lune, parce que cette dernière accélération est, comme on va le voir, multipliée par le carré de v. Cette résistance ne produit aucune équation séculaire dans le mouvement du périgée.

L'expression de dl du n° 15 donne, dans l'expression de /H-e, la

fonction

— |ac2 H- (5a — 6)<^esin(ci' — gt).

En substituant, au lieu de ç, t -\- t -h 2e sïn [et — u), on aura dans l'expression de v l'équation séculaire

fa/2— {•2oc — ë)tesm{ct — Ts).

La résistance de l'éther produit donc, dans le moyen mouvement de la Lune, une équation séculaire qui accélère ce moyen mouvement, sans en produire aucune sur le mouvement du périgée.

On s'assurera de la même manière que la résistance de l'éther ne

produit aucune équation séculaire sensible ni dans le mouvement des nœuds, ni dans l'inclinaison de l'orbite lunaire à l'écliptique.

De là il suit que la résistance de l'éther ne peut être sensible que dans le moyen mouvement de la Lune. Les observations anciennes et modernes prouvent évidemment que les moyens mouvements de son périgée et de ses nœuds sont assujettis à des équations séculaires trèssensibles. Le mouvement séculaire du périgée, conclu par la comparaison des observations anciennes et modernes, est plus petit de quinze à seize minutes que celui qui résulte de la comparaison des observations faites depuis un siècle; ce phénomène incontestable indique donc une autre cause que la résistance de l'éther. On a vu précédemment qu'il dépend de la variation de l'excentricité de l'orbe terrestre , et comme les équations séculaires résultantes de cette variation satisfont exactement à l'ensemble de toutes les observations anciennes et modernes, on doit en conclure que l'accélération produite par la résistance d'un fluide éthéré, dans le moyen mouvement de la Lune, est jusqu'à présent insensible.

30. L'accélération produite par cette résistance dans le moyen mouvement de la Terre est beaucoup plus petite que l'accélération correspondante du moyen mouvement de la Lune. Pour le faire voir reprenons la formule (Y) du n° 46 du Livre II. Cette formule, appliquée à la Terre, donne dans l'expression de V le terme

S étant la masse du Soleil, la somme des masses de la Terre et de la Lune étant prise pour unité; Q' correspondant pour la Terre à ce que nous avons désigné par Q pour la Lune; et la caractéristique diff'érentielle d' se rapportant aux coordonnées du Soleil. On a

d'O'-^rf^r'+^rfr'-t-^rf.' ^ ^ - dx' '''^ ^ dx' ^ dz' ^^ '

~» -v^T et -tH- étant les forces dont la Terre est animée parallèlement

ox oy az *

OEuvresdeL.— m. 4'

aux axes des x , des/' et des z\ en vertu de la résistance de l'éther. Ces forces sont, par le numéro précédent, en négligeant l'excentricité de l'orbe terrestre, et en représentant l'élément dt du temps par la différentielle du moyen mouvement lunaire,

ds' K'a' = m- sin f', — K'a' 2 m- cos v\ — K'a' 2 m - -- \

en négligeant donc le carré de -rp on aura

d'Q' = -K'a'3m3</^ ce qui donne

K' doit être supposé égal à H'9(w'), H' étant une constante dépendante de la surface et de la masse de la Terre; ainsi l'équation séculaire produite par la résistance de l'éther, dans le moyen mouvement de la Terre, est

L'accélération correspondante du moyen mouvement de la Lune est, par ce qui précède.

^Ea^a'mr- U(f{u') - ~ <p'(m')1.

De plus, on a —rj =m^; l'accélération du moyen mouvement de la

Lune est donc à l'accélération correspondante du moyen mouvement de la Terre comme l'unité est à

aH'm 9(m')

h[39("')-^?'("')] et conséquemment, comme l'unité est à ^ - n- » en négligeant le terme

Il est facile de voir que

H' masse de la Lune carré de la parallaxe lunaire

H " masse de la Terre carré du demi-diamètre apparent de la Lune

Les observations donnent

demi-diamètre apparent de la Lune = 291 1", parallaxe lunaire— 10661",

et, par le n*' 44 du Livre VI, la masse de la Lune est ^-= de celle de la Terre; on aura ainsi

d'où il suit que l'accélération du moyen mouvement de la Terre, produite par la résistance de l'éther, est égale à l'accélération correspondante du moyen mouvement de la Lune, multipliée par 0,0097642, ou environ cent fois plus petite que cette accélération.