PRÉSENTÉ AU BUREAU DES LONGITUDES LE 17 AOUT

Mon objet, dans ce Supplément, est de perfectionner la théorie des perturbations planétaires, que j'ai présentée, dans les Livres V et VI de mon Traité de Mécanique céleste. En cherchant à donner aux expressions des éléments des orbites la forme la plus simple dont elles sont susceptibles , je suis parvenu à ne les faire dépendre que des différences partielles d'une même fonction, prises par rapport à ces éléments; et ce qui est remarquable, les coefficients de ces différences ne sont fonctions que des éléments eux-mêmes. Ces éléments sont les six arbitraires des trois équations différentielles du second ordre qui déterminent le mouvement de chaque planète. En regardant son orbite comme une ellipse variable à chaque instant , ils sont représentés : i^ par le demi-grand axe, dont dépend le moyen mouvement de la planète ; 2° par l'époque de la longitude moyenne; 3° par l'excentricité de l'orbite; 4° par la longitude du périhélie; 5° par l'inclinaison de l'orbite à un plan fixe; &* enfin, par la longitude de ses nœuds. M. Lagrange a donné depuis longtemps à l'expression différentielle du grand axe la forme dont je viens de parler, et il en a conclu d'une manière très-heureuse l'invariabilité des moyens mouvements, lorsque l'on n'a égard qu'à la première puissance des masses perturbatrices.

invariabilité que j'ai reconnue le premier, en ne rejetant que les quatrièmes puissances des excentricités et des inclinaisons, ce qui suffît aux besoins de l'Astronomie. J'ai donné, dans le Livre II de la Mécanique céleste, la même forme aux expressions différentielles de l'excentricité de l'orbite, de son inclinaison et de la longitude de ses nœuds. Il ne restait donc qu'à donner la même forme aux expressions différentielles des longitudes de l'époque et du périhélie : c'est ce que je fais ici.

Le principal avantage de cette forme des expressions différentielles des éléments est de donner leurs variations finies par le développement seul de la fonction que j'ai nommée R dans le Livre II de la Mécanique céleste. En réduisant cette fonction dans une série de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps, on obtient par la différentiation de chaque terme les termes correspondants des variations des éléments. Je m'étais attaché à remplir cette condition dans le Livre II de la Mécanique céleste; mais on y satisfait d'une manière encore plus générale et plus simple, au moyen des nouvelles expressions de ces variations. Elles ont de plus l'avantage de mettre en évidence le beau théorème auquel M. Poisson est parvenu sur l'invariabilité des moyens mouvements, en ayant égard au carré des masses perturbatrices. Dans le Livre VI de la Mécanique céleste y j'ai prouvé, au moyen d'expressions analogues, que cette uniformité n'est point altérée par les grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, ce qui était d'autant plus important que j'ai fait voir, dans le même Livre , que ces grandes inégalités ont une influence considérable sur les variations séculaires des orbites de ces deux planètes. La substitution des nouvelles expressions dont je viens de parler montre que l'uniformité des moyens mouvements planétaires n'est troublée par aucune autre inégalité périodique ou séculaire. Ces expressions me conduisent encore à la solution la plus générale et la plus simple des variations séculaires des éléments des orbes planétaires. Enfin elles donnent avec une extrême facilité les deux inégalités du mouvement lunaire en longitude et en latitude, qui dépendent de l'aplatissement de la Terre, et

que j'ai déterminées dans le Chapitre II du Livre VII. Cette confirmation des résultats auxquels je suis parvenu sur cet objet me paraît intéressante en ce que leur comparaison avec les observations donne l'ellipticité de la Terre d'une manière au moins aussi précise que les mesures directes, avec lesquelles ils sont aussi bien d'accord qu'il est possible de l'espérer, vu les irrégularités de la surface de la Terre.

Dans la théorie des deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, que j'ai donnée dans le Livre YII, j'ai eu égard aux cinquièmes puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites. M. Burckhardt avait calculé les termes dépendants de ces puissances. Mais j'ai reconnu, depuis, que l'inégalité résultante de ces termes avait été prise avec un signe contraire. Je rectifie donc, à la fin de ces recherches, les formules des mouvements de Jupiter et de Saturne que j'ai présentées dans le Chapitre VIII du Livre X. Il en résulte un léger changement dans les moyens mouvements et les époques de ces deux planètes, et ce changement satisfait à l'observation qu'Ebn-Junis fit au Caire, en l'an 1007, de leur conjonction mutuelle, observation qui ne s'écarte plus des formules que d'une quantité beaucoup moindre que l'erreur dont elle est susceptible. Les observations anciennes citées par Ptolémée sont également représentées par mes formules. Cet accord prouve que les moyens mouvements des deux plus grosses planètes du système solaire sont maintenant bien connus, et n'ont point éprouvé, depuis Hipparque , d'altération sensible ; il garantit pour longtemps l'exactitude des Tables que M. Bouvard a construites d'après ma théorie, et que le Bureau des Longitudes vient de publier.

Dans la même séance où j'ai présenté ces Recherches au Bureau des Longitudes, M. Lagrange lui a pareillement communiqué de savantes recherches qui ont rapport à leur objet. Il y parvient, par une analyse très-élégante, à exprimer la différence partielle de R, prise par rapport à chaque élément, par une fonction linéaire des différences infiniment petites de ces éléments, et dans laquelle les coefficients de ces différences ne sont fonctions que des éléments eux-mêmes. En déterminant, au moyen de ces expressions, les différences de chaque élément,

on doit, après les réductions convenables, retrouver les expressions très-simples auxquelles je suis parvenu, et qui, tirées de méthodes aussi différentes, seront par là confirmées.

1 . Je reprends l'expression de ede^ donnée dans le n° 67 du Livre II

du Traité de Mécanique céleste. En faisant, pour simplifier, (/- = i,

elle devient

ede^=andtJi — e'^-T a(i — e^jdR.

Dans cette équation, t est le temps, nt est le moyen mouvement de la planète m, a est le demi-grand axe de son orbite, e en est l'excentricité, V est la longitude vraie de la planète, R est une fonction des coordonnées des deux planètes m et m', telle qu'en nommant a?, y, s, x'y y'j z' ces coordonnées, on a

, xx' -\- yy' -\- zz' m'

p étant la distance mutuelle des deux planètes, et par conséquent étant égal à >J{x' — xY H- (y' — yY -^ [z' — zY', r' est le rayon vecteur de la planète m\ r étant celui de la planète m; enfin la caractéristique différentielle d se rapporte aux seules coordonnées de la planète m.

J'observe que l'on a -r- en différentiant par rapport à nt l'expression

de R développée en série d'angles proportionnels au temps t, en la divisant par ndt^ et en ajoutant à cette différentielle ainsi divisée la

différence partielle -r-> cr étant la longitude du périhélie de l'orbite

de m. En effet, on ne doit point, dans la différence partielle de R, prise par rapport à v, avoir égard à l'angle nt, qu'introduit dans R soit le rayon vecteur r de la planète m, soit la partie périodique de l'expression elliptique de v, développée en série de sinus d'angles proportionnels au temps; or dans ces fonctions l'angle nt est toujours accompagné de l'angle — m, qui n'est introduit dans R que de cette manière;

--J- la différence partielle - - » nat ^ ôxs

en ajoutant donc à la différence partielle --^- la différence partielle -

on aura la valeur de j-- L'expression précédente de ede donnera ainsi

de = —J^- ( I — i/i — «2 ) dR -1 ^ nat -- •

e * ' e drn

On a ensuite, par le n° 3 du Livre IX de la Mécanique céleste,

, , dm(i ~ ecosu)^ desinu{7. — e"^ — ecosM)

u est ici l'anomalie de l'excentrique , et s est la longitude de l'époque.

On peut mettre le second membre de l'équation précédente sous cette

forme

gfl^jjj des'mu, „ ,

— d^ Ji — e'^-i - -2 cosM — e — e cos^m „ 2 — e^ — e cosm .

L'anomalie u de l'excentrique est donnée en fonction de l'anomalie vraie ç^ — cr au moyen des équations

d'où l'on tire

r = — -; — '- — r = a I — e cosm ,

I + eCOS t^ — Gî

e 4- COS t' — GT