H- f?COSU' — GT
— V^i — e» 1= — —- ^ f r^^ de sin (c — Gj).
^ [i + ecosfv — Gj)J=* ^ '
Substituant pour edxs et c?e leurs valeurs données à la fin de la
OEtivres de L. — lU. 4'-
page 373 du tome I de la Mécanique céleste^ le second membre de
cette équation se réduit à
landt.r-^—-) or
et comme on a r ^ - -- a 3^-» il devient or oa
la^nat -r— ; oa
l'expression précédente de di ■— dx3 donne ainsi cette équation fort simple, que M. Poisson a trouvée le premier,
c?Ê = drsii — i/i — e*) -f- ia^ --- ndt. ' oa
Si l'on rapporte, comme on l'a fait dans le Livre II de la Mécanique céleste^ le mouvement de la planète m au plan de son orbite primitive, et que l'on fasse, comme dans le même ouvrage,
/?=: tangçsinô, ry -- langç ces 0,
cp étant l'inclinaison de l'orbite, et 0 étant la longitude de son nœud ascendant, on aura, par le n° 71 du Livre II,
dq —
v/a(i— e») àq dt dK
^/â(T-êâ■) àp Maintenant, on a , par le n° 44 du Livre II,
dVi , ^R , dR , dK , dR , ^R ,
o =1: -^da-\- -— de + -— dxs + -— ae + ,— dp ^- --- «</ ; oa de oxs de dp '^ oq ^
de plus, on a, par le n" 64 du même Livre,
daz= — id^diK,
et — = -i-', parce que l'angle nt est toujours accompagné de l'angle -H s; en substituant donc, au lieu de da^ de, dt, dp et dq , leurs va-
leurs précédentes, on aura cette équation très-simple,
, , andt Ji — e^ dR
dm -- — ^- V-,
e de
ce qui donne
, andt>ji-e^f .■ ^\ dR „ àK ,
dt — y^ (i — ./i e2) .| 2a2 jidt.
e 'de oa
En réunissant ces diverses équations, on aura, en observant que n — a ',
(i) É?a=-2a2dR,
dt^
' (i — i/i — e^j ^ia^ -—ndt,
e ^ V / ^g da
dm =
—^ (i — v/i — e'^jdR H ^ ndt r-
e ^ ^ ' e dm
andt \/i — e'^ dR e de
dp =
andt dR
v/i-e2 dq
dq^
andt dR
/ •! rin
On peut substituer dans ces équations, au lieu de dR, ndt x-^ et
par là réduire les expressions précédentes à ne renfermer que des différences partielles des éléments; mais il est aussi simple de conserver la différentielle dR.
Dans le mouvement considéré comme elliptique, |on doit rigoureu-
sèment substituer fndt au lieu de nt; or n = a ^; on a donc, en nommant ^ le moyen mouvement de la planète m,
(7) i; = fndt=3ffandtdR.
2. Ces équations mettent en évidence le résultat auquel M. Poisson est parvenu, sur l'invariabilité des moyens mouvements planétaires, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice. En désignant
par la caractéristique § les variations finies, on aura, en ne faisant varier dans R que ce qui est relatif à la planète m, et en observant
dR dR
que -r- = —77»
ndt L v^ ^ ■* da de dxs dp ^ dq ^
En substituant, pour ta, te, W, ..., les intégrales des valeurs précédentes àe da, de, dts, ..., on aura
oR= ~-zj7°[f"'dt) H- 2a2 —j- fndt —- /dR)
ndt ^-^ ' \ndt -^ da da '^ j
av/T-^^/dR . ,, ()R ^R ^ , ^R\ e \de ^ duj dnr -^ c^e /
a ôR . , dR dR „ , dR\ Ji ^2 Vdg -^ dp dp-^ dq I
Pour avoir la valeur de d SR -rr t(fndt) , donnée par cette équation , il faut différentier par rapport aux seules quantités relatives à la planète m. Pour avoir la différentielle relative aux éléments de cette planète , il suffit de supprimer les signes /, qui n'ont été introduits que par les intégrales des valeurs différentielles de ces éléments, et alors cette expression devient identiquement nulle ; il suffit donc, pour
dR avoir la différentielle d de la fonction SR -.- %(Jndt), de différentier
par rapport à nt les quantités hors du signe /. L'expression de cette fonction est composée de termes de la forme MfNdt — ^JMdt, M et N pouvant se développer en cosinus de la forme ^cos(«'n'/ — int H- A), i et i' étant des nombres quelconques entiers , positifs ou négatifs. Supposons que le cosinus précédent appartienne à M, et que ^'cos(ï'w'/ — int -h A') soit le terme correspondant de N. Il faut combiner ces deux termes ensemble , pour avoir des quantités non pério-
diques dans d{M.f^dt ~ ^JMdt); cette fonction devient alors
k indtsin{i'n't — int + A )fk'dtcos{i'n't — int -+- A') — k' in dt sin ( i'n' t — int + k') fk dt ces ( i'n' t — int + A ) ,
fonction qui, en effectuant les intégrations, se réduit à zéro, ce qui est conforme à ce que j'ai démontré dans le n° 12 du Livre VI, relativement aux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne. L'expression
de dUR j-^fndn est donc une fonction périodique.
L'expression de d i—ji ^fndt) ne renferme que des quantités périodiques; car on a
dt] = ^^? àfndt + —^ dtèn.
) ndt "^ ndt
Substituant pour %n sa valeur 3/a/idR, on aura
d ( ^ hSndt\ = 3«« ^^^ SJ^^dt -\- San -^j- dtfd\{.
On peut réunir dans un seul terme tous ceux du développement de R qui dépendent d'un même angle i'n't— int, et il devient de la forme
kç,o&{i' n' t — int ~\- k). En le substituant pour R dans les fonctions
d^R dR
-—.~ffàB.dt et -T-/dR, on voit qu'elles se réduisent à des sinus du
double de l'angle i' n' t — int -:- A; ainsi la différentielle dl-~,-^fndt\
ne renferme que des quantités périodiques, d'où il suit que dSR ne renferme pareillement que des quantités périodiques , lorsque l'on ne fait varier dans (5R que les quantités relatives à la planète m.
Pour avoir la valeur complète de dSR, il faut encore faire varier dans SR ce qui est relatif à la planète m'. Pour cela , nommons R' ce que devient R relativement à la planète m' troublée par l'action de m; on
aura
m{xx' -\~ yy' -\- zz' ) m
amsi
^.:^,'^^^' + rn'{xx'-\-rr'-^-z^l[yr,~ ~y
La variation de R relative aux variations de ce qui se rapporte à la planète m' est donc égale à la variation du second membre de cette équation, relative aux variations des coordonnées de m! . Désignons par %' les variations qui se rapportent à ces coordonnées. On voit évidemment, par l'analyse précédente, que
\ ridt ^
se décompose en termes de la forme M/N</^ — N/Mo?/. Pour avoir leur différentielle par rapport à la caractéristique d , il faut ne faire varier que les quantités hors du signe intégral, parce que les quantités enveloppées par le signe intégral sont relatives aux éléments de la planète m'. Soitdonc^cos(i'72'/ — mi + A) un terme de M, etiî;'cos(i'/î'^— w/-hA') le terme correspondant de N; il faut combiner ces termes ensemble pour avoir des quantités non périodiques dans d(M/Nû?/ ^ N/M</^), et alors il est facile de voir que cette fonction différentielle n'en ren-
-—j^'fn'dt) n'en contient
I HR aucune, par le même raisonnement qui nous a fait voir que d( -— ^ifndt
ndt
ne renferme que des quantités périodiques; ainsi dS'R' ne contient que des quantités semblables.
Il nous reste à considérer la variation de
m\xx'-^yj' + zz')[yr,- l^
Nommons P cette fonction. On a, par le n** 46 du Livre II,
m! X m! d^x mm' x' m' ()R
T»" ~ ~ M 1t^ M~ T^ ~~ M 'ôx'
M étant la masse du Soleil. On a pareillement
m' dK'
~ M dt-^
M dx'
Les coordonnées j, z,y\ z' fournissent des équations semblables, et
il est facile d'en conclure
p m' d{x'dx — xdx' A- r'dT — y^dy' -^ z'dz — zdz')
M ' dt^ "^" Q'
Q étant une fonction en a?, y, z, œ' , y', z' , de l'ordre du carré des masses m et m'. Il est clair que, la variation
m' dà'{x' dx — xdx' -[-y'dy — ydy' -+- z'dz — zdz'] j
étant une différence exacte, on aura /d^'P en y changeant la caractéristique d en d, et alors il est visible qu'elle ne renferme dans l'ordre m que des quantités périodiques.
Le terme Q donnera dans /dP celui-ci /dQ. En n'ayant égard qu'aux quantités de l'ordre m} dans dQ , il suffît de substituer dans Q , au lieu des coordonnées, leurs valeurs elliptiques, et alors /dQ ne contient que des quantités périodiques. Ainsi /d(5'P ne renferme que de semblables quantités. Il suit de là que /d^R ne contient dans l'ordre m' que des quantités périodiques, en faisant varier dans R les coordonnées des deux planètes m et m' .
S'il y a une troisième planète m", elle ajoute à R la fonction
m"[xx"+yy"-\-zz"J m^ "p'
p' étant la distance de m" à m. La partie de R, relative à l'action de m' sur m, reçoit alors une variation dépendante de l'action de m" sur m'.
Cette partie de R est
m'(xx' -\- yy' -\- zz') m'
la variation des coordonnées x', y\ z' par l'action de m" y produit des ternies multipliés par m' m", et qui sont fonctions des coordonnées elliptiques X, y, z, et des angles n't et n"t. Mais ces angles devant disparaître dans la partie non périodique de dR, et ne pouvant être détruits par l'angle nt, qu'introduisent les valeurs de x,y, z, il faut n'avoir égard, dans le développement de la variation de R, qu'aux termes in-
dépendants de rit et de Ti!'t. Ces termes seront de la forme m'm"\, X étant fonction des coordonnées de la planète m; ils introduisent dans /dR des termes de la forme m'm"/dX ou rrirnî'^, qui ne peuvent donner que des quantités non périodiques de l'ordre m' m", quantités que nous avons négligées dans /dR.
Pareillement, la variation des coordonnées x,y, z par l'action de m" ne peut introduire dans la partie précédente de R que les angles nt et ri't-, il ne faut donc considérer dans cette partie que les termes indépendants de rit, et par conséquent de la forme rrirri'^, X étant fonction des seules coordonnées a;, y, z, ce qui, comme on vient de le voir, ne peut produire que des quantités négligeables. Ainsi, en n'ayant égard qu'aux quantités non périodiques de l'ordre m dans/dR, on peut supposer que rri' est nul, lorsque l'on considère la partie de R relative à l'action de rri sur m, et l'on peut supposer m' nul lorsque l'on considère la partie de R relative à l'action de rri' sur m : on vient de voir que, dans ces deux cas, la variation séculaire de /dR est nulle. Cette variation est donc généralement nulle, lorsque l'on considère les actions réciproques de trois ou d'un nombre quelconque de planètes, si l'on n'a égard qu'aux carrés et aux produits des masses perturbatrices dans la valeur de dR.
Reprenons maintenant l'équation (7) du n" 1,
Ç = 3//rt/i<//dR.
Sa variation est
5Ç = 3fln//<//dôR + 3a2//(n</MR/dR).
On vient de voir que dSR est nul, lorsque l'on n'a égard qu'aux quantités séculaires de l'ordre du carré des masses planétaires; on a vu pareillement que dR/dR est nul , eu égard à ces quantités. En ne considérant donc que les quantités séculaires qui , par la double intégration, acquièrent un dénominateur de l'ordre du carré des masses planétaires, on voit que la variation S^ est nulle. Ainsi l'on peut assurer que cette variation, en ayant égard soit aux quantités séculaires, soit aux quantités périodiques, ne peut être que de l'ordre des masses perturbatrices; résultat important auquel M. Poisson est parvenu le premier.
3. Considérons deux planètes m et m', en mouvement autour du Soleil, dont nous prendrons la masse pour unité. Nommons u la distance angulaire de la planète m à la ligne d'intersection des deux orbites, u' la distance angulaire de la planète m' à la même droite; nommons encore y l'inclinaison mutuelle des orbites. En prenant pour plan des coordonnées l'orbite de m, et la ligne des noeuds des orbites pour origine des a?, on aura
X =rcosi;, j =:rsinu, z =o,
^' = r' cosu', j-' = r' sinu' cosy, z' = r' sinu' siny,
ce qui donne, en faisant i — cosy = 2sin^|y = ê,
m! ixx' -^ yy' -T- zz') m'
sJ[x'~x)^+{f-rY^[z'-z)^
— 7-r-[cos(Li' — ^) — êsinu sinn'] —
r ^ \lr^-\-r'^ — irr'cos[v' — u) -hi&rr' sinusinu'
R, sous cette forme, devient indépendant du plan auquel on a rapporté les coordonnées. En le développant en sinus et cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps ^, par la substitution des valeurs elliptiques de r, r', u, u', il devient fonction des distances moyennes nt-^ t, n't ■+■ t des planètes à la ligne des nœuds, des distances des périhélies à la même ligne, des demi-grands axes a et a', des excentricités e et e', et de ê ou de l'inclinaison mutuelle des orbites, ê étant très-petit et de l'ordre du carré de cette inclinaison. Sous cette forme, R ne renferme point explicitement les variables/? et q\ mais on peut les y faire naître de la manière suivante.
Si, au lieu de rapporter les mouvements des planètes à leurs orbites, on les rapporte au plan fixe de l'orbite primitive de m, alors z ne sera point nul, et il sera égal à r^, 5 étant le sinus de la latitude de m audessus de ce plan. En négligeant le carré des forces perturbatrices, on pourra négliger le carré de *; on aura ainsi, au lieu de R, la fonction
OEiivres de L.— III. 4^
suivante, que nous désignerons par R,
7j [cos(u' — u) — êsinusinu'-+-5siny sinu']
<^r^ ~\- r'2 — irr' cos(u' — j) h- iQrr' sinusinu' — irr' ssinv siriL»'
Retranchons de u et de u', tant dans R que dans R, la longitude Q' du
nœud de l'orbite de m' avec m, cette longitude étant comptée sur
l'orbite de w, ce qui revient à changer les origines de u et de u', et
supposons
s = qs\n[v — 6') — pcos{v — 6');
on aura
R = 47 [(i - ^ê) COs(y'- y) + ^ê COs{u' + :. - 29')]
v/r» + r'2 — -irr' [(i — ^ê) cos(i;' —u) + ^6 COs(u'-l- u — 2Ô')]
j; __ ^Vr(i — •j6 + 5^siny)cos(u'— u) + (^ê — ^^ siny) cos(u'+ v — 20')"| ~ r"^ \ —^psinysin{v' — v)—^psinysin{v'-\-v — -2 9') J
V L —^psiny sm{v' — v) —^p sinysin{v' -{-v~ "2.6')
Maintenant il est visible que l'on changera R dans R, si l'on fait varier, dans R, S de Se, u de Su, et 8' de S9', de manière que l'on ait
56 = — ^siny, (i — y6)du = cos^iy^u = —^p siny, 6Ô9' — i65u= — ipsiny.
On aura ainsi
ô D . aR . , dR » dR R— R — rtsiny-T^ — D langiy -r /-— -— ;
on a, par le n° 1, ^ — -^ -h- — ; cela posé, les équations (5) et (6)
donneront les deux suivantes
, andt . dK
, , , andt rdR . / dR dRXT
En réunissant ces équations aux équations (i), (2), (3), (4), (7) du n*' 1, on aura, par la seule différentiation des termes du développement de R, les termes correspondants de chacun des éléments du mouvement de m, ce qui facilite extrêmement le calcul de ces différents termes. Soit
m' k cos[i' n' t — int -\- i'z' — /e — gxs — g'vs' — "^g" Q')
un des termes du développement de R; le terme correspondant du demi-grand axe sera
3 ïït G^ \Tt
-TT—, —kcosii'n't — int -+- i'e' — ie — s^rn — sc'xjs' — 'i.s"B')\
le terme correspondant du mouvement moyen sera 3 m' in^
in — m
aksin{i' n't — int + i't' — ie ~ grs — g' m' — •2g"9');
le terme correspondant de l'époque sera Tn'-^lnV'~^'~^^ e — ^ - -^^ -^^sm{i n t-int + i't'-ie- grs- g'rs' - ■ig"Q'); le terme correspondant de l'excentricité sera
celui de la longitude du périhélie sera
m'nJi — e^ dk . ,., ,^ . ^ ., , . , , ,,. ,
le terme correspondant de p sera
m'nsmy.a dk . ,., , . ., , . , , „ni\
— ~ -rs sin(r n / — int -\- i e — le - grs — g m -"îg 9 );
y/i —e'^{i'n— in) ^^
enfin le terme correspondant de q sera
nm'nak r ,, ,- y . «, -, ,-, , ■ -, , ■ i •
— TT— l=-lg"-h{l-\-g)sln^y]cos{l'n't~-lnt-^ l't'—n-gr;;^ ~- gxD —ig
[i n — m) sinyv'i — e^
Ces résultats sont conformes à ceux que l'on a trouvés dans le Chapitre VIII du Livre II de la Mécanique céleste; mais ils ont sur eux l'avantage de s'étendre à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons.
On aura les variations séculaires des éléments de l'orbite de m, en réduisant R à sa partie non périodique, que nous désignerons par m' F. Alors dR est nul, ainsi que da, et l'on a
, as/T-^ , , dF
de = — m nat -^—t
e oxs
j am'ndtsJT-^^ <)F dey = ï -— ,
e de
, am'ndtJV—^ f , -\dY .dY , ,,
rfe == f (i - v^i - e2) — + 2^3-- m nrf^
de da
, am'ndt dF
dp = ^ ■- -5-
^ ^ e» dq
j am'ndt d¥ s/V—ê^ àp
OU
, am'ndt . d¥
smysli — e^\àQ oxs)
On peut observer ici que , R étant égal à
, xx' -k-yy' + zz' m'
il est, aux quantités près de Fordre m'^, égal à
sa partie non périodique ne dépend donc que de la partie non pério-
dique de -, F est donc égale à la partie non périodique de ->
développé en série de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps t, en sorte qu'il est le même pour les deux planètes. En faisant varier dans F les éléments de l'orbite de m, et substituant, pour te, W, S/?, tq, leurs valeurs données par les intégrales des équations différentielles précédentes, on voit que ^F se réduit à zéro , et la même égalité a lieu relativement aux éléments de l'orbite de m', ce que j'ai démontré dans le n** 5 du Livre VI de la Mécanique céleste , en ne portant l'approximation que jusqu'aux termes de l'ordre des quatrièmes puissances des excentricités exclusivement. On a, par ce qui précède,
ôê rz: - «7 sin y, èB' =-^ A- •
^ ' siny
Supposons que ?»ê et ^6' croissent respectivement des quantités d^ et d^'-,
on aura
d&~—dq siny, dB' — f- \
^ ' smy
substituant pour dp et dq leurs valeurs, on aura
am! ndt d¥
dB'
vA — e» à&
am'ndt ( d¥ ^ JFN
On a
c>F dF dF
dB' ~ dm' dm'' parce que , F étant développé en cosinus de la forme
H cos(§-cj H- g' m'-- '2fi"B' ) ,
la somme g H- g' -^ ig" des coefficients des angles nr, cy' et 8' doit être nulle, pour que ce terme soit indépendant de l'origine arbitraire de ces angles. On a donc
smysJi — e^L dm dm}
et par conséquent on a , en vertu des expressions précédentes de de et de de\
dysiny ede e'de' a'mn'ede
cosy i—e^ i-e"^ am'n cosy ^i—e^ ^i—e'^
am'ne'de'
a'mn' cosy \li —e^\Ji— e'^
En multipliant cette équation par cosy v^i — c* y/i — c'^, et intégrant, on aura
2C0sy v/i — e^ V' — e^ = consl. ^(i— e^) y-~ [i — e'^).
m'^a' m \Ja
Faisons, pour abréger,
v/a(i-e2)=/, ^la'[,-e'^)=f';
nous aurons
. (mf-+-m'f')^-c^
■imm jj
c^ étant une constante arbitraire, indépendante des éléments.
La valeur précédente de rf6' exprime le mouvement de l'intersection des deux orbites, produit par l'action de m' et rapporté à l'orbite de m. Concevons un plan intermédiaire entre ceux des deux orbites, et qui passe par leur intersection mutuelle. Nommons (p l'inclinaison de l'orbite de ma ce plan. Pour avoir le mouvement différentiel du nœud de l'orbite de m sur ce plan, produit par l'action de m\ il faut multiplier
la valeur précédente de dh' par 4^-^- En nommant donc dB ce mouve-
ment, on aura
,, m'dt siny dF
~~ / sin9 d6
En nommant <p' l'inclinaison de l'orbite de m sur le même plan , on aura 9 h- cp' = y, et
/' sin9' (iê'
û?'e étant le mouvement du nœud de l'orbite de ml sur ce plan , et produit par l'action de m sur w! . Les deux mouvements c?9 et d'^ seront égaux, et l'intersection des deux orbites restera sur le plan que nous venons de considérer, s'il partage l'angle y de l'inclinaison mutuelle des orbites de manière que l'on ait
m/sincp == m'f sincp'.
Ce résultat est le même que l'on a trouvé dans le n° 62 du Livre II de la Mécanique céleste, où l'on voit que le plan dont il s'agit est celui du maximum des aires, et que l'on a
c = mf CCS 9 + m'f ces cp' .
Cette équation, combinée avec la précédente, donne l'intégrale trouvée ci-dessus,
2 mm'ff
Ces deux équations donnent encore les suivantes :
m'f siny . , mf siny
sm9=— ^ — — -■> sin 9 = -^^^^ -•>
COS9 = •^. -— 5 CCS 9' = •-^, ^— 5
^ imjc ^ imj c
cdldF dt sj{mf-h m' f')^— imm'ff'è dF ff à&-' ff â§'
Désignons par ct, et ct, les distances des périhélies de m et de m' à la ligne d'intersection mutuelle des orbites; on aura c?g7, en retranchant de la différentielle dvs le mouvement dO de cette intersection, rapporté à l'orbite de m; et il est visible qu'il suffît pour cela de le multiplier par C0S9; or on a
.^ mf-\-m'f'-m'f'e.d¥ de C0S9 = ■'- - —jj--^--'— dt ^g ;
on aura donc
j ' j, / ^^"^ mf-hrn'f —m'f'^ jdF
^ de ff de
ede= am'ndty/i — e^ ^ — j
dm\
on aura pareillement
e dm.= ~ a'mn'dt v'i — e ^ i -l ^' ^./__ g'dt —-,
de ff de
dY
e'de' = a'mn'dtJx — e"^ -^—r\
aoj,
F est fonction de a, a', e, e', ct, , cr', et ê. Si l'on élimine, des seconds membres de ces équations, ê au moyen de sa valeur
^(m/+m:/")g-ca 'immff
on aura quatre équations différentielles entre les quatre variables e, e', xs^ et xs^. On pourra même leur donner une forme plus simple encore,
en faisant
h =e sincTt, l =: e coscti ,
h' ^= e' sinm'f , /' = e' cosgj', ,
ce qui les rend linéaires, lorsque Ton néglige les puissances supérieures des excentricités, et ce qui facilite leur intégration étendue par approximation à des puissances quelconques des excentricités. On n'aura ainsi que la position des orbites relative à la position variable de la ligne de leur intersection mutuelle. On aura ensuite leur inclinaison respective au moyen de la valeur précédente de ê, et l'on en conclura leurs inclinaisons sur le plan du maximum des aires, au moyen des valeurs précédentes de sin<p et de sincp'. Enfin on aura le mouvement de l'intersection des deux orbites sur ce plan , en intégrant l'expression précédente de û?0. Telle est, si je ne me trompe, la solution la plus générale et la plus simple du problème des variations séculaires des éléments des orbites planétaires.
SUPPLÉMENT AU TOME III. 3i5
Reprenons l'équation
c2 = [mf-h m'f )2 — 2 mm'ff'Q.
Si l'on néglige les quantités de l'ordre des quatrièmes puissances des excentricités et des inclinaisons, elle donnera
consl. =: m\Ja.e--{- m \/a .e^->, = — ^ :^:
m \Ja + m' \Ja' '
ainsi, a et a étant, par ce qui précède, constants, même en ayant égard au carré de la force perturbatrice , on aura
/- ^ , . /— ,^ , , mm' s/aa'.yèy m \J a ->r m' \J a'
équation à laquelle je suis parvenu dans le n° 15 du Livre VI, en n'ayant égard qu'aux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne. Il en résulte que le plan invariable , déterminé dans le n° 62 du Livre II , reste invariable, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice.
4. On peut, au moyen des expressions différentielles des éléments, déterminer d'une manière fort simple l'influence de la figure de la Terre sur les mouvements de la Lune. On a vu, dans le Chapitre II du Livre VII, que cette action ajoute à la valeur de R la fonction
ap est l'aplatissement de la Terre, acp est le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur, D est le rayon moyen du sphéroïde terrestre, et [j. est le sinus de la déclinaison de la Lune, sinus qui, parle numéro cité, est, à fort peu près,
u. — y/i — «2 ^ gin^ sin/u H- s cosX, ou exactement
sinX sin/u ^- «cosX
QEucrcs de L. — UI.
3i6 MÉCANIQUE CÉLESTE.
/u étant la longitude vraie de la Lune , comptée de l'équinoxe du printemps; 1 étant l'obliquité de l'écliptique, et s étant la tangente de la latitude de la Lune.
La partie R, dépendante de l'action du Soleil, est de la forme r^Q, en négligeant les termes qui, dépendant de la parallaxe du Soleil, sont très-petits. On aura ainsi, à fort peu près,
R = r^Q 4- [ocp — jx(f] — - (sin^X sin-fj -+- 25sinXcosXsin/y — |) , ce qui donne
2r-r- = 2a -r-^^r^Q — Glocp — ^oKf)—^ {s\n^'^sin\fu -\- iss'inlcosls'mfv — ^).
Ne considérons ici que les inégalités dépendantes de l'angle ^u — /"u, g^j étant ce que l'on nomme Vargument de latitude; en sorte que l'on a à fort peu près * = ysin^^^u, y étant l'inclinaison de l'orbe lunaire à l'écliptique. On aura ainsi
R = r^Q -\- [ap — ^aip) -j sInXcosA.y cos(g-y —fv), ia^ -p .= ^ar^Q — 6{<xp — {occf) — sinXcosX.y cos(g-u — fv).
On a vu, dans le n° 1, que la variation de dR est nulle, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice; le coefficient de cos(^u — /u) dans R doit donc être nul. Désignons par la caractéristique S, placée devant une fonction, la partie de cette fonction qui dépend de l'aplatissement de la Terre; nous aurons
o = ô.r2Q-i-(ap — ^aç) — sinXcosX.y cos(g'i; — fv), d'où l'on tire
i$.a^ -— = — io(ap — joccf) —^ sinX cosX.y cos(g'u —fu).
Reprenons maintenant l'expression de t/e du n° 1,
, andtJi — e- f , 5\ <^R , ^R j.
Il est facile de voir que , si l'on néglige l'excentricité de l'orbite , on
aura
aa
et par conséquent, en n'ayant égard qu'au cosinus de l'angle gi> —fu, et substituant du pour ndt, on aura
de = — lofao — ^«9) — j sinX cosX.y</y cos{gv — fv).
La valeur de dz est ici rapportée au plan de l'orbite lunaire : pour la rapporter à l'écliptique, il faut, par le n" 5 du Livre VI, lui ajouter la
quantité ^—^ — ^^- Déterminons présentement /? et q.
L'équation
s^= y sing-u
peut être mise sous cette forme
5 — y ces (g-—/) u sin/u -I- y sin {g—f)vcosfv; en la comparant à celle-ci
s=::q sin/u — p cosfv ,
on aura
p=-ys\n{g-f)v, q-=ycos{g-t)u,
ce qui donne
dp=-[g--f)qdv,
dq= [g-f)pdv.
La valeur de R renfermant le terme (ap — ^aç) -— sinX cosX.^, elle ajoute, par les équations (5) et (6) du n° t, à la valeur de dp le terme
— [xçi — iio-^] — j sinXcosX.rfu;
on a ainsi les deux équations dp=-[g-f)qdx dq= {g-f)pdv.
dp= — {g—f)çdv — {ocp — jtxcf) — sinXcosX.</y,
Ces équations donnent, dans l'expression de q, le terme constant
— —r*- — ;rSm/cos/,
d'où résulte, dans la latitude s, l'inégalité
— -■^r-'- -- sinAcosA sin/u,
ce qui est conforme au résultat du Chapitre II du Livre VII.
Le terme constant de q donne , dans la fonction — ^- — ^— ^> le terme -' 1
^[xp — ^a.(^) — sinXcosX.y cos(g-j —f-o) dv;
en nommant donc û?£, la valeur précédente de dz, rapportée à l'écliptique , on aura
dti = — -2-(ap — ^«(p) — :7 sinXcosX.y cos(g-u —fv) dv,
ce qui donne dans e,, et, par conséquent, dans le mouvement de la Lune en longitude, l'inégalité
iQ ocp — ioco D^ , . .. . , ^ >
résultat entièrement conforme à celui du Chapitre II du Livre YII.
Enfin, la fonction R étant indéterminée, les expressions différentielles précédentes des éléments des orbites peuvent également servir à déterminer les variations qu'ils reçoivent, soit par la résistance de milieux éthérés, soit par l'impulsion de la lumière solaire, soit par les changements que la suite des temps peut apporter dans les masses du Soleil et des planètes. Il suffit pour cela de déterminer la fonction R qui en résulte, par les considérations exposées dans le Chapitre VU du Livre X.
Sur les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne (').
5. Dans la théorie de ces inégalités, exposée dans le Livre YI, j'ai eu égard aux cinquièmes puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites. Mais j'ai reconnu que les valeurs de W^\ W^\ ... du n** 7 du Livre VI , avaient été prises avec un signe contraire, et qu'ainsi la partie de ces inégalités dépendante de ces valeurs doit changer de signe. Il faut donc ajouter aux expressions des longitudes moyennes, que j'ai données dans le Chapitre VIII du Livre X, le double de cette partie prise avec un signe contraire. Cette partie, pour Jupiter, est, par le n° 33 du Livre YI ,
(38",69'257i — f.o",oo54i8) sin(5/i"/ — ^«■''M- 5e' — -ae'^)
— (^5", 064701 + /.o", 01 5076) ces (5 Ai*/ — -în^" t + 5i' — iz'^) ,
et pour Saturne, elle est, par le n*' 35 du même Livre,
— (89",95244o — /.o'^oi^Sgô) s\x\[StV l — iiV t -f-5e'-- 2e"} + (58",27o353h- /.o",o35o48)cos{5n'/ — an'*/ h- 5e* — îs'").
L'addition aux longitudes moyennes de Jupiter et de Saturne, du double de ces inégalités prises avec un signe contraire, ne doit changer que les moyens mouvements et les époques de ces deux planètes; elle ne peut altérer que d'une manière insensible les autres éléments elliptiques conclus des observations faites depuis 1750 jusqu'en 1800, parce que, dans cet intervalle, les variations de ces inégalités sont à fort peu près proportionnelles aux temps : on peut donc déterminer les corrections des moyens mouvements de manière qu'elles rendent le double de ces inégalités, affectées d'un signe contraire, nul en lySo où t est nul, et en 1800 où ^ = 5o. On trouve ainsi, en ayant égard
( •) On a reproduit sans aucun changement lo texte original. [Foir les notes des pages 28. i35, i36 et 145.) V. P.
