LIVRE VI

de la manière suivante. On déterminera la valeur de P pour une époque éloignée de deux cents ans de la première époque à laquelle on fixe l'origine du temps t. En nommant V ^ cette valeur et T l'intervalle de deux cents années, on aura

at

On aura par le même procédé les valeurs de -tt-' -jt-' ^-•

Pour conclure l'expression de - de celle de — 5 nous désignerons par

— - la partie de — qui dépend de l'angle i[T)!t--nt'\-t —i)-^.- int'\-it, et nous aurons

~ — h F CCS \i («7 — nf H- e' -- e)] + e G ces [/ [n! t --- nt + e' — e) + n< + 6 — ns] -h e' H ces [/ [n't — n^ H- e' — e) + n/ + e — xs' \

d'où l'on tire

-f +t(F + 2G) e'^cos\i{n't — nt + e'— e) -+- int + 2e — acj]

-h^ee'K cos[i[n' t — nt -i- e' — e) + int + 2e — cj — rn'].

2. En considérant de la même manière les termes dépendants de l'angle i{n't — nt ~{- 1'— i.), et supposant que l'on ait, en ne portant l'approximation que jusqu'aux premières puissances des excentricités,

- rm V cosi[n't - nt -+- e'— e) + eGcos[i{n' t - nt + e' + eG'cos[— i[n't — nt h- e' — e) -+- nt -]- e — gj] + e'Hcos[i(n7 — nt + e' — e) + «/ + e — m'] -+- e'H'cos[— i{n't - nt h- e' — e) -h nt -h e -- gj'],

£) -i- nt -h s

ny]

i étant ici positif, on aura

[{G -'r-G')e'^cosi{n't — nt -h z — £ -+- Hee'cos[i(n7 - nt + e'— e -h IVee' cos[i{n't -- nt -{- e' — i

- n-la- ^ — aN cosrj /i / - nt

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CJ — CJ

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OEuvres de L.

G^G' )e- sin i{n't — nt-{- z' — e

(F) dv =

-hHee' s'm[i{n't — nt+e'~e)-\-xn — m''\ 1 f — B.ee' sin[i[n't — n^H- e'— e) — cy-r-nr'] J \

(in „ dN 'in'^i t.-X . r-, , , \ ml

-r-, —a^-. TT-, r-r;r «N Slll fi «7— «f + £'—£)+ L| j

\in—in da [in'—in]^ J ' j i

Si l'on désigne par -^ la partie qui dépend à la fois des carrés des excentricités et des inclinaisons des orbites, et de l'angle i{n't — nt + s'— s), on aura

-'- = -— - 4-4-(G + G'-- F]e^cosi{n't — nt-i-£'~- e) 4- iH. ee'cos[f(«7 — ni -f- e'— e) + gt — cr'] - JiW ee' cos\î{ n't — n^ + e'— e) — ni -f- ro'].

Dans ces trois expressions, î doit être supposé positif.

3. Le grand nombre des inégalités dépendantes des carrés des excentricités et des inclinaisons ne permet pas de les calculer toutes; on se dirigera dans leur choix par les considérations suivantes : i° si la quantité m'-\- (2 — i)n diffère peu de =!= n, alors l'un ou l'autre des diviseurs m'-t-(3 — i)/i et in' -+- [i — i) n de la formule (A) du n° 1 est peu considérable, et par là cette formule peut acquérir une valeur sensible; 2° si la quantité m' +(2— i)n est peu considérable, les termes de la formule (C) du même numéro qui ont cette quantité pour diviseur peuvent devenir sensibles; 3** si la quantité i(n' — n) diffère peu de àzn, l'un ou l'autre des diviseurs in' — [i -\- 1)71 et in'— (i — \)n de la formule (E) du numéro précédent est peu considérable, et par là cette formule peut acquérir une valeur sensible; 4° enfin, si la quantité i(n' — n) est peu considérable, les termes de la formule (F) du numéro précédent qui ont ce diviseur peuvent devenir sensibles. Il faut donc calculer avec soin toutes les inégalités assujetties à l'une de ces quatre conditions.

4. Les quantités F, G, G', H, H' sont déterminées par les approximations développées dans le Livre II : nous allons déterminer M et N. Pour cela, reprenons la valeur de R du n" 46 du Livre II,

m [xx -+- yx

zz'

r' étant ici le rayon vecteur de m'. Prenons pour plan fixe celui de l'orbite primitive de m, et pour ligne des abscisses x la ligne des noeuds de l'orbite de m' avec ce plan. Si l'on nomme ç l'angle formé par r et par cette ligne, t^' l'angle formé par cette même ligne et par r', et y la tangente de l'inclinaison respective des deux orbites, on aura