X ---- rcosv, r -= rsm i x'= r'cosv' , y

r smi^

r y s\nv

ce qui donne, en négligeant la quatrième puissance de y, m y- r

CCS U'

J- -p^ [C0S(</- i') - cos((/+ v)']

m' y- /T'[cos(t^'— v) — cos(t''-f- v)\

2 rr ces V

[/•2 — 2/T'cos(f'— t^) -T- r'-]'^

Supposons, comme dans le n"^ 48 du Livre II,

—j-^ ç,os[n't — nt -i- e' — e) — [a- — 2«a'cos(/t'/ - nt -- s - e) -; a'-] '

:= j2A('5 cosi[n' t — nt '- e'-- e),

[a- ?.«a'cos(w'i- nM-e'— e)-i-a'2] '^ : - ^IB'-'^ co^i{n' t - nt -.- e' — î),

et représentons M cos [i{n't — nt -i- s'— e) h- 2nt 4- K] par

M^"^ e-cos[i[n't~~ nt {- e'— e) h- -znt -\- ?.£ — 2cj] + M(')ee'cos[/(n'/ — nt ;- e'— e) H- 2nf -f 2e — uy --ro'] H- M(2)e'2cos[/(/i'; - w/ :- e'— e) -r- Q.nt -■■■ 2e - 251'] + M(3) y2 cos[i[n't - n/ -1- e'— e) -h 2/1/ -h 2e -- 2!!],

Il étant la longitude du nœud ascendant de l'orbite de m' sur celle de m, comptée de la ligne où l'on fixe l'origine de nt -h 6. On a, par

le n° 22 du Livre II,

- = I +-«2 — ecos(«^ + e — Gj) — 4e2 cosfsn/ + 2e ■— acî),

t; =nt -h £ — 11 -i- 2e sin [nt -t- £ — Ts) -+- ^e- sin {7. nt -+- le — ixs],

ce qui donne les valeurs de — et de v', en marquant d'un trait les quantités n, 6 et e. On a ensuite, par le n° 48 du même Livre, le produit de lA^'^ cos[i{n't — nt + s'— e)] par le sinus ou le cosinus d'un angle quelconque y^ H- I égal à

lA(') ""'" li{n't -nt^ e'- i)-\-ft -i- II. CCS "- ^ / ./ J

De là il est facile de conclure M(o):=. -[.(4.-5)A(')-4-2(2z-i)a-^--+a2-^-J,

4L ^ ' ôa ' da dada J

et dans le cas de t r= i,

MC3) =1 -^ ^,-- aa' B(»).

Représentons Ncos[i(w'^ - nt -\- e'— s) h- L] par les termes suivants

W^^ cosi[n' t — nt -'r t' — i] -\- N(*)ee'cos[/(n7 — «M- e'~ e) -+- nr — cï'] -i-Nf*)ee'cos[ï(n7 — «/ + e'— e) — sj + ci'];

nous aurons

4 L V àa da'^ / 2 ^ ]

N(')=i -.- 4 i— I pAC-') — 2 i — I a — ^- . — 2 z — I a'- --;- :-aa' ~,-^, ,

4L ^ ' ôa ^ ' da dada J

N(2)= -^[4(^H-i)^A('-)-^2(M.:)a--.^^- :.2{. + r)a'^-^^^.--+aa'-^^^^^^^^^

i étant supposé positif et plus grand que zéro dans ces trois dernières expressions. Dans le cas de ï = i, il faut ajouter à N^**^ le terme

Il est plus commode pour les calculs numériques de n'avoir dans les formules que les différences relatives à l'une ou à l'autre des deux quantités a et a'. On trouve alors, par le n° 49 du Livre II,

m' r dA('-2)

'21 — i)Af' "') — 2a