TL
dA ('•-')
dA('+0 da
âa
âa'
()2Aa-i)
da
da^
5. Le cas de i = o mérite une attention particulière. Reprenons la formule (T) du n° 46 du Livre II, et considérons d'abord le terme
^^ — ^^^-^^-—^ de l'expression de dlv donnée par cette formule. On
a, par le n° 53 du même Livre, et en n'ayant égard qu'aux termes affectés de l'arc de cercle nt,
- 3= I — /t sin(n/ H- e) — Icosint -i- e),
- = — (/CM-/'D)n^sin(n/ + e) (AC + /l'D) n;cos(nM- e),
ce qui donne, en ne considérant que les termes dépendants des carrés et des produits de h, l, h', /', et indépendants des sinus et cosinus de nt-\- 1 et de ses multiples,
d[irdèr-^ drèr)
m'n'^a^dt^
[{/t2^-/2)GH-(/iA'H-//')D]
On a ensuite, par les n°' 19 et 20 du Livre II, r'^dv ~= a^ndtyji — e^ ;
ik MÉCANIQUE CÉLESTE.
on aura donc
«?(arJôr^c?rôr] ^ mW/ ^ p) c + (M'+ //')D].
On a, par le n° 55 du Livre II,
m'nC I 1 m'/iD
partant,
dl-xrdàr-^ drèr)
i Jf [(o, i) (/i2 + /a) [^77|(M'-f- //')].
Considérons ensuite le terme — de la même formule (T). Si
r- dv ^ '
l'on n'a égard qu'aux quantités séculaires dépendantes des carrés et^
des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, on aura,
par l'analyse du numéro précédent,
m' / àKW ^2 4(0)^
8 ^ ^ \ da da^
8 ^ ' \ da da'^ j
+ -y- [Ml -\- //' 4A^'^ -I- 2a -—— 4- 2a' -^-7 1- aa -^--r-r
4 \ oa da dada j
^r'^aa'W^)\{p--^pY- + {q'-qYl
p, p', q, q' exprimant les mêmes choses que dans le n** 51 du Livre II. De là il est facile de conclure, par les n°' 55 et 59 du Livre II,
anôR .:: ~ 4(0, l)(^2 + /2 H- /i'2 + /'2) ^ \^r\[hli + li )
ce qui donne
a/ld ÔR rrz (/A[ (o, i) /i + [^ A'] -I- f//[- (o, 1) / + [^ /']
-]r [o,i] dp[p - p') -^ [o,\) dq{q - q'). Le second membre de cette équation devient nul , en vertu des équa-
tions (A) et (C) des n"' 55 et 59 du Livre II; on a donc
an d (5R = o, d'où l'on tire, en observant que n^a? = i,
r'^dv
na- sj\
m'^ étant une constante arbitraire ajoutée à l'intégrale /d(5R
rf/2(2rôR'+R'ôr]
Il nous reste à considérer la fonction
r'^dv
qui entre
dans l'expression de dtv, donnée par la formule (T) du n" 46 du Livre II. En négligeant le carré de la force perturbatrice, cette fonction
. 2ÔfrR')rf/2 , , ... . da
dt
se réduit à
r'^dv
■•> ou, par le numéro cité, à
m'ndt.a-
quantité produit d'abord le terme
Cette
•> qui, ajouté à celui-ci
Zm'srdt . , v Zm'a^ndt ^ , , i i ix w
— JL ; égal a — — =5:=rr- a cause de n^a^ = i, le détruit, parce que
ia
ôa
s/ par le n*^ 50 du Livre II. Reprenant ensuite l'expres-
sion précédente de ^R, nous observerons que la fonction
est égale à une constante indépendante du temps /, puisque sa différentielle est nulle en vertu des équations (C) du n'^ 59 du Livre II; et, si l'on ne considère que les deux planètes m et m', comme nous le ferons dans ce qui va suivre, {p — pY + (q' — qY est, en vertu des mêmes équations, une quantité indépendante du temps; la fonction
()ÔR
précédente ne peut donc produire dans
indt.a"^
da
qu'une quantité
pareillement indépendante du temps, et que l'on peut ainsi négliger, puisqu'elle peut être supposée se confondre avec la valeur de ndt. On aura donc, en faisant disparaître les différences partielles de A^"^ et
de A^*^ en a! , au moyen de leurs valeurs données dans le n° 49 du Livre II,
indt.a-^ -^-^ = — ^— (A2 + /2 + /i'2^/ 2) (^«2 __ .^2a3 -^- +±a*
m'ndt[hh'+ll')i-2.a^
da da^ ^ da^
da2 -i da^
Si l'on rassemble ces différents termes, on aura
dàv= "^ — (/i2 4- /2) (2a2-^ }- ^a^
- Ihh' -h II] 2«A('> — 2a2__^ hi5a3 — —,- + 4^4 ^
^ ' \ da oa^ da^ )
da-^
da3
d2A(0 da2
On pourra, dans cette expression, négliger les termes indépendants du temps /. Il est facile d'en conclure l'expression de d%v', en changeant ce qui est relatif à m dans ce qui est relatif à m! , et réciproquement, et en observant que, quoique la valeur de A^*^ relative à l'action de ni sur m soit, par le n° 49 du Livre II, différente de sa valeur relative à l'action de m sur m', cependant on peut, dans l'expression précédente, employer indifféremment l'une ou l'autre valeur. Mais on obtiendra plus facilement d'^v' par la considération suivante. Si l'on ajoute la valeur de d^v multipliée par m y/a à la valeur de d%v' multipliée par m' s/a' , on aura, en substituant au lieu des différences partielles de A<"^ et de A'*' en a' leurs différences partielles en a,
m ^a. ddv -f- m' sja' .dàv~ -. (A^ + /« h- A'2 4- l^)[a — r h ^«^ ^ )
Zmm'dt,,,, .,,,/, /n ^A(*) , d^ACOX
Si l'on ne considère que deux planètes m et m\ la différentielle du second membre de cette équation est nulle en vertu des équations (A) du n^ 55 du Livre II; on a donc, en ne considérant que les quantités pé-
riodiques séculaires,
0^= m\J a .dàv + m' sja' . ddv',
ce qui donne immédiatement V lorsque l'on a déterminé Se.
La valeur de d^ç est relative à l'angle compris entre les deux rayons vecteurs r et r -{- dr. Pour avoir sa valeur relative à un plan fixe, nous observerons que, par le n*' 46 du Livre II, si l'on nomme dv^ la projection de dv sur ce plan, on a, en négligeant la quatrième puissance de l'inclinaison de l'orbite.
On a, par le n° 53 du Livre II,
5 = qs\n[nt h- e) — pcos{nt -h e) +. . ., ce qui donne
ds -^inq — -J-\ dt cos [nt -\- z) -'r- inp -i- -jA dt sm[nt .^) -\- . . .',
on aura donc, en négligeant les quantités périodiques dépendantes de nt, et en observant que dv -- ndt, à très-peu près,
ainsi, pour avoir la valeur de d^v^, il faut ajouter à la valeur précédente de dtv la quantité •— ^ — P—1.
Si l'on ne considère que deux planètes m et m', on aura, par le n** 59 du Livre II,
et le second membre de cette équation est égal à dt multiplié par une constante; en n'ayant donc égard qu'aux quantités périodiques séculaires, on aura
o^=m\Ja.dàv, -\- m' sfâf .dàv\,
^v^ et V étant relatifs au plan fixe.
OF.uvres de L. — III. 3
6. Considérons maintenant les inégalités du mouvement en latitude dépendantes des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites; reprenons la troisième des équations (P) du n° 46 du Livre II,
Prenons pour plan fixe celui de l'orbite primitive de m, ce qui per-
dK
dz
met de supposer z nul dans -r-- On aura, par le n*' 4, et observant
que z = rs ,
dR m's' m'r's'
[r2 — irr' cos[v'— v) H- r'2]=* l'équation différentielle en z deviendra ainsi
o= T— - +n2z[n-3«cos{n/-f-e — GjjjH ,^ - — — 3
'" [r2- 2 rr' CCS (t''-(^)+r'2]»
Représentons par
Msin[/(n7 — nt + e'— e) h- int + K] -h Nsin[z(n'i — nt h- e'— e) + L]
la partie de
[r2 — 2rr'cos(t''— v) 4- r'^]^
dépendante des angles l[n't~ nt-\- 1'— e) h- 2^nt et i{n't— nt + t'— e), et supposons qu'en n'ayant égard qu'aux inégalités de z dépendantes de la simple inclinaison des orbites, la partie de z relative à l'angle i[n't — nt->r e'— e) -f- nt soit
yrtFsin[j(n'i — nt -h e'— e) H- n/ + e — H];
on aura, en ne conservant que les termes dépendants des produits des excentricités et des inclinaisons,
d^z „ , ( sinfif»'; — nf -I- e'— e] -1- an; + 2e — cj — ni )
dt^ 1 +sin[z(n7-«; + e'-e)H-nï-n] )
H- n-a^Msm[i[n't — nt -h e'— e) + cint -+- K]
-i-n^aSN sm[i[n't — nt-k-e'- e) + L],
d'où l'on tire, en intégrant,
^n^eyaFsm[i{n't — nt-hi'—î)-h7.nt-h2s- rs — U] -h n^ a^M.sm[i [n't — nt -^- s'— e) -^ 2 nt ^K]
[in' — (/ —i)n] [in'— {i — 3) n]
^n^eya¥sm[i{n't — nt^s'—e) ^vs — n]-^n^a^Nsïn[i[n't — nt -¥-'.'— s) -hh] [in' — (/ + i)/?] [in' — {i — \)n]
On aura la latitude s, en observant que
*= - = - fn- ecosint -h e — cj)l:
on aura donc s, en divisant l'expression précédente de z par «, et en lui ajoutant la quantité
^eyFsin[i(/i7~- nt -\- s' — e) + ^nt -\- 2e — cj — H]
H- ^eyF sin[/ (n'i — n/ + e'— e) + GT ~ n].
11 ne s'agit plus que de déterminer M et N, ce qui sera facile, en suivant l'analyse du n° 4. Mais nous nous dispenserons de suivre ce calcul, parce que les inégalités de cet ordre en latitude sont insensibles, excepté relativement à Jupiter et à Saturne, à cause de la commensurabilité très-approchée de leurs moyens mouvements, et nous donnerons dans le n° 10 un moyen très-simple de déterminer ces dernières inégalités.
Si l'on rapporte le mouvement de m sur un plan fixe très-peu incliné k celui de son orbite primitive, en nommant <p l'inclinaison de cette orbite sur ce plan et 0 la longitude de son nœud ascendant, la réduction du mouvement sur l'orbite à ce plan sera, par le n° 22 du Livre II,
— jlang2(psin(2i^, — iQ) — tang 9.05 ces (f, — ô),
v^ étant le mouvement v rapporté au plan fixe. Ainsi le mouvement en latitude introduit dans le mouvement en longitude sur l'écliptique des inégalités dépendantes des carrés et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons des orbites. Mais ces inégalités sont insensibles, excepté pour Jupiter et Saturne.
20 MÉCxVNIQUE CÉLESTE.
En ne considérant que les quantités séculaires, et observant que langcpsinô — />, lang9 cos9=:^, on aura
dt ^ ' dt
ds = t-~ sin(n/-i- ^) — t -Jj cos{nt H- e).
Le terme — tang9.S.ycos(ç', — 9) donnera ainsi le suivant ^^ P ^£—31,
en sorte que l'on aura
^gdp — pdq ' 2.dt
ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé dans le numéro précédent.
Des inégalités dépendantes des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites, et de leurs puissances supérieures.
7. Les inégalités dépendantes des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites sont susceptibles de ces deux formes
Msin[/(/i'; — nt -i- e'— e) -\- Znt -i- K], N sin[i(n'/ — n/H- e— e) 4- nt + L].
On peut les déterminer par l'analyse dont nous avons fait usage dans les numéros précédents; mais, comme elles ne deviennent très-sensibles qu'autant qu'elles croissent avec une extrême lenteur, cette considération simplifie leur calcul. Reprenons la formule (Y) du n" 46 du
