LIVRE VI

Pour la déterminer, nous reprendrons l'expression de ^v donnée par

la formule (Y) du n° 46 du Livre II. La partie ^^ Jndt ^^ ^^^^^ expression produit dans ^v le terme

^eB.s'm[i{n't — nt + e'— s) + /if + e -h nr + A].

C'est le seul de ce genre qui ait i(n'— n) + 'in pour diviseur. L'inégalité de tv dépendante de l'angle i[n' t — nt + z — z) ^ 2,nt -\r 2t est à très-peu près, par le n° 1, en n'ayant égard qu'aux termes qui ont i{n'— n) + 3/î pour diviseur,

2 H sin [ i ( w7 — wi + e' — e ) 4- 2 /if + 2 £ H- A]. En désignant donc cette inégalité par

lLsm.\i[n' t — nt -{- z' — e) + awZ + ae + B], on a dans ^v l'inégalité

feKsin[?(/i7 — nt -\- z' — e) -h n? + s + gj + B].

8. C'est principalement dans la théorie de Jupiter et de Saturne que ces diverses inégalités sont sensibles. En supposant i— 5, la fonction ii^n'— n) + 3/1 devient Stz'— 2n, et cette dernière quantité est trèspetite, en vertu du rapport qui existe entre les moyens mouvements de ces deux planètes, ce qui donne aux inégalités correspondantes de tr et de 't>v de grandes valeurs. Pour les déterminer, reprenons l'expression de R donnée dans le n° 4. La partie

in r

ces i^'—v) — 7~ y ^ -Tji [cos [i>' — v) — ces [v' -+- v)] •

y-rr cos(/— t')

[r2 — 2rr'cos(t^'— v)~h r'^Y

ne produit aucun terme de l'ordre des cubes des excentricités, et dépendant de l'angle 5n't — 2nt; il ne peut donc en résulter que de la partie

y'^rr Q,os[v -\- v)

[r2 -- 2rr'cos(i''— v] + r'^Y

\Jr'^ — 2 rr' cos [v' —v) -{- r"-

et alors les valeurs de P et de P' sont les mêmes, lorsque l'on considère l'action de m' sur m et celle de m sur ml . Déterminons ces valeurs.

On a, par le n° 22 du Livre II, en ne portant la précision que jusqu'aux troisièmes puissances des excentricités inclusivement,

- =H-je2 — (e — ■|e3)cos(/i/-!-e — gt) — ^e2cos(2n/-+-2e — 2cj]— fe^ cos(3n;-T-3e--3GT), V =n/ + eH-(2e — {e3)sin(nf + e — cj) r-fe2sin(2n^H-2e — 27ï7)4-||e3 sin {3n/-f 3e - 3rô).

Cela posé, si l'on développe R suivant les termes dépendants de l'angle ^rit — int^ on aura une expression de cette forme

Rz=M«»)e'3 cos(5«7 — 2n^ + 5e'— 2e — 3gï') + M(*>e'2ecos(5n'/ — 2/i?-!-5e'— .2e -2nj'— gt) + M(2)e'e2 cos(5n'/ — 2n« + 5e'— 2e — cj'— 2cj) + M(3) e3 cos(5n7 — 2nf4-5e'— 2e--3nj) -'r- M(* > e'y2 cos ( 5 n' / — 2 n/ -f- 5 e' — 2 e — Gj' — 211) -T- M(s)ey2 cos(5n7~ 2n/-+-5e'— ae — cj' — 211),

et l'on trouvera, après toutes les réductions,

, / dhf d'^hf d^h'l

a'M(o) :^. - -%- ( SSqèf -1- 20I a -.^ + 27^2 -^f- -4- oi^ -^-f- 40 \ '^ da. ' da.^ da^

dU^' d^bf d^b^^^

16 V ^ c?a </a2 rf,

a'M(0 rrr ^^ I 4o2 6<" H- loSa -.^ + 26a2 — .-^- H- «3 - .— ^

a'M(2)=:- ~ I 3966'/'+i84a-^- + 25a2--.-|- i «3 2 i6 \ ^ i ' (/a </a2 rfa»

, / db',"\

a'M(5)=: -^1 rjb^*K

db'*^

Cf.—,—-

De là on tire

m'a'P = a'M('^^ e'3 sinSro'-!- «'M^'^ e'2esin(si5j'H- w)

+ a'M(^) e'y2 sin (sH + cj' ) + a'M(5>e>'2 sin (ail + rs).

On aura mVP', en changeant dans cette expression de mVP les sinus en cosinus, et il sera facile de conclure les valeurs de aP et de

aV , en multipliant celles de a'P et de a'V par — ou par a. On aura

ensuite, en faisant « = 5 dans les expressions de ^ç' et de — du numéro précédent,

o.adV' ?>ad'-V

{5n' — 2.n)dt [Sn' -in)^dt^

sin {5n7 — 2n/ + 5e'— 2e) cos(5n'f— 2nf-h-5e'— 2 e)

— -=—. «2 CCS on 7 — -xTit H- 5e — 2e —«2 — sin 5n7 — 2nf-i-5e — 2e

on — 2/1 L t)a ^ ' oa ^ 'J

sin(5n7 — 2n^ + 5 e'— 2e — cj + A)

-4-feK sin (5n'; — 4 wf + 5 e'— 4e + GJ + B),

H cos(5n'^— 3n?-f-5e'— 3e + A) — eHcos(5n'f — 2n/+ 5e'— 2e~5H- A)

+ eHcos(5«'; — 4^^^ + 5 e'— 4s -'- GT + A) 4m'n

[aP sin(5n'i — 2n^H-5ê'— 2e) 4-«P'cos(5n'f — 2n^ + 5e'— 2e)].

En supposant « = — 2, et changeant ce qui est relatif à m dans ce qui est relatif à m', et réciproquement, on aura

za'dP

{5n' — 2n)dt [Sn'—iny^dt'^ la'dP' Sa'd^V

sin (5n'/ 2n;+5e'- 2e]

cos(5n'^— 2nri 5e' 2e)

{5n'—2n)dt {5n' -2n)^dt^

— g , a 2 "-,-cos 5n t — 2nt + 5t — 2e — a'2~-^sin 5n'/ 2nM 5e 2e

on — 2nL da ^ oa ^ J

sin(5n'/ — -xnt + 5e'— 2e — ct'h- A')

-h f e' K' sin ( 3 n' / — 2 n/ + 3 e' — 2 e H- cr' 4- B' ) ,

OEuvres de /.. — Hi.

— H' cos{^n't — 7.nt-\-4^'— 2£ + A') — e'W cos{5n' t — 2.ntn-5e' — 2 e — cj'+ A') + e'H'cos(3w7 — int -h 3e'— 23 + gj'+ A')

- [a'Psin(5/i7— "ziit -+- 5e'— 2e) + a'P'cos(5n'/— snf + 5e'— 2e)],

r' èr'

R'cos{^n't — int -+- 4^'— 2s + A') étant la partie de —tj- dépendante

de l'angle l\n't — int, et Yi!^m[[\n't -— 2nt-\- [\i — 2i^W) étant la partie de V relative au même angle. Dans ces diverses inégalités, nous rapportons, pour plus de simplicité, l'origine des angles à l'intersection commune des deux orbites de Jupiter et de Saturne, comme nous l'avons fait dans le développement de l'expression de R du n° 4, et comme nous le ferons dans le numéro suivant. Nous ne conserverons ainsi que pour l'analogie l'angle II, qu'il faut alors supposer nul.

On déterminera de la manière suivante les différences -r-? -7—5 -7- 5

dt dt^ dt

-rpT' On calculera, pour l'époque de 1750 et pour une époque plus

éloignée de deux cents années juliennes, c'est-à-dire pour igSo, les

, 1 de dis de' dm dy rfll ^ • ^ de, dm, de',

valeurs de 3^, j-, ^, ^, J, ^- Soient ^, ■^, j^, ••• ces

valeurs pour la seconde de ces époques; on aura, en supposant que t exprime un nombre d'années juliennes,

de, de d^ e

dt dt dt^

les différences de et d'^e dans le second membre de cette équation étant relatives à 1750. L'expression de e pour un temps quelconque t est, en négligeant le cube de / et ses puissances supérieures,

de /2 ^ie dt 2 dt^

de d^ e <?, -r-t -j-j se rapportant à l'époque de 1750. Cette expression peut

s'étendre à mille ou douze cents ans avant et après cette époque. On

aura de la même manière les expressions de cj, é , cj', y et II. On calculera par leur moyen les valeurs de P correspondantes aux trois époques de 1750, 225o et s^So. Soient P, P, , P,^ ces valeurs; l'expression générale de P étant

JP r- rfi^P

^ dt "^2 dr- '■

on aura, en faisant successivement t = 5oo, t = 1000,

^ ;, dp ^ I d^P

dt 2 dt^

dP i d^V

dt 2 dt^

ce qui donne

dP dt

d^P dt^

25oooo

9. Les termes dépendants des cinquièmes puissances des excentricités peuvent avoir une influence sensible sur les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne; mais le calcul en est pénible par son excessive longueur. Son importance a déterminé Burckbardt, trèshabile astronome, à l'entreprendre. Il a discuté avec une scrupuleuse attention tous les termes de cet ordre qui dépendent de l'angle ^n't — 2nt, en se permettant seulement de négliger les produits des excentricités par la quatrième puissance de l'inclinaison mutuelle des orbites, ce qui ne peut, en effet, produire que des quantités insensibles. L'expression de R du n° 4 est relative à l'action de m' sur m : la partie de cette expression qui a le plus d'influence sur cette inégalité est le produit de m' par le facteur

Y rr' [cos{i''— v)

CCS V

y//.2 __ 2 rr' ces ( v' — v)-h r'

[r2 — 2rr'cos(t''— v)-{- r'^]

2lî

Ce facteur est le même pour les deux planètes; en le développant et en ne considérant que les produits des excentricités et des inclinaisons.

relatifs à l'angle 5n't — 2nt, on a une fonction de cette forme

W^'' cos [5 n't — T.nt -i- 5e'— ae — 4^'+^] -!- N^*^ cos [5 n't — int + 5t' — 2e — 3cj') + N(2) cos{5n'; — int + 5e'— 2e — itd' — e] H- N(3) cos(5/i'; — 2wY + 5e'— 2e — gt' — ixs) + N(*5 cos(5;i'^ — int + 5e'— 2e — Zm] + N(5^cos(5n'/ — '?.nt + 5e'— 2e -i- m'— ^m) + N(6'cos(5n'/— 2n; + 5e'— 2e— 2m'+cj ■ + N(^'cos(5/i7 — 2n/ + 5e'— 2e — ro'— 2!!) + N(8>cos(5n7 — 2wf + 5e'— 2e — ccf — 2!!) + N(») cosfôn'^ — 2/ï/ + 5e'— 2e -1- w— iis -

et l'on trouve (*)

da.

doc.^

(*) Les valeurs de «'N«», «'N"), .,., a'N^') données dans le texte sont inexactes. D'abord, ainsi que l'Auteur en a averti dans le Supplément au tome III, elles doivent toutes être prises

5oor?'*p

avec des signes contraires, aussi bien que les nombres — ' ^tt: — et

de la

page 3i. Mais il y a plus : même après ce changement, les expressions de «'NC') et de «'N^»' sont encore fautives ; les valeurs exactes de ces quantités sont eu effet

(28oeî + 810e'») a.h^}^ — (60^2 — iZe"^\a?- ^