partie correspondante de tv, en multipliant celle-ci par
5mn'^ a' a.m'n'^ a
10. Dans la théorie de Mercure troublé par la Terre, il faut considérer l'inégalité dépendante de l'angle nt — [\nt, parce que le moyen
mouvement de Mercure est à très-peu près quadruple de celui de la Terre. En supposant que m soit Mercure et m! la Terre, on aura l'inégalité dont il s'agit, en faisant i — [\ dans l'expression de tv du n° 7. Vu l'extrême petitesse de cette inégalité, on peut négliger les termes qui n'ont point (/i — 4^')^ pour diviseur, et ceux qui dé-
pendent de ^ et -^- On aura ainsi
âc = 7 >— rrr [«?' sIh [ut — 4«'^ + e — 4e'] + «P CCS [nt~ Lnt + z — 4e')l.
On déterminera facilement P et P' de cette manière. On calculera, par la formule (A) du n*' 1, la valeur de —y- correspondante à l'angle L\TÏt — int, ce qui revient à faire « = 4 (l^ns cette formule. On aura ainsi une valeur de — r- de cette forme
Le2 cos(4n'/— 2w' -i- 4e'~ 2£ — 2Cj) ,
+ LC^ ee'cos{4«'/ -— "^nt + l\^ — ae — cj — cj') 4- L(2)e'2cos{4'i'^ — 1nt-^- 4e'— 2£ — aci') + Lf3)y2 cos(4/i'' — 2«; + 4e'— ?.£ — 211).
On observera ensuite que cette valeur de -— résulte des variations de l'excentricité et du périhélie dépendantes de nt — l\n't dans l'expression elliptique de — - : cette expression contient le terme — e co%{nt -H e — ct), dont la variation est
— de.cos(«/ H- e — Gj) — e5cj.sin(«/ + e — o),
<5e et Scy étant les variations de c et de tr dépendantes de nt ~ l\n't. On a, par le n*' 69 du Livre II, <
- ni an V dV . . , , , , > ^P' ,/ t^ ^ / , \1
8e — T— 7^- sin 4» ' — »' + 4e — el + -^— cos 4w f — /i/H-4e — e ,
n~-\n x^de ^^ ^ ' de ^ J
m' an fdV ,, , , , s àV . ,, ,, , , , r\
e6xs= - , , -^ cos(4n'/ — «/ + 4e — ej— -k— sin {^n t~nt-h^t —e) l.
La variation de — e cos{nt H- e — cj) devient ainsi
m an rdl? . , ^ , . . , ,
; — r -^— sin 2nf — 4« / + 2£ — Ae — cr
n — l\n yde ^
de
COS 2/î
i — 4w'^ + 2 5 — 4 e' — cj)
Cette fonction est identique avec l'expression précédente de -^\ en changeant donc, dans l'une et dans l'autre, 2/^^-^2e dans
/liT -f- e -h cj H- - » 7v étant la demi-circonférence, on aura
V-; -^— co?>(nt — ^n' t -\- z — it) -i- -r— sin n^ — 4n f + e — 4e
n — 4« L^^^ ^ ' de ^ ^ 'J
= L e2 sin(4«'^ — «f -t-4e' — e — Sgt)
+ L(^)ee' sin(4'î'^ — n^-f-4e'— e — xs' — 2nj)
+ L^2)e'2sin(4Aî'/ — nf + 4e'— e — 2cî'— cy)
H- L(3^ y2 sin (4ai7 — ni + 4e' — s — cr — 211).
Si l'on intègre cette équation par rapport à e, et qu'ensuite on la multiplie par
— fx
on aura
|L e3 sin(4/i'i — wi + 4e'— e — Sgt) -I- |-L(< > e2 e' sin (4»' ^ — ni + 4e' — e — gt' — 2gj) n — 4^*' ) -i- L(2)ee'2sin(4n'i — wi + 4e'- e — 2Gî'— gt)
+ L(3) ey2 sin (4n'i — ni + 4e'— e — cj— 211)
Dans cette intégration, on néglige les termes de P et de P' dépendants de e'^ et de e'y^; mais l'excentricité de l'orbite de la Terre est si peu considérable relativement à celle de Mercure, et l'inégalité dont il s'agit est si petite, que l'on peut les omettre sans erreur sensible.
