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\ (dPd*? ^'^' ^^ dP'a'P'X [dcj [d^) ■ I ,

m'^a^n^ ] \'^^<^^' ^ '^^ ^^' ^ ^ ^^ày '^ dy d^y)^ '' ' 27(5«'- ^)~ ' ^^"^^^'^'"^"^ ' ^''

'^ [5n~2n)e\ dV dV

\ -^ — lT~i ^c * COS 2 (5 n't — 2 «/ -4- 5 e — 2 s)

mm'aa'nn't fd? d*V dP' d^V d? d^V dV d^V'\

{in'--2n)e\dé de de' '' de' de de' dy dedy ' dy^ àëdy)

Les parties de ces expressions, proportionnelles au temps t, donnent les variations séculaires de l'excentricité et du périhélie dues au carré de la force perturbatrice. Pour avoir les termes périodiques dépendants de ce carré, considérons le terme 2esm{nt-\- t~ vs) de l'expression elliptique de la longitude vraie. Si l'on désigne par Se et par Scy les variations de e et de u dépendantes de l'angle 5n't~ 2nt^ 5s'— 2£, et qui sont dues à la première puissance de la force perturbatrice, et par ^'e et S'cr les variations précédentes de c et de cr dépendantes du double de cet angle; si l'on désigne ensuite par Se la somme des deux inégalités de m, l'une dépendante de 5n't— int -h 5e'— 2e, et l'autre dépendante du double de cet angle, le terme 2eûx\{nt-\- e — xs) devient

(2e + 2(5eH- 2Ô'e) sin(Aif + e + ôe — gï — ôcj— ô'gj),

et par conséquent, en négligeant le cube de la force perturbatrice, il se développe dans les termes suivants

2 e sin ( nf + e H~ ôe — GT ) + 2(5esin(nM- e— cr) -- 2e(5cTCOs(n; + e — rs] -\- [2Ô'e 'V- 2.e àxu àe — e(ÔGî)2] sin [nt -^ e — xn) — [2e(5'Gj -1- lèeàvs — 2Ôeôe] cos(n/ + e — ns).

Le terme 2esin(7î^ -h e -i- Se — cr) est celui que l'on obtient en augmentant, comme nous le prescrivons, dans la partie elliptique, le moyen mouvement nt, de Se; les deux termes

'2des\n{nt -i- e — rn) — 7.edv3C0s[nt H- e — gj)

forment l'inégalité dépendante de l'angle "int — 5n't-^ 3e — 5e', que donnent les formules du n° 1. Si l'on substitue ensuite dans les autres termes, au lieu de Se et Sct, leurs valeurs données par le n° 69 du Livre II, et au lieu de S'e et S'cy leurs valeurs données par ce qui précède, leur somme donnera, en négligeant les termes dépendants du sinus et du cosinus de nt -]- e, parce qu'ils se confondent avec l'équa-

tion du centre,

— ■— — r 4=—^ — P -5 l-P 3— cos 5rt< — ion <4-5£ — loe — îoi

(5n'-2n)3 m'sja' \ de de J ^ '

— -p—, ; ^ ^ — P -3 P -r- sin 5«if -io«7 + 5e — loe — cî .

(5n'-2n)3 jn'sia' \ de de J '

Cette inégalité peut être mise sous la forme suivante : si l'on représente par Ksin(5n'i — 3/1/ -f- 5e'— 3s -^B) l'inégalité de m dépendante de 3nt -5n't -1- 3z — 5t', et par Hsin(5/z'/ — 2/î/-f- 5e'-- 2s h- A) la grande inégalité, l'inégalité précédente sera, par le n*^ 69 du Livre II,

V ■± — V — jj]^ smiSnt — ion t -h Se — loe — B — A ).

On trouvera pareillement, en n'ayant égard qu'aux variations séculaires dépendantes du carré de la force perturbatrice,

^ - " fSTT'^^T^^ ■" m si a \ Te'~^ 'de')

m-^a'^n'^t [dV d^V dVd^-V dV d^V dVd^V

P d^V^ y de'dy)

5n'— 2» \de' de'^ de' dé^ dy de'dy dy

mm'aa'nn't/dV d^V dV d^V dV d^V dV d^V

5n'-- 2/1 \de dede' de dede' dy de'dy dy de'dy ,, 3/n2rt3„3/ SmJa-^im' d'à! l^dV ^, dV

a©' — j^-, rr-7-, — - — y— p ~- + P' -—

(5n— 2/i)-^ae mJa \ ^^ ^^

nC^a'^n'^t (dV d^V dV d^V d^ r)2P ^ dV d^P'

[5n' — 2/i)e' \dé de"^ de' de"^ dy de'dy ' dy de'dy

mm'aa'nn't fdP d^P dP' d^V dP d^V dV d^P'

(5n' — 2.n)e' \de dede' de dede' dy de'dy dy de'dy

On trouve encore que le mouvement de m' en longitude est affecté de

l'inégalité

( l dV dV\

Smggg/ta 3/n y/g + 2 m' y/o^ | \ dé dé ) ^^ ^ t y ;

(5»'-2n)3a' rnJ^ " \ (^,dV' „ <)P\ . ,, , ,, , > a

V |H/p'.p\ sin(4n/-9n'/H-4e-9£'-rîï')

SECONDE PARTIE. - LIVRE VI. ki

Si l'on désigne par

K' sin(4n'^ — o.nt -h 4s'— 2£ + B')

l'inégalité de m' dépendante de 2nt — /^n't + 2e — ^t', et par

— H'sin(5/i'/ — 2n^ + 5£'— 26 + A')

la grande inégalité de m', on aura, pour son inégalité dépendante de ^nt — ^n't ~\- 4^ — 9^',