H'K' sin[4nt — gn't h- 4e — ge — B'— A
4 m\Ja ,
14. Les nœuds et les inclinaisons des orbites de Jupiter et de Saturne sont assujettis à des variations analogues aux précédentes. Pour les déterminer, nous observerons que, cp et <p' étant les inclinaisons des orbites sur un plan fixe, et 6 et 0' étant les longitudes de leurs nœuds ascendants, on a, par le n° 60 du Livre II, à cause de la petitesse de cp
et de <p',
<p' sinô'— cpsinô =:ysinll,
«p'cosô'— (pcos0 = y cosll.
On a de plus, par le n° 12,
a(cp' sine') = ~ ^^ ô(9 sinô), m' Ja'
(5(9'cos6
m' \Ja!
(5fcpcos(
De ces quatre équations on tire les suivantes
m Ja
msja -\- m'sja
-—=[dycos[n~9) -yôn sin(n- ô)],
"^'^"f-lôysmin-e) +yôncos(n-0)],
my/« -\-m' \Ja
— -^^V^L [ôy ces (n - 0' ) - y <5n sin (II - B' )], mv'a + Anya'
^v^ [ay sin(n- 9') + y ôncos{n - e')].
msja-h m'sja'
OEuvres de L. — III.
Les variations de 9, 6, 9' et 6' dépendent ainsi des variations de y et den. On a, par le n° 12,
, ( -r- cos(5w'f — 2n? + 5e'— 2e] \
dy mJâ-^m's^a' , ] ày '
-r- = ' =^ — m'ani ^^, l>
'"V" sin 5n'^ — ?.n/ + 5e'— 2e
\ dy ^ '
-r— sin 5/1 7 — 2/1^-1- 5e — 2e 1
ày ^ r
V" / -h -T-cos 5n'< — 2n; + 5e — 2e\
\ ày ^ ' ]
De là on tire, en négligeant les quantités périodiques dont l'effet est insensible, et en observant que
dy ôy'^ dy dy^ '
3/n'2a2;j3 m\ja-\-m'\Ja' Sm\]a-\~im'\ja' l-^dV p, ^P
^ ~ ~ (5n'— 2/i)2 m'^ ni'sfâ' \ ày dy
m'^g-^n^ msja + m'sfô! (dV d^P ^P ^^p' 5n' — in m'J^ \^^ dedy de de dy j
mm'aa'nn' m^Ja-v-m'^ô! fdV d'-V dP d^V \ Sn' — in m! sfa' \^^' dé dy dé dédy)^
3/w'2a2«3 m s/a -\- m' s/a' !j m \fâ -h im' \/ a' f p dV ^ ^, dV
~ y(5/i'— 2«)2 ^'^-^ fn'^-^ \ ày ' dy
l àV^ d^P dV ()2^F
m'^a'^n'^ m s/a -\- m' s/a' \ de dedy de dedy
'^' y{5n'-in) ni' s/a! j , ^2 ^1? ^ i.'Z
\ ^ dy dy'^ dy dy'^
( J^ ^^-P olF d^P' mm'aa'nn' m^-\^m's/af) dé dédy dé dé dy
' y{5n'~in) rn'sj^ ) , ^ ^ +^ ^L
\ ^ dy dy'^ dy dy'^
15. Si l'on voulait déterminer pour un temps quelconque les éléments des orbites planétaires, il faudrait intégrer les équations différentielles (A) et (C) des n°* 55 et 59 du Livre 11, par la méthode ex-
posée dans le n*^ 56 du même Livre; mais l'ignorance où nous sommes encore sur les valeurs des masses de plusieurs planètes rend inutile à l'Astronomie ce calcul, dans lequel il devient indispensable de faire entrer les variations séculaires dépendantes du carré de la force perturbatrice, que nous venons de déterminer, et qui sont très-sensibles
pour Jupiter et Saturne. Ces variations augmentent les valeurs de -j-->
UT'' ~^' ~Jr^ Ih"' "*' ''^^^tiv^s à ces deux planètes, respectivement des quantités
y^.Y^giv /iv^^.v /«Tôe'T /f'^ôcT'^ p'^'ècp'" ^^^ô9'^
en ne considérant dans Se"^, W'', ... que les quantités proportionnelles au temps t, déterminées dans les numéros précédents. On substituera dans ces dernières quantités, au lieu de e'"", sincj^'', cosct^^, ..., leurs valeurs en h}^, Z"^, ... ; les équations différentielles (A) du n*^ 55 du Livre II cesseront d'être linéaires; mais il sera facile de les intégrer par les méthodes connues d'approximation, lorsque la suite des siècles aura fait connaître les vraies valeurs des masses planétaires. Dans l'état actuel de l'Astronomie, il suffit d'avoir les variations séculaires des éléments des orbites, en séries ordonnées par rapport aux puissances du temps, en ne portant l'approximation que jusqu'à la seconde puissance.
On a vu, dans les n°^ 57 et 59 du Livre II, que l'état du système planétaire est stable, c'est-à-dire que les orbites de ce système restent toujours très-peu excentriques et très-peu inclinées les unes aux autres. Nous avons déduit ce résultat important du Système du monde de l'équation trouvée dans le n° 61 du Livre II
const. -z (e^ + (p2) rn\Ja-\- [e'^ -\- 9'2) m' )fâ' ~\- . . . .
En effet, le second membre de cette équation est très-petit dans l'état actuel de ce Système; il le sera donc toujours, ce qui exige que les excentricités et les inclinaisons des orbites soient toujours peu consi-
kï MÉCANIQUE CÉLESTE.
dérables. Nous allons faire voir ici que la différentielle de l'équation précédente
o = {ede + (fd(f>] nnja -h {e'de'-+- (^'d(^') m' \[a! + . . ,
subsiste, en ayant même égard aux variations séculaires des éléments des orbites, déterminées dans les numéros précédents, d'où il suit que ces variations n'altèrent point la stabilité du système planétaire. Pour cela, il suffit de prouver qu'en représentant par m Jupiter, par m' Saturne, et par %e, te', §9, S9' les variations séculaires de e, e' , 9, 9', données par ce qui précède, on a
o = ( e ôe -{- 9 09 ) m y/« -4- ( e'ôe' 4- 9'(59' ) w' y/rt' .
En substituant dans la fonction 9^9./wv/a 4- a^'lfs^'.m' \Ja' , au lieu de 9,
^9, 9', S9', leurs valeurs données dans le numéro précédent, elle
devient
mm Jaa' »
m\Ja-^m' sfâ!
ce qui change l'équation précédente dans celle-ci
^ r tr, , ,1—7 mm' Jaa' ^
o = eàe.msJa + eàe .m\Ja -\ = — —yoy.
msja-r-m' sj a'
Considérons d'abord le premier terme de l'expression de te du n° 13. Ce terme devient, en observant que n}a^ — i ,
Zm'i^mJa + im'J'à) l^dV ^, aP\
^-* X L fit P p' - .
asja'{5n'—o.nY \ ^^ ^^ I
Considérons ensuite le premier terme de l'expression de te' du même
numéro,
Zm{5m\Ja-\- Q-m' s/a') .[nàV d> ^^\
a' sJa[5n'-inY \ ^^' ^^/
Considérons enfin le premier terme de l'expression de Sy du numéro
précédent
3m' (SryiJa-hT.m'Ja') mJa-hm'Ja' f-n àV m àlP\
^__,-Y \ L — ï — ___-* nt P -T P -r-
av^a'(5«'— 2/i)2 mV«' \ ^^ ^^ /
On aura, en n'ayant égard qu'à ces termes,
. y- , s, , , /— r mm'Jaa' ^
eQe.m\Ja-\-e oe . m \/a -i -^ — ~ -= ydy
m nj a ~\- m' \J a'
3 mm' (5mJa-h9.m,'Ja')
■ -^i- ^ ::~^ '- nt
{5n' — inYsJaa'
aP' , „, dV , d¥ dy
p, , dP ^, dP^ dP
^ de de' ' dy
or P et P' étant des fonctions homogènes en e, e' et y, de la troisième
dimension, on a
dV , dP dV
de de' ' dy *
dV , dP' dP'
de
^-':^+y-fr=3P';
de
dy
on a donc
5. /~ • <^ I in mm'Jaa' « o = eoe.m\/a-he de .m s/a -\ — — ^ — ^ =ydy,
msja + m' \Ja
Considérons ensuite le terme de §e,
m'^t fdV d^V dV d'^V dP' d^V dP d^V
a{5n'—2n)\de de^ de de^ dy dedy dy dedyj^ le terme de ^e',
mm' t
dP' d^V dV d^V dV d^V dV d^V
s/aa^{5n'-- '2n)\^^ àede' de dede' dy de' dy dy dVdy)^ enfin le terme de Sy,
m'^t msja-^m'sj'a' (dV d'^V dP d^F
a[5n'—in) m'sfà \^^ àedy de dedy)''
on aura, en n'ayant égard qu'à ces termes et observant que l'on a
dy dy^ dy dy^
^ r ,^ > I rr mm'Jaa' . eùe.m\Ja-\- e de . m\Ja -\ = — =: y oy
m sj a -\~ m' \J a'
de \ de'^ ' de de' ' ^ dedy) dV ( d2P' , d^V d^V
m'^mt j de \' de^ dedé ^ dedy
dV I d-^V , d^V d2p
dy \ dedy de'dy ' '^ dy"^
dP / d2p' , d^V d^V
dedy de'dy ' dy'^
'de ^^ ~de ^^^^ homogènes en e, é et y, de la seconde dimension , ce
qui donne
dap , dap d2P dV
^ de^ "^^ dede' "^^d^~^^di^'
a^F ^ d^P' <)2P' dP'
de plus, ^ et -^-sont homogènes en e, é et y, de la seconde dimen-
sion, ce qui donne
d^P , ()2p d2p dp
aeay oe ay ' dy^ dy
d% V , ^2 P' ^2 P' dV
dedy de'dy ' dy^ dy '
on a donc encore, en n'ayant égard qu'à ces termes,
* /- /s, , , /— mm'Jaa' »
oz=zeoe.msja-'re'àe' .m sja -{- —^ — = yèy,
Considérons enfin le terme de Se,
mm't fdV d^V dV d^V dV d^V d? d^V
5n'—in)\J~âct^\àe' dede' de' de de' dy dedy dy dedy/''
le terme de Se', m-t
dV d2P dP d^V dV d^V dV d^P'
[Sn'—in)a'\de' de"^ de' de'^ dy de'dy dy de'dy et le terme de Sy,
mm' m^a + m'sfâi (dV d^P dP d^ V \ ,
J5n'-2w)v/«rt' m'sj'a! \d7 Wdy de' de'dy)'
on aura encore, en n'ayant égard qu'à ces termes, o=:eàe.m\/a-+- e' àe' . m' \Ja'
mm/Jaa' .
m^a-h m' \Ja'
Cette équation a donc lieu généralement, en ayant même égard aux termes dépendants du carré de la force perturbatrice.
La détermination du plan invariable, donnée dans le n" 62 du Livre II, est fondée sur les trois équations
c =zm\/«(i — e2)cos(p + w'v/a'(i — e'^)cos9' +
c' = m\/a[i — e') sintp sinO -i- m' sja'[\— é'^) sin9'sin0'-^ . . .,
c"—m\Ja{i~ e'^) sin^ cosô + m' sja'[\— e"^) sincp'cosô'+ . . .,
a, a', ... étant constants par le n° 12, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice; la première de ces équations donne, en négligeant les produits de quatre dimensions de e, e', ..., 9, ç', ...,
const. = [e^ -\-<f>^)ms/a-h {e'^ -i- c^'^] m' ^/^ -h. . .,
et l'on vient de voir que les termes dépendants du carré de la force perturbatrice n'altèrent point l'exactitude de cette équation. La seconde des trois équations précédentes donne, en négligeant les produits de trois dimensions de e, e\
o — âfcpsinô) m^/a + 5{cp'sin0') m'\/a' H-. . .; or, en ayant même égard aux termes dépendants du carré de la force
k8 MÉCANIQUE CÉLESTE.
perturbatrice, cette équation a lieu par le n° 14; l'équation
c'=: ms[â[i— e^) sin9SinÔ + m! sja' [ï— e'^) sin9'sm0'+. . .
n'est donc point altérée par ces ternies, et l'on trouve de la même manière que cela a également lieu pour l'équation
c"=zm \/a{i — e'^) sincpcosô -h m\!a' (i — e'^) sin9'cos0'+. . .;
ainsi le plan invariable déterminé par le n° 62 du Livre II reste toujours invariable, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice.
16. Les termes dépendants de ce carré peuvent avoir une influence sensible sur les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne; nous allons déterminer les plus considérables. On a vu dans le n° 5 que l'expression de R ou de SR renferme la fonction
m! , , , Jr,,,s <?A(') ,dA(0 ;d2A(0\
H- -7- ee'cos GT — cj) (4A(') + 2«— 3 h- 2a -3-7 — i-aa, .
4 \ ^^ ^^ dada )
H- ^a«'BfOy2.
En y faisant croître e, e', ct, rs' et y de leurs variations dépendantes de l'angle ^n't — ^nt, on aura dans R un terme dépendant du même angle, et qui, à raison du diviseur 5n'—2n, qui aff'ecte ces variations, paraît devoir être sensible. Mais on doit observer que ce diviseur disparaît dans dR, parce que, la caractéristique différentielle d se rapportant aux seules coordonnées de m, elle se rapporte aux variations de e et de cr, et par conséquent elle introduit le multiplicateur 5n'— in\ or on a vu que la grande inégalité de m dépend principalement du terme 3a//wc/^dR; les inégalités du rayon vecteur et de la longitude, qui dépendent des variations des excentricités et des péri-
hélies relatives à l'angle ^n't — 2nt, ont donc très-peu d'influence sur les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne.
On verra dans la suite que les inégalités les plus sensibles de ces deux planètes, dépendantes des simples excentricités des orbites, sont relatives à l'angle nt — i n't. Nommons F cos ( «^ — 2 7i7 -h s — 2 s' + A ) le
èr terme de — qui dépend de cet angle, et E sin(7iz — 2n't 4- s — 2s'-!- B)
le terme de ^v dépendant du même angle. Soient
F'cos(nf — ?.n'< H- e — ae'H- A') et E'sin(n^ — 2/1'/ + e — ae'-i- B')
àr' les termes correspondants de -- et de V. Supposons que R soit relatif
à Saturne troublé par Jupiter; en le développant par rapport aux carrés et aux produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, et en ne considérant que l'angle "^n't — nt, on aura, par le n° 4, une fonction de cette forme
M("^e'2 cos(3n7 — nt H- 3e'— e — 2ct' ) + M( ' ^ ee' cos [Zn't~nt 1- 3 e' — e — cr -- cy' ) + M(2)e2 cos(3n'< — nt + 3g'— e — ijs) + M(3) y2 cos(3/i'f — nt H- 3e'— e — ail).
Le premier terme M'"^e'^cos(3/i'i — ziz-h 3e'— e — 2ct') résulte du développement de A<*^cos(/— ^) dans l'expression de R. Il faut augmenter, dans ce dernier terme, r de Sr, r' de Sr', v de Sp, et v' de S^', ce qui revient à augmenter, dans son développement, a de §r, a' de ^r', et n't — nt de V— ^v. Ce premier terme donne alors les suivants
— M(o)e'2 [àv'— ôf ) sin{3/ï'/ — nt ^\- 3e'~ e — acr')
-t- a —, — e'2 — ccsfSn'/ - «/ -f- 3e'— e — 2gt') da a ^ '
,dW^^ ,,(5r' /o ,, , o , ,v
H- a — T-T- e 2— -ces 3n 7 — «/ + 3e — e — arat ), da a ^ '
OEuvres de L. — UI. T
d'où résultent, dans R, les termes
— iM(«)e'2Ë' cos{5n't — int-^ 5e'— iz — irs'— B' ) -i-^M^")e'2E cos(5n'; — 2n^ + 5e'— 2e — 2uy'— B)
+ 4a' —^7- e'2F'cos(5n'; — 7.nt + 5e'— 2£ — 2gt'— A')
d'MW -^^a — T — e'^F cos(5«7— 2nf + 5e'— 2e — 2?n'— A].
Désignons par d'R la différentielle de R, prise en ne faisant varier que les coordonnées de m'. Dans les termes multipliés par E' et F', la partie 5n't — nt de l'angle 5n't — 2nt est relative à ces coordonnées. Dans les termes multipliés par E et F, la partie 3n't du même angle leur est relative; on a donc, en n'ayant égard qu'aux termes précédents de R,
rt'd'R — ^(5»'— n] dt.a'M(^^E'e'^ sin {5n' t — 2/1^ + 5e'— 2e - im' — B')
-~^{5n' — n]dt.a'^ -^-r- F'e'^sin{5n' t — 2nt -h 5e'— ae — 2nj — A') - ' oa ^ '
— ^n'dt.a'M^^^Ee'^s\n{5n' t — 2/if + 5£'— 2e — acj — B)
- in'dt.aa' — r — Fe'2 sin(5n' t — int + 5e'— 2e — 251'— A). ^ da ^ '
Le terme W^^ ee' co%(Zn't ~ /li + 3e'— e — ct — ci') résulte du développement de A<^^cos(2^'— 2v) dans l'expression de R; il faut donc faire varier, dans ce terme, a de ^r, a' de tr\ et in't— int de i%v' — i%v, ce qui donne les termes suivants
— iW^ee'[hv'— <5v) sin(3n'/ — nt + 3e'— e — ci — m')
-V- a — T — ee — ces 3n t — nt -\- it — z — rs — rs Oa a ^
,dM(') ôr' 4- a —r-r- ee' —r cos ( 3 n' / — «Y + 3 e — e — gt — cj' ) ; da a ^ '
la partie de «'d'R relative à ce terme sera donc
{5n'— n) dt. a' M( *'> E' ee' sin [5 n' t — 2«^ + 5e'— 2e — cr -- cj'— B')
— 5(5n'— n) dt.a"^ F'ee' sin(5n'^ — int + 5e'— 2e - gt ro'— A')
— 3n' dt. a' M^^^Eee' sin[5n' t -- Q.nt -h 5e' — 2.z — m — xjs' ~-B)
— ^n'dt.aa' — r — Fee'sin(5n'/ — int -\- 5e'— 2e — ro — m'— A).
Le terme M^^^e^cos(3n'^ — n/ + 3e'— e — 2cy) résulte du développement de Af'^cos(3(^'— 3(^) dans l'expression de R; il faut donc faire varier, dans ce terme, a de ^r, a' de Ir' , et 3/i'i — 3/i^ de 'Mv'— "Mv, ce qui donne les suivants
— ZUWe^[àv'-èv)sm[Zn't-~nt-\-Zz'-z~iTs) -+- a—- — e2 — cos(3/i'f — w/ -h- 3e'— e — 2Gy)
H-«' -T-T- «^ — rCOsfSw'/- n^+ Se'— e — 2Gj):
la partie de a'd'R relative à ce terme sera donc
|(5n'— »)</^a'M(2)E'e2sin(5n'^— 2n< + 5e'— 2e-2nî B')
dM(2)
— {{Sn'— n) dt.a"^ -^^ F'e^ sin(5n' t — int + 5e'— 2e — 2cj - A')
— In'dt.a' M(2) Ee^ sin(5/i' t — int + 5e'— 2e — 2cj — B)
— fn'dt.aa' — — Fe^s'm{5n' t — int + 5e'— 2e — 2gt — A).
Enfin , le terme M^^^y'* cos(3/ï'/ — nt-h 3e'— s — 2n) résulte du terme multiplié par y"cos(3p'— (;) dans l'expression de R; il faut donc y faire varier a de %r, a' de Ir'y ?>n't Ae 3V, et nt de Iv, ce qui donne les
suivants
- M(3)y2(3at;'- ^v] sin{3n'; - n/ + 3e'- e - 2n)
-+- a-^ — y^ — cos(3n i — «f + 3e — e — aU) + a ~d«^ ^ «^ cos(3/i'f — n< + 3e — e -ail],
d'où résultent, dans a'd'R, les termes suivants
i[5n' — II) dt .a' M(^^E' y^ sm{5n' t — 2nt -h 5e' - 'îe — 2JI — B' )
-|(5n'-«) J^a'2l^^F'y2sin(5/i'f-2nf + 5£'-2e-2n~ A')
— fn'rf^a'M(3)Ey2sin(5w'<~2n/ + 5e'— 25 — 2n — B)
— ^n'dt.aa' --r — Yy'^s\n[5n t — int + 5e'— ?.£ — 211 — A).
Les inégalités les plus sensibles dépendantes des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, et qui n'ont point ^n'— in pour diviseur, ou qui ne dépendent point des variations des éléments, relatives à l'angle 57i7 — int, se rapportent à l'angle Zrit~nt.
Soit Gcos(3/i7 — nt-{- 3s'— s + C) la partie de — qui dépend de cet
angle; soit Hsin(3n'f — /i/ + 3s'— e + D) la partie de }iv qui dépend du même angle. Soient pareillement G'cos(3/i'-? — w^H- 3s'— s -h C)
et H'sin(3/i'i — n?-i- 3s'— s-(-D') les parties de -— et de tv' relatives
au même angle. L'expression de R, développée par rapport aux puissances simples des excentricités, renferme les deux termes suivants
Nfo)e cos(/if — in! t -\- z — 1S,' -\- Ts) -+-N(0,?'cos(n/ — 2n'/ + e — 2e'+5j').
Le premier de ces termes résulte du développement de A<^^ cos(2Ç''— iv) dans l'expression de R; il faut donc augmenter, dans ce développement, a de Sr, a' de Sr', et in't — int de i%v'— i^v^ ce qui donne les termes suivants
'iW^^e[àv'—àv) sin(n^— 2n'/+ e — ae'-f-cj) dN(») ôr
da a
e — cosint — in! t -^ z — 2 e'+ cj)
-4- a — T— ,- e —r cos n< — in t -\- e — 2e +Tij): oa! a ^
SECONDE PARTIE. - LIVRE VL d'où résultent, dans R, les termes suivants
W^^ïl'ecos{5n' t — int -h 5e'~ le — ro-hD') — N(»^He cos[5n' t — int ]- 5e'— 2e — cj + D)
+ ^a — r — Ge coslSn' t — an; + 5g'— 2e — gj + C)
Pour avoir la partie correspondante de d'R, il faut, dans les termes multipliés par H' et G', faire varier l'angle 5n't— nt, et, dans les termes multipliés par H et G, ne faire varier que inlt, ce qui donne
rt'd'R— — (5«'— n) dt.d NO) H'esin(5n'/ — 2/i; + 5e'— 2e — ct + D')
— |(5/i'— n] dt.a"^ , G'esin(5/i'; — int h- 5e'— 2e — cj -4- C)
+ in'dt.a' N(o) Hesin(5/i'; — 2nf + 5e'— 2e — gt + D)
dN^o)
— n'dt.aa' — r — Gesin(5n'/ — 2/1; + 5 e' — 2 e — m + C).
oa ^ '
Le terme W^^ e' Q,os{nt — ^n't -\- t — i^ -r rs') résulte du développement de A<*^cos((''— v) dans R; il faut donc faire varier, dans ce terme, a de Sr, a! de tr' , et lït — nt de ^v' — ^v, ce qui donne les suivants
N(Oe' (ô(;'— ô(;) sm[nt — in' t -^ z — iz'^ rs')
()N(0 ,ôr , , , ,,
e — ces «; — in t -\- z — 2eH-cy)
ôa a
,^N(') ,ôr' , , , ,,
a — c-r- e -7- CCS W/ — 2/1 / + Ê — 2e +CJ
da! a! ^ '
La partie de a' d'R relative à ces termes sera donc
— {(5n'— n] dt.a! NO) H'e' sin(5«' / — ml -\- 5e'— 2e — gj'+ D')
dN(<)
— |{5n'— n) c?/.a'2 -— -— G'e' sin(5w'/ — anf -i- 5e'— 2e — cj'h- C
+ n'dt.a'W^'^ Be' sin(5n'/ — int + 5e'— 2e — cr' h- D)
dNO
— n'dt.aa' - T — Ge'sin(5n'< — int h- 5e'— 2e — 5j'-i- C].
Les valeurs de M^"', M^^^ M^-^ M^^^ sont déterminées par les formules du n** 4, en y changeant ce qui est relatif à m dans ce qui est relatif à m' , et réciproquement. Les valeurs de N^"^ et N^^^ seront déterminées par les équations
a'N(o) = - ima'XW - ^maa' ^^^,
da
a'N(» ) = ma'A(0 ima'2 ^-- .
^ da
En réunissant toutes ces expressions partielles de a'd'R, on aura un terme de cette forme
mn'l dt sin [5 n' t — int + 5e' — iz — 0). Le terme 'da'ffn'dtd'R de l'expression de Sp' donnera ainsi
— 7^^-, r^ sin{5n t — int -\-5e — ae — O .
[on — 2/1)2 ^ '
C'est le terme le plus sensible de la grande inégalité de Saturne dépendant du carré de la force perturbatrice.
Si l'expression de R, divisée par la masse perturbatrice, était la même pour Jupiter et pour Saturne, on aurait, par le n° 65 du Livre II, l'inégalité correspondante de Jupiter, en multipliant la précédente par
— ^ ; mais la valeur de A^'^ n'est pas la même pour les deux plam\Ja
nètes, et par conséquent les termes
M(">e'2 cos{3n'^ — /i/H-3e'— e — 2to') et N(<)e'cos(n/ — an'/H-e — 2£'h-gj' ),
divisés par les masses perturbatrices, sont différents pour chacune d'elles. Mais il résulte du n" 65 du Livre II qu'en n'ayant égard qu'aux termes qui ont (5/i' — inY pour diviseur, on a, dans ce cas,
m/dR, -+-m'/d'R = o,
R, étant ce que devient R relativement à Jupiter, et la caractéristique différentielle d se rapportant aux coordonnées de Jupiter; d'où il suit
que l'inégalité de Jupiter qui correspond à la précédente est
rs
5n' — -in]^
Isinf5n'^ — 2nf + 5e'— 2£ - 0]-
17. Dans les inégalités de Jupiter et de Saturne, dans lesquelles le coefficient de t n'est pas 5n'— in et ne diffère pas de cette quantité du coefficient n pour Jupiter ou du coefficient ri pour Saturne, il faut augmenter nt et rit de leurs grandes inégalités dépendantes de ^rit— int. En effet, on a vu que ces grandes inégalités doivent être ajoutées aux moyens mouvements dans les formules du mouvement elliptique; elles doivent donc être ajoutées aux mêmes quantités dans le développement de R. Soit H cos(^'/^7 ~ int H- A) un terme quelconque de ce développement, et \u%v(\{i'rit — int -\'W) l'inégalité correspondante de Jupiter. En augmentant nt et rit de leurs grandes inégalités dans le terme H cos(«'/i'^ — m/4- A), il en résultera un terme de la forme yHcos[t'/i'/ — int± {^n't — int) H- A H- E]. Maintenant, la suite des opérations qui lient H à L donne aux parties de H les diviseurs {i'ri— in)^, i'ri — in, i'ri—in±:n. La même suite d'opérations donnera à l'inégalité correspondante aux parties de qB.Q,o&[i'rit-int±[Srit— 2/i^)h-A--i-E] les diviseurs [i'ri — in ± (Sri — 2/i)]^, i'ri — in ± {Sri— m), i'ri — in±{Sri — m) ±: n. Si i'ri — in ou i'ri — in±n ne sont pas très-petits de Tordre Sri— m, on peut négliger Sri— in dans ces derniers diviseurs, et alors l'inégalité correspondante à
sera
qVLQOs[i'ri t — int±i [Sri t — int) + A H-E] ^Lsin[/'w'f — int± [Sri t — int) + B -t- E];
ce qui revient à augmenter, dans Lûïi(i'rit — int-\- B), nt et rit des grandes inégalités.
Il faut pareillement augmenter, dans les termes dépendants des simples excentricités, les quantités e, e', ct, ct' de leurs variations dépendantes de l'angle Srit — inf, mais on s'assurera facilement qu'il n'en résulte que des inégalités insensibles.
18. Les coefficients des inégalités des planètes varient à raison des variations séculaires des éléments des orbites. On peut y avoir égard de la manière suivante : on mettra d'abord l'inégalité relative à un angle quelconque i'rit — int sous cette forme
Psin [i' ri t — int -\~ i'e'— ie) -h P' cos{i' n' t — int -\- /'e'— ie).
On déterminera les valeurs de P et de P' pour l'époque de 1750; en
faisant ensuite
tangA=p^, L = v/P^-i-P'2,
le signe de sinA étant le même que celui de P', et son cosinus étant du même signe que P, l'inégalité dont il s'agit sera
Lsin(/'n'? — int + /'e'— ie + A).
On déterminera les valeurs de P et de P' pour 1950, en ayant égard aux variations séculaires des éléments des orbites, et l'on aura ainsi pour cette inégalité, en 1960,
(L H- âL) sin[i'n' t — int h- i'e'— it M- A -!- ôA);
en exprimant donc par t le nombre des années juliennes écoulées depuis 1760, l'inégalité précédente, relative au temps t, prendra cette forme
L +• ) sm (i n' t ~ int -i- 1 e - te + A -t •
Sous cette forme, elle pourra s'étendre plusieurs siècles avant et après 1750; mais ce calcul ne doit avoir lieu que pour les inégalités un peu considérables.
Relativement aux deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, il sera utile de porter l'approximation jusqu'au carré du temps, dans la partie qui a pour diviseur {Sn'— iny. Cette partie de l'expression de tv est, par le n" 8,
i «P + T^~r \-T^ — r£-T-—ri-,Ti sin 5 n / 2 w/ J - 5 £ — 2 £
f — aP — —~, r~- - j^—, — . - ces 5n7 -2n/^-5£' 2£
\ L [on - 2n] clt (5n -2n)^dt^j ^
