MC'J

OEuvres de I..— \\\.

De là on a conclu, pour 1760,

On a déterminé ces valeurs pour 225o et pour 2750. Pour cela, il a été nécessaire de déterminer les valeurs de e"", e", cr'"', Z5% y et n en séries ordonnées par rapport aux puissances du temps, en portant la précision jusqu'au carré du temps. On a d'abord calculé, par les formules du n° 13, les variations séculaires de ^e'", ^e"", §cj'' et Irjs" dépendantes du carré de la force perturbatrice, et l'on a trouvé pour ces variations

èe'" = t. o", 161 352, dus'"— t. 1% 089825, èe" = — t. o",3i']i']i, èrs" = f. 10", 008401.

Les coefficients de t, dans ces expressions, sont les parties de -r-» -^7-' -jr-y -rr dépendantes du carré de la force perturbatrice; il faut

les ajouter aux valeurs des mêmes quantités déterminées dans le n^ 25, ce qui donne, pour ces valeurs entières en 1750,

dt

dt

de" 'df

On a déterminé, par le même procédé, ces valeurs pour iqSo, et l'on

a trouvé, pour cette époque,

dt

dm" dt

de^'

De là on a conclu, par le n" 8, les expressions suivantes de e'% cj", e\ X3\ pour un temps quelconque /,

giv — -giv | ; i",oi6936 — ^2, 0^,0000255775, nî'v==;cj"'-r- ;. 21", 459284 + ^2.o", 0007 7446^5, e" ~é^ —t. I ", 984469 — i^.o", 00004267 75, cj^ = Gî' +t. 59", 739087 + ^2 . o", ooo5346525 ,

les valeurs de e", cj'% e\ cr" dans les seconds membres de ces équations étant celles de 1750.

On a déterminé les valeurs de y et de n au moyen des équations

9^ sin0^ — 9'^ sin0'^ = y sinll, 9^ CCS B" — 9"' ces 9^^ = y cosll .

Ensuite on a déterminé les valeurs de -,-- et de -j- au moyen des différentielles de ces équations, en y substituant, pour — rr-' -^» -nr-» dÔ"

-,-5 leurs valeurs données dans le n° 25. On a trouvé de cette madt

nière, pour lySo,

Tj = — o", 000826. -j— = — 80", 537447 >

Les formules du n** 14 donnent, pour les variations séculaires de y et de n dépendantes du carré de la force perturbatrice,

èy — ^o",ooo568, ôn= ~ /.o",o23552.

En ajoutant les coefficients de t dans ces équations aux valeurs précédentes de -— et de -rr •> on aura, pour les valeurs complètes de ces quantités en 1750,

-^ = o", 000242 , -^y = - 80", 5G0999 . On a trouvé par le même procédé, pour igSo,

^^==-o",oo4589, ^5 = -8.",487827.

De là on a conclu, par le n^ 8, pour un temps quelconque t,

y z=.y -\-t. o", 000242 — f2,o",ooooi20775j

les valeurs de y et de n, dans les seconds membres de ces équations, étant celles de lySo. Cela posé, on a trouvé, pour 2260,

a^V = — 0,000080189, rt^P'= — o, 0010065 10,

et pour 2750,

fl'^P = — o , 000260997 ,

tt' P' = — o , 000954603 ,

d'où l'on a conclu, par le n° 8,

«' -^- = — 0,000000887666, dÇ'

La partie de '^v'"' donnée dans le n° 18,

2rt'VP 3«'V2P'

l sin {5 n" t — 2 n^" t -h 5 z"

Ffl'^F-

[Sn" - in'')dt (5,iV 5,„ivn%/^2

/ ,,r/P' 2rt'V2P \ 1 , . r , aa'V/F 3a'V2P ~I

COS (5 /?" f — 2 «'" i 4- 5 s" — 2 £ "

devient ainsi, en la réduisant en nombres,

(3900", 616270 — t . o", 025982 — f 2. o", oooo594o3) sin (5 n' / -— -î n' ^ ? + 5 £^ — 2 e"*) -[-( 368",9io343 — ^.i",46i994 + ^^.o",ooo242476)cos(5/i^; — 2n'^^ + 5£^' — 2e''')

La grande inégalité de Jupiter se compose de plusieurs autres parties : elle renferme encore, par le n° 8, la fonction

dP

a'^^-r — cos(5n''^ — 2^';+ 5e" — 2£'*

sin i 5 n^'t — in'" t-i- Se" — le'

Pour la réduire en nombres, il faut calculer les valeurs de a7' , .„ >

da'

a -— — ? — On a trouve

134 MÉGANIQUE CÉLESTE.

On a conclu de ces valeurs celles de a" ^ ? à" ~^t-' " ' ^ï^i sont nécessaires dans la théorie de Saturne, au moyen de l'équation générale

On a trouvé ensuite, pour 1760,

5tV — in^^

I ^ àV . ,^ ^ , \

= — 53",i755oi .sin [5rVt — in^U + 5e'' — se'^) + 1 6", 543260. CCS { 5 n^^— 2/i'V+5e^ — ae'^),

et pour igSo, on a trouvé cette fonction égale à

— 5i",965436.sin(5n^/ — in^U-^Se" — iz'") -t» i9'',9o6909.cos(5n''< — om'"/ h- 5e'' — "^e''),

d'où l'on a conclu la valeur de cette fonction, pour un temps quelconque t, égale à

— (53", 175501 — ;.o",oo6o5o3)sin(5n''/ — ^n'^Z + Se* — •2e"') 4- ( 16", 543260 + /.o",oi68i82)cos(5n''/ — in'U + 5e^ — -xz'").

La grande inégalité de Jupiter renferme encore, par le n° 8, le terme

sin(5n*/ — 2n'V + 5e^ — 2^" — w'' + A);

ce terme, en 1750, était égal à

2",53i758.sin(5n''/- an''/ + 5e' — 2e"^) — 5", 672724. cos(5n''/ — 2n"/ + 5e' — 26'"),

et en 1960 il sera égal à

— 5",68i97o.cos(5w^/— 2/i'V + 5e^ — le'"),

d'où l'on a conclu, pour un temps quelconque t, ce terme égal à

(2", 531758— ;.o'',ooi83io) s\n{5n^l — -m'^t + 5$^ — ae'") — (5", 672724 + /. o", 0000460) ces ( 5 w^'f — "m'U + 5e^ —2e''').

Pour déterminer la partie de la grande inégalité de Jupiter dépendante des produits de cinq dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites, on a déterminé, par le n° 9, les valeurs de W^\ N'*\ . .. pour les deux époques de 1760 et de igSo, et l'on a trouvé (*) :

En 1750.

^v^(O) ^3: o, 00000 i35o44, a^NCO = — 0,00000789719, ^v^(2) 3- 0,0000198552, ^v^(3) — - — 0,0000175127, a'«^N<*)= 0,0000066540,

^v JJ(5) ;::^ — o , OOOOOO9277 ,

a^NC = — o,oooooo36i8, ^v^{7) — o, 0000003643,

^»]Vf(9) :^ — o , 0000000730 ;

En 1950.

avJJ(O) -— — 0,00000129983,

^vjif(4) - o,ooooo6655i ,

^v]>J(5) — - — 0,0000009408, flv]^(6) - — Q ^ 0000003562 ,

rt^N(*^ = — 0,0000000732.

De là on a conclu l'inégalité correspondante relative à Saturne, que nous

donnerons ci-après, et, en la multipliant par le facteur

(*) Ces valeurà de «^N«», «"N'*), ... sont celles qui figurent dans l'édition originale. Dans la deuxième édition, les valeurs de à'W^'i et de a^'iiW sont différentes; on y lit, pour 1750,

a^K*'' -- — 0,0000002616, a^N^*' = o,oooooo6855,

et, pour igSo,

«'N(') — — 0,0000002275, rt^N^*' =- 0,0000066675.

roir, au sujet des erreurs dont ces quantités sont affectées, la note de la page 28.

on a obtenu l'inégalité suivante de Jupiter (*),

(38",69257i — i.o",oo54i8) sm{5nU — 'în'"' t -+- 5t' — ^e") — (25", 064701 + ^.o",oi5o76)cos{5n'''f — 2/1'^? + 5e'' — ^e'"').

Enfin jon a déterminé, par le n^ 16, la partie sensible de la grande inégalité de Saturne dépendante du carré de la force perturbatrice, et

l'on en a conclu celle de Jupiter, en la multipliant par — ^ ^!i , ce qui donne pour cette dernière inégalité

( 5",o66862-^o", 01 44693) sin(5n^;--2«'U-i-5e^-ae'^) — (56",98i339 +<. 0^,0046755) cos(5n^/ — 271'^/ H- Se" — ae'^).

Maintenant, si l'on rassemble ces diverses parties de la grande inégalité de Jupiter, on aura, pour sa valeur entière,

(3893", 73 1960 — f.o",o4i65o — /2.o".oooo594o3) sin(5n''; — art''';+5e'— ae'^) -( 297", 734839 — ?.i ",4^4973 + ^^.o",ooo24248) cos(5n^/ — '2«'^^-i-5e^— -2 6'')

En réduisant ces deux termes en un seul par la méthode du n" 17, on

aura

(i-Hfx^)(39o5, 098090-^0, u4476 + /^o,ooo.,3,75)sm(^ - /.239",669 + /^o",o3883o )'

Cette inégalité peut avoir besoin de correction, soit à raison du coefficient |j/ ou de la masse de Saturne, soit à raison du diviseur {5 ri' — 2/i"')'; une suite nombreuse d'observations lèvera ces légères incertitudes. Il faut, comme on l'a vu dans le n° 17, appliquer cette grande inégalité au moyen mouvement de Jupiter.

Le carré de la force perturbatrice produit encore, par le n° 12, l'inégalité

^ ^ ^ = — sin (double argument de la grande megalile),

ce qui donne

— 40", 860794. sin (double argument de la grande inégalité).

(*) Foir à la fin du volume, n° 5 du Supplément, la correction indiquée par l'Auteur. — Foir aussi la note de la page précédente.

Il faut encore appliquer au moyen mouvement de Jupiter cette inégalité à longue période.

L'inégalité

7 ^ ^ ^ î — '- HKsin(5«'^^ — ion^^4-5e'^^ loe^ — B — A),

4 mV«^

trouvée dans le n'' 13, donne, en la réduisant en nombres,

— 1-2", 4'î207i . sin (5n"'^ — ion" t + 5e" — loe'' -!- 57°, 07-25).

On a encore, par le n° 8, l'inégalité

je"'Ksin(5/i^<^4n'^'<H-5Ê^' — 4e'^ + gî'^ +B).

Cette inégalité, réduite en nombres, donne

3i", 125493. sin (4^"^ — ^n^t -i- 4s"' — 5e' + 50", 40-25 ) ;

en la réunissant aux deux inégalités

3",387695.sin(5n'/ -4n'V4-5e' — 4e'^ — Gj'"), — 8",585382.sin(5«^r- ^n'' t-^5e — 4e'^ -ro'),

que nous avons trouvées précédemment, on aura l'inégalité

(i H- fA^) . 35", 51293-2 .sin (4n'^f — 5/î// + 4e'' - 5e' + 64°,4555) .

On a vu, dans le n° 5, que l'expression de dlç'^ renferme une inégalité séculaire dépendante de l'équation (*)

nr ~ ~8

8 ^ V ^^û'" da'^' ôa'^' 1

(*) D'après l'errata placé à la fin du tome V de l'édition du Gouvernement, cette inégalité doit être affectée du signe — . La correction est donnée comme ayant été indiquée par l'Auteur.

Œuvres de L. — \\\. l8

d'où l'on a conclu

^- = 73",9oi6.e^^' - 85", 7873.6^' + iSî^^gSg.e'V^' ces (tn^ - gî'^).

On peut, dans le second membre de cette équation, négliger la partie constante, qui se confond avec le moyen mouvement de Jupiter, et alors on a

+ i3a",4989.n [e'^-^j -He'--^-- 1cos(7ï5^— ro'^)— e'V^ -.^ sm(ïn^"— ro"')

En substituant, pour --v-' -jj-^ "17"' "If ^^^^^ valeurs données par ce qui précède, et intégrant, on a

àv ^' = — t- .0, 0000020066 .

Cette inégalité est insensible dans l'intervalle de mille ou douze cents - ans, et même par rapport aux observations les plus anciennes qui nous soient parvenues; on peut donc la négliger.

Il nous reste à considérer le rayon vecteur de Jupiter. On a vu, dans le n° 8, que les termes dépendants du cube des excentricités ajoutent à son expression la quantité

— a'''e'^'Hcos(5n^f — in'" t -^- Si" — 22'^ - cj'^ -h A)

+ «^'e"'H.cos(4n'^r-5«^f + \v" — ^a" — xs'" - k)

irrVn'"a'"^ ( P sin(5;i^^ — ^n"'/ + 5e'' — -xz'"] ) 5/1" — -,ft'^ ( -+-P'cos(5«^^ — 2/i'^'f + 5e'— 2e'^) )

En réduisant cette fonction en nombres, on trouve

( — 0,0003042733. ces (5 n' t- -xn'" t-\-5s." — o.e''^ — i3°, 4966) \

ôr"' = { I + /jt'

4-o,oooiooi86o.cos(4W'^ — 5n^f -i- 4 £'" — '>£'' -h5o'',3io8)

La dernière de ces inégalités, réunie à celies-ci,

( o, 0000^68383. cosf 5 n"*'/ — in'"" t + Se" ' I — o,oooo5i6o48.cos(5n''/ — 4^"'^ + ^e''

riv ,-tIV

donne la suivante,

(5r'^=:(i+a^). 0,0000983161. cos(4«''^ - 5n^/-f-4e" - 5e' — i5°,9874).

Le demi-grand axe a^^ dont on doit faire usage pour calculer la partie

elliptique du rayon vecteur doit, par le n" 20, être augmenté de la

quantité ia^'m""; en la réunissant à la valeur de a'" du n" 21, on

trouve

Inégalités du mouvement de Jupiter en latitude.

34. Il résulte du n" 14 que les termes dépendants du carré de la force perturbatrice ajoutent à la valeur de — î- la quantité

de

==: r ^ cos(n - 9-) - y — sin (H - 9'M 1 , a" Li ' ' t ' J

et à la valeur de -3— la quantité

— m" d'à' Vày . ,„ ^ , ôII ,„ ^ ,1

^ — -- - -/sin(II--ô'^)H-y--cos(II-0") ,

(m"' \Ja'

Sy et (^n étant déterminés par le numéro cité. La première de ces fonctions, réduite en nombres, est égale à

elle doit être ajoutée aux valeurs de ~J— et -jj- du n° 15. La seconde fonction, réduite en nombres, est égale à

o",oo25o4;

elle doit être ajoutée aux valeurs de -^ et -~- du n" 25; on aura ainsi

On trouve ensuite, par les formules du n° 51 du Livre II,

i",742i54.sin(n^/ + e^— 11'^) \

+ o/',o49i56.sin(2nW — n'Unit' — e" - II"') j

os"' = {1 -h ^j." : { + 3",456ii7.siii(3n^/ — 2/1'^'^+ 3s" — 2£"'-Il'^) f,

-o",86229i.sin(4»''^ - 3n'^/ + 4e* — 3e'^— 11'^] l

- o", 83x3647- sin( 2/1'^^— n" t +2e'"— e' —II"') /

W\ dans cette formule, étant la longitude du nœud ascendant de l'orbite de Saturne sur celle de Jupiter. Enfin on a, par le n° 11, l'inégalité

ès"'=z \i", i6568o.sin(3/i'^^ — 5/^^+ 3£'^ — 5g" -^-GGp, 1219).