im

3 — im

e^ cos('?.Cf -\- nv — nmv — irs]

y2 cos['i.gv — iv -\- imv — 9.0) y2 cos[igv + 2f — imv — iB)

3(a4-m) „ , , , fl

— ^ — g '■ ey^ cos[iv — "i-mv — .igv -\- cv-\-id —

, qm'u'* , ,\ 1 1» • j I <^Q s dQ

Le terme |^^^ cos(c' - <; ) de 1 expression de - ^ ^ - ^^ -^

donne les suivants

^ — (i + ae^ H- 2 6 2 cosiv — mv] oa, ^ ' a ^

Qm2 a , , , ,.

•^v — — e cos [v — mv --{- c mv — gj )

~Jz r e'cos f — mv — c me 4- cï .

Sa, a ^

-7 étant, par le numéro précédent, de l'ordre m^, les deux premiers de

ces termes deviennent de l'ordre m' par les intégrations. L'inégalité dépendante de l'angle v — mv étant très-propre à faire connaître la

parallaxe du Soleil, donnée par le rapport — » il importe de la déterminer avec un soin particulier : je porterai, par cette raison, dans le calcul de cette inégalité, l'approximation jusqu'aux termes de l'ordre nr' inclusivement.

Développons maintenant le terme -p ,^ ^ ,- de la seconde des

équations (L) du n° 1. Ce terme contient d'abord le suivant

3/n'a'3 du . , ,\ r\ 3m'u'^ . , ,. j-—-- -7- sin{2(^ — ^ç' ). On aura 7—-:- ^vaiiv ~ iv), en aug-

mentant iv d'un angle droit dans le développement précédent de

—f^TT cos(2ç^ — 2(^'). Il faut ensuite multiplier ce développement

du par —-.- ou par

— ce(n-{e2 jy2) sin(cf — cj) -+- ^ce^ sin('2C(^ — anj)

— |ce3 sin(3ct' — 3nj) -f- ^gry^ sin ( 2gv — -2 0)

— ^ey2 sin(9.gv— cv -- iQ -\-ts).

On aura ainsi

3m'u'^du . , ,

.„ . -^~ sin [iv—i v'

Les termes

ce[ i-\ ~ — e2

|e'2 j cos(3c — amf — cc + ct)

— ce cos { 2 ç» — 1 mv + ce — cr)

+ |cee' cos (2^ — 2 me — cf — c'mf + cj -h 5t'

— ^cee' cos[iv — imv + cv — c'mv — cj + ro'

— ^cee'cos{'iV — ■amf — ce H- c'mv + cj — cj' H- ^cee'cos(2f — "imu -h eu -+- c'mv — ro — uj'

— ac(n- m) e^ cos (-2 et' — o-v -h o-mv — irn) H- 2c(i — /n) e2 cos(?cc -]~ o-v — imv — iw) -\- /{mce^cos{nv ~ imv)

■y^cosligv — nv -^- imv — n9)

y^cos{igv -h IV — imv — 16)

l — ey2cos(2P — imv — -2 gc H- ce + 20 — 57]

[3sin(c— v') -v i5sin(3(^ — ^^l] ;j

de l'expression de -—- ,^ ^ , ne produisent aucune inégalité de troisième ordre dans les intégrales.

Développons enfin le terme a^ / 71 -i* Ce terme contient le suivant — -r~ j — ^— sin(2(^ — 2v'). Le développement précédent de

,3 .^ cos(2t> — 2v ) donne celui de -- -ry- 7- sm^aç» — 2^» ), en y

augmentant 2^» d'un angle droit, et en multipliant par — ou par

— e(i — {e2 — ^y2) cos(c(' — cj) "i-ai 4- Ae^ cos(2C(^ — 2ct)

H- jy2 cos(2g'f — 2 0)

— jey2 cos(2g-c— cv — -iB -\-m]

On aura ainsi

cos(2C — nmv)

(1 + 1^2— {y2__ 5g' ajecos (2 f — 2 mt/ — cf + ht) ecos(2f — 1 mv -+■ cv — Ts)

iH-ae^ — |e'2 2 — 2m

2(n-m) 2 — im — c

7 — ^^ — 7i — T cos ( 2 f — imv — c'mv -{-Ts'] (2 — 3m) ^ '

cos ( 2 c — 2 me H- c'mc — xs' )

cos ( 2 c — 2 me — cf — c'mv + gt + cr'

7(2 + 3m)ee' 2(2 — 3 m — c)

7(2 — 3m)ee' , , ,^

-^7 ^ ^ r COS 2 f — 2 mf + Cf — C mi' — GT + CT

(2 H- m) ee' 2(2 — m ^ c]

(1 — m] ee'

lii — m-i- c

cos [iv — 2 mv — cv -\- c'mv H- nj — cr') COS ( 2 f — 2 mf 4- cf H- c'mt/ — cj — tib')

io + iQm + 8m2 „ ,

-r, r ^ cos 2Cf — iv -\- imv — 201

10 — iqm-i-8m2

e^ cos ( 2 ce -f- 2 c — 2 me — 2 gt ) T y2 cos(2g-t' — 2f H- 2 me — 2 0) y2 cos(2gv -t- 2f — 2mf — 20)

—7 — ^ — > — r cos(2f — imv — nc'mv -+- 2gj')

4(2 — im — ig-hc]

ey^ cos(2f -2mf — 2gv4-ccH-2 0 — cj)

Dans cette formule, les termes dépendants des angles 2cv—2v-^2mv 2ct et 2gv — 2v -{- 2mv — 2^ ont des diviseurs de l'ordre /w, et ils acquièrent

Œuvres de L. — UI. 27

de nouveau ces diviseurs par l'intégration dans l'expression de la longitude moyenne de la Lune, ce qui les réduit au second ordre, et ce qui semble devoir donner de grandes valeurs aux inégalités relatives à ces angles. Mais on doit observer que, par le n° 5, les termes qui ont pour diviseur le carré du coefficient de v dans ces angles se détruisent à très-peu près dans l'expression de la longitude moyenne, en sorte que les inégalités dont il s'agit deviennent du troisième ordre, et conformes au résultat des observations, comme on le verra dans la suite. On peut se dispenser, par cette raison, de considérer, dans le calcul de ces inégalités, les quantités multipliées par e", e^y^ et y^; car les quantités dm quatrième ordre qui en résultent après les intégrations se détruisent à très-peu près.

L'intégrale ^ 1 -j^ ~ contient encore le terme

m' ru'^dv . ,

ce terme donne les suivants

__^ li __ cos (^ — mv)

-+- e ces [v — mi' -^- c mv — m' )

H cos (V — mv ~ c mf + Gj

les autres termes de la même intégrale peuvent être ici négligés. Cela posé, si l'on observe que l'expression de m du n^ 4- donne

-j-^"+"^'^=~ -1- I— c2)ecos ce — cj >>

I Aq-2 I i

f H- -^^ — -y^cos(-ig-v— 10] \ le terme (^^ '^ ") /^ / ^ i^ ^'^ '^ seconde des équations (L) du

n** 1 donnera, par son développement,

1 — im

cos\iv — imv]

m) 1 — im — c

ie^-le'^)]

ecos 2t^ — "îinv — eu -\-m]

e cos [iv — imv -\' cv — ts)

ces [iv — 2 mv — d mv + gj' ) cos ( 2 (^ — 2 me H- c'mc — ny' )

eé cos (2 c' — 2 m(^ — tv — d mv + cr + 5j' )

ee cos 2 f — 2 me + et' — c m(^ — nr + sî

2(2 — m — Cj

ee'cos(2(^ — 2m^'^ ce + d mv h-cj — gj') ee'cos(2e — 2 me + ce + c'me — cj — ro') e2 cos (2 ce — 2 e -+- 2 me — ivs)

e- cos 2 ce + 2 e — 2 me — 2 gt

y 2 cos(2g'e — 2e + 2 me — i[

-^-^ r H- 7-; — — -nr y2 cos 2jO-e + 2 e — 2 me — 2 1

Li6(i — m) 4 O^g- 4- 2 — 2m)J ' ^ °

cos(2e — 2me — 2c me -h 257

3fi — m)

77 ^-^ 77 — '— r ey^cosfae — 2me — 2e'eH-ce+20-- xs\

4(2 — 2m — 2g-H-c) 4(^- — ^'^î + CJj

7 cos(e — me)

+ y —, e cos [V — mv + dmv —-m ] 4 a

7 e'cosfe — me — c'me -+- m'