— SI

sin 2 c — 1 mv — icv-\-

sin [1CV -{- sy — 'i.v +

-gV + 1TS — B) 1

imv — aGT — B)\

Les termes de la fonction ry-^ -4- -p qui dépendent de u'" produisent les suivants

7 y[sin(g-t' — V + mv ~ B) — sin(gvH- v — mv — B)'\.

Le produit (y4 ~^^]T2 / "T^ "1' ^^^ renferme la troisième des équations (L) du n" 1, se réduit à

I — g^ étant de l'ordre m^, nous ne conserverons dans ce produit que le terme dépendant de sin(2(^— ^mv — g{> ^^), et il résulte du

OEwres de L. — III. 3o

développement précédent de ^^ / ^ -^ que ce terme est égal à

La troisième des équations (L) du n° 1 se réduit ainsi à la forme suivante

r étant la somme des termes que nous venons de considérer. Mais, pour plus d'exactitude, il faut lui ajouter les termes dépendants du carré de la force perturbatrice, et qui peuvent avoir une influence sensible.

12. Le terme — .^ , donne, par sa variation, les deux suivants 3m'u'^ds Gm'u'^sàu

et il en résulte la fonction

+ 9^ ^ (B7' 4- B',«') e'2y sin(^f - Q)

H-3m2 — (A'a"'— ^AV'e2)ysin(2C— imv -^ gv + B) a,

— 3m2 — D'i^'e^ sin(2C — imv — gv -v^ cv + B — m]

— 3m2 — A,*'ey sinfat' — -2 me -\- gv — cv — Q -r js)

+ 3m2 — (B',*" - AV')eysin(gv+ cv — iv + imv — Q — js)

a, ' ' | + sin (af — 2mc — g-f — c'mc + 9 + cj' ) j

H — ; {5AV' — 'îAV'je^y sin(cs4'— imv -\- gv —- icv ~ B ~- ivs] .

Le terme "^,^ / cos(2t^ — 2^') donne, par sa variation, les suivants

^A^M* ^ ^ A2„5 V / f^ïy\ \

et il en résulte la fonction

. ^ ± (B'O' + 4 Ai»' + |BV»'e'2 iBf e'2) (i - |e'2) y sin(gv - 0] 3m2 a ( [{i + w)B',<"-AV']sin(g'f — cf-0 + Gj)

•ï «, ^^( -t-[(i-m)B';'- A<;']sin(g-t'4-c(;-0-cj)

!(B',»' + p',"' ) sin(g-c - c'mv - 0 + cj' ) 4- (BV"' - P'4«') sin(g-c -;- c'mf - 6 - cr') + B',*' sin ( 2 c — -2 me — g-f -!- c'/nf + 0 — gj' ) + B'/' sinf-îf — ïmt' — §v — c'/nc + 0 + cï' )

j 5a'/'-2A';"h-bv='' )

^ -e2y ! io+i9m + 8m%(o, sin('2C(^ - g'i- — -isr +

B'J"e2y sinfaf — imv —- icv -+- gv -\- "irs — 9).

Le terme — ^"l'J^! ^ sin(2(^ — 2('') donne, par sa variation,

3m' u'^ dès . , ,, 6m' u'^ ds . , ,.

ili^u^ dv ^ ' h-u^ dv ^ '

Sm'u'^ ds ^ , , ,.

+ ,, - j- Ôt' C0S(2C — 1V']

n^u* dv r '

De là résulte la fonction

3^ r(----^)B--f-|(.---3m-^)BV0'.'n .

3m2 « ( [(i + m)(2 — 2m- g^)B',"' -AV']sin(g-t^ — cf — 0 + Gj) "T' ô; ^^ j 4- [{ I - m ) (2 - 2m - g') B',"' H- AV] sin [gv + cf - 6 - - bj)

c'mv — 9 -\-Ts' 3m2

M ^' ^ sin fii-c'

TJS

f + (g-— w)B',*' sin(2(; — cim(^ — g-c-t- c'mt^ -h 9 — xs') • + (§■ + ^O ^'/' sin(2f — imv — gv — c' mv + 9 -\-xjs') /5AV'-2A';*) + (ci — csm — 2c + g-)BV=M

SlKl"^ Cl \ f

7 e^yl lo + iom + S/ns . }sin{'2Cv — gv — -2^-+-d)

3jn2 a

^ Bn "e-y sin(2(/ — amt^ — -îcv -h gv -+- 2nj — 9).

Enfin la fonction (^-j '^*) Âï / 7P ~â donne, par sa variation, les termes

— ysiniffv — 9]

H : r- e^ y sm a cc^ — gv — -2 ro + 9 1

Les termes dépendants du cube de la force perturbatrice sont insensibles.

13. En rassemblant tous ces termes, la troisième des équations (L) du n° 1 deviendra

^., ir(i::l^i:£li£±^B<o' + 4AH(i-|e'^) ,

'i -I(3-3m-è')BV»'e'2 + {(3-/n-^)B','"e'2 ( +|(B'/' + B',«')e'2

J(' + é^)(' + -e2-^-^y2-fe'2) j

H ^ -4Ai»' + ioA'/'e2-2B'»'

-h f m2 J^ ( — -^ + B'a' ' W sin (2 c ~ 2 m(/ + g-t; — 9)

+ f m2 - [Bij^' 2 + (i-/n)(3 — 2/n-^) B'^"' J ey sin [gv + cv — B — rs)

+ |m2-[B13'-2-:iA<" + (n-m)(3-'2m — g-)B','"]eysin(§v-cc-9 + ro)

+ |m2 — [(n-g-) (i— m) — îB',"' + B!j^']eysin(2(' — amt' — g-c^^- cv + 9 — cy) ^/

-4-fm2 — [(g- — i) (i + w) H-Bij^' — 2A'/']ey sin(2('— imv-\- gv — cv — B -^- jss)

H- |m2 — [( I + g-) ( iH- m) •+- B^®' + 2 A',* '— 2 B'<"'] ey sin (o. v— -2 mv — gv — cv + Q + w)

+ |m-'-[3 + 2B<" + i(3-2m-g-)B','"-(3-3m-g-)B';«']e'ysin(g-(' + 6''mc-0-cT') ^'

+ f m2 - [3 + 2B',8)|(3- am - g") B',»'- (3 - m - g-) B'^^'je'y sin(g-f-c'm('- 0 + cj') + f m2 -Ti^tf 4 2B'j9' -h 3B',''' — (i + g-- m) B',8'1 6'y sin(2(/ — 2mt; — ^c/ + c'm(/ + ô -ct')

+ fm2|[.BV«'-|(i + g)+3B<;'-(i + g^4-m)B7']e>sin("'-^,'^^^-^^^

/ •2Bi,*^'-5-ioAV' + 4AV*'-(3-'2m-2C+g-)B';2) \

a ' rS — 2/n — g- {i — im — gY^ — i'^ f „ . / ^\

m-«— < + -, ~ -\- —, ^^ r )e^ysin[icv~gi>—ixjs+B)

\ 4 i[ic-^im — n.) J I # V o I

X(io + r9m + 8m2)B<<*' )

fm2 a

fm^ — I 1 V &; ^ V e^y sin(af — 2mf — :icv + g-c + 2cj — 0)

ioA';'-4A'/"-'2B'o"

a [ io+i9^^ + 8ma ^ ^ p„ 3) I l 3ixi2; 1 ' > e2y sin(acf 4-g"(' — 2f H-amt' — 2CJ— ô)

"'( 4-ioA'/'-4A';''-5B',«')

+ 3ni2-{3 + 2B!,**') 4ysin(g'f-(/ + mc-0) t im2 ^ (I + ^BÎj'S') 4 y sin (g-f + c - mt; - 0) .

14. On doit faire, sur l'intégration de l'équation différentielle précédente, des remarques analogues à celles du n° 11. On considérera donc Y et 6 comme variables en vertu de la variation de l'excentricité de l'orbe terrestre; en substituant ensuite, pour s, la fonc-

lion Ysin(^(' — 6) -h S^, et comparant d'abord les sinus et cosinus de ^^ — G , on aura les équations

p"-\-q"e'^ désignant le coefficient de ^?,m[g(; ~ ^) dans l'équation différentielle (L") du numéro précédent, où l'on doit observer que B'"' et A'J" renferment déjà le facteur i — f e"*. La première de ces équations donne, en l'intégrant,

Hy2,

d6 dv

H étant une constante arbitraire. La seconde donne, en négligeant 1^5 ainsi que le carré de q"e"^,

de I j, ^q"e'^

dv^

sji + p"

et par conséquent, si l'on regarde p" et q" comme constants, ce que l'on peut faire ici sans erreur sensible, on aura

sj^ + p" \ étant une arbitraire, ce qui donne

d'où il suit que, conformément aux observations, les nœuds de l'orbite lunaire, sur l'écliptique vraie, ont un mouvement rétrograde égal

à {\/i+- p"—i)v-h -ââ=L Jé^dv. Ce mouvement n'est pas uniforme,

sji-^p"

à raison de la variabilité de e', et l'équation séculaire de la longitude

du nœud est à l'équation séculaire du périgée comme --—== est

sji + p La tangente y de l'inclinaison de l'orbite lunaire à l'écliptique vraie

est pareillement variable, puisqu'elle est égale à h(^ - ^j ;

mais il est aisé de voir que sa variation est insensible, et c'est la raison pour laquelle les observations les plus anciennes n'indiquent aucun changement dans cette inclinaison, quoique la position de l'écliptique ait varié sensiblement dans l'intervalle qui nous en sépare. On aura ensuite les équations suivantes

g--hc)2]B^2' + |m2ii[Bl,^'-2 + (i-/n){3-2m-g-)B',«'], a,

g-- c)2]Bij3' + 1 m2 - [B^3' - 2 -2 AV'H- (i + m) (3- 2m -j^) B',0'], -(2~2m-g-+c)2]Bi*'+fm2-[(i + ^)(i-m)-2B',»' + Bi*J],