AV
Aj *' = — 0,01 29890 ,
Ar'=- 0,74^373, AV''=- 0,041378, A'/" = — o, ii3i97, A';»>--= 1,08469, A','^'= 0,001601, B',"> = o,o28383i, B^' = — 0,00000236395, B12) ==-o,oo55o748, B'/' r= 0,0195530, B^*' = o,oo6366o8, B!j=' =--:- 0,00136676, B!j®' = — o,o'2ia7'20, B'," = 0,0782400, B',»' =-0, 0833684, B',»' =-0,0327678, B'/»'= 0,0720448, Bi,">= 0,491954, BV'^'^ 0,0061023,
gM3) __ 0,0920621,
Blj'^'i= -0,0125619, By'"= o,oo386625.
Au moyen de ces valeurs, j'ai rectifié la valeur de e, en faisant usage
de l'équation
Cre=-Ô9992",3.
L'expression de C|,"' trouvée dans le n° 15 donne
d'où j'ai conclu
ce qui diffère très-peu de la valeur déjà employée. J'ai trouvé ensuite
Cl," =: o, 75^886,
Co"' = — 0,336175,
Cl,*' = 0,722823,
Co^' = — o,25oo34,
Cjj"' = 0,0129865, Cij" = 0,00392546, Clj<"' = - 0,0387853, Aij*' = — 0,00571628, C'/"= 0,196755,
cv=^'= 0,127650, C';"=:- 1,081734,
Il faut, par le numéro précédent, employer dans le calcul de C'/" et de G'/^' les valeurs de A'/', A','" et A'/^', déterminées en n'ayant point égard aux carrés de l'excentricité et de l'inclinaison de l'orbite lunaire. J'ai trouvé ainsi les valeurs suivantes de A',", A'/", A'/" et B'/' dont on doit faire usage dans ce calcul,
AV =0,201816, AV" = o, 349187,
d'où l'on tire
OF.uvresde L. — III. 32
On a ensuite
C'/»'= o,2366i6, Cif°'= — 2,16938.
Gela posé, l'expression de nt -{- 1 du n*" 15 devient, en réduisant en secondes ses coefficients,
nt + t=v-h f w2/(«'- - E'2) rf(/
69992", 3o . sin ( cf — CT )
i44'2",66.sin(2w — ivs)
35",34.sin{3c('-3QT)
i255",9'2.sin(2g'f — -xQ)
2o4", 86 . sin ( a g'f — ce -
-20+Cj)
70", 86 . sin { -2 g-c + ce —
■iQ — xs)
5856", 1 1 . sin ( 2 (; — a mf )
i446i",28.sin(2c — 2m(^-
— CV -\-71s)
453",58.sin(2f — o-mv + cv — m)
42",02.sin(2c — -imv + c'mv — m')
4i5", i6.sin(2c — 2 me
— c'mv -\-Tss')
2io6",o9.sin(c'wc — xs')
74", 96 . sin ( 2 f — 2 me
— cv -\- c'mv + GT — nr
635", 26 . sin ( 2 c — 2 mv
— cv — c'mv -{-xs + m
219", 1 1 .sin(cc H- c'/nc
— w — xs')
362", 18. sin (ce — c'mv -
- GJ + Ct' )
521 ",91 .sin(2Cf — 2C + 2mf — 2ct)
i74">74-sin(2g'e — IV -\- o.mv — iB]
3i",25.sin(2c'/nc — 2nj')
376",586.(n-/).sin(</
— mv)
— 58",o53.(n- i).sin(e — mv -\- c'mv — m').
Les deux derniers termes ont été déterminés en supposant — = —,
Cette fraction dépend des parallaxes du Soleil et de la Lune; elle diffère très-peu de -7 — ; mais, pour plus de généralité, nous l'affectons
du coefficient indéterminé i + i, et en comparant le terme dépendant de ûïi(v — mv) au résultat des observations, nous en conclurons dans la suite la parallaxe solaire.
Il est facile de voir, par ce qui précède, que les perturbations de l'orbe terrestre par la Lune introduisent dans A','^' la quantité o,25o44«[^» et par conséquent dans C','^' la quantité —o,^l\\Zç^.\}.\ d'où résulte, dans l'expression de la longitude vraie de la Lune, l'inégalité
o,54i39.{j!. — sm[v — mv). L'action directe de la Lune sur la Terre produit, dans le mouvement de cette planète, l'inégalité — [xsin((' — mv);
cette action est donc réfléchie à la Lune par le moyen du Soleil, mais
affaiblie dans le rapport de o,54i39 à l'unité (*).
L'expression précédente de nt -h e renferme les quantités c et g^ et
ces quantités dépendent de l'action du Soleil. Nous avons donné leurs
valeurs analytiques dans les n''* 10 et 14. En les réduisant en nombres,
on trouve
g-= i,oo4oio5.
Le mouvement {i — c)v du périgée lunaire est donc, par la théorie précédente, égal à o,oo8433.ç'. Ce mouvement, par les observations, est égal à o, 008452. ç', ce qui ne diff'ère du précédent que de sa quatre cent quarante-cinquième partie.
Le mouvement du périgée est assujetti à une équation séculaire dont nous avons donné l'expression analytique dans le n° 10. En la réduisant en nombres, elle devient
Elle a un signe contraire à l'équation séculaire du mouvement moyen, et elle est à fort peu près trois fois plus grande.
(*) On a réimprimé cet alinéa conformément à l'édition originale. Dans la deuxième édition, les nombres o,25o44 et 0,54189 ont été remplacés respectivement par 0,226384 et 0,452768, en conséquence du changement qu'on a fait subir dans la même édition à l'une des dernières formules du n" 10 {voir la note de la page aSi); seulement, par suite d'une erreur typographique, ces deux nombres 0,226884 et 0,452768 ont été imprimés chacun à la place de l'autre dans le premier membre de phrase de l'alinéa.
Le mouvement rétrograde (^ — i)^ tlu nœud de l'orbite lunaire est, par la théorie précédente, o,oo4oto5.ç'. Ce mouvement, par les observations, est égal à 0,004021 yS.i^', ce qui ne diffère pas du précédent de sa trois cent cinquantième partie.
Ce mouvement du nœud est assujetti à une équation séculaire dont nous avons donné l'expression analytique dans le n° 14. En la réduisant en nombres, elle devient
o, 735452. f/n2/(e'--E' 2 jf/t'.
Elle a un signe contraire à celle de la longitude moyenne de la Lune; d'où il suit que les mouvements des nœuds et du périgée se ralentissent quand celui de la Lune s'accélère, et les équations séculaires de ces trois mouvements sont constamment dans le rapport des nombres 3, 00062, 0,735452 et I. On doit donc, dans l'expression précédente de nt H- £, substituer, au lieu des angles cv et gv, les quantités
cv — 3,ooo52.|m2/(«'- — E'^)di', g't; + o, 735452 .f m2/(e'2 — E'2) Jt/.
L'équation séculaire de l'anomalie moyenne est ainsi
— 4,ooo52.|/n2/(e'2 E'2) dv,
OU à très-peu près quadruple de celle du moyen mouvement.
17. Nous allons présentement déterminer quelques-unes des inégalités les plus sensibles du quatrième ordre. L'une de ces inégalités est relative à l'angle 2v — imv — igv 4- w 4- 28 — cr, et nous avons déterminé précédemment la partie de à%u qui dépend du cosinus de cet angle. On trouve ensuite, par le n" 15, que l'expression de /i^ 4- £ renferme l'inégalité
ey2 sin(2f — imv ~i^v -\- cv -^-iB — ts).
■1 — im — i^-\- c Cette inégalité, réduite en nombres, devient
26", 77.sin(2t' — imv — igv -\- cv -\- iQ — ts]
Considérons encore l'inégalité relative à l'angle 2w+2Ç'— a/wç^— 2cy. Si l'on rassemble tous les termes dépendants du cosinus de cet angle, que donne le développement de la seconde des équations (L) du n° 1, et que nous avons déterminés dans le n° 6, cette équation devient, en n'ayant égard qu'à ces termes,
d^u 3m2 (io--iQm + 8m2){'2-!-c — m) „ , ,
o := -ï— - -r- u -\ ^ ~-, -~, ' e^ ces [icv '\- IV ~-imv — 1rs);
dv'^ •! a, ^[c — m 'T' i)
en nommant donc A2'"e^cos(2w -;- iv — imv — irs) le terme correspondant de atu, on aura
(lo — 19m -f- 8/n2) (2 — m -f- c)
4(6- — m-t-i)[4(c — m-Hi)2 — i]
Si l'on nomme ensuite C^^'e* sin(2w -h iv — iinv — 2ny) le terme correspondant de l'expression de nt h- s, on trouve, par le n" 15,
-3m2 io-i9m + 8m2 3m2(i-m) pm^ „4,(o),qa.2) q mo
p,(j, 1 8(c — m-\-\) 2 — im-\-c 16(1 — m\
2Ay<"-^3A!2'-3A^»
■2 c — a /n 4- '2 En réduisant ces formules en nombres, on a
Aîj' "' = 0,0020I04l,
C'2'«> = -o,oi3o6i8,
d'où résulte, dans m -\- 1, l'inégalité
— 25", o3 sin('2Cf + îf — imv — irs).
L'expression de dt du n° 15 donne, dans nt -h e, le terme
3A2"ee'sin('?.c — 9. me -^ cv — c' niv — gt -+- nr') 1 — 3/n H- c
Ce terme est sensible, à cause de la grandeur du coefficient Aj*'; il est donc utile de considérer l'inégalité relative à l'argument 2v — 2mv + cv ~ c'mv — T3 -{- m . La seconde des équations (L) du
n*» 1 donne, en n'ayant égard qu'à ces termes, que nous avons développés dans le n" 6,
dv^ a, 4(2 — J/n + cj ^
Soit
Ay'ee'cosf'îi' — 2 me -h cv — c'inv — ro + ci')
la partie de alu dépendante de l'argument dont il s'agit; on aura
KHi)— 2im2(2 — 3m) (4 — 3m +^) ^
* ~ 4{^ — 3m+ c)[(a— 3m4- c)- — ij
Si l'on nomme ensuite
C2'"ee'sin(2f — "imv -i- cv — c'mv — sj + cj')
la partie dent-\-t relative au même argument, on trouve, par le n° 15,
2im2(2 — 3m) 2im2
En réduisant ces formules en nombres, on trouve
ce qui donne dans nt-h z l'inégalité
3i", 39.sin(2f — 2mc -f- cf — c'mc^ — cj + ru').
Les inégalités dépendantes des angles 2cv — 2^-+- 2mv±c'mv — 2t3=ç:x3' semblent devoir être sensibles par les grands diviseurs que les intégrations leur font acquérir; il importe donc de les déterminer avec soin. En suivant l'analyse exposée précédemment, et en n'ayant égard qu'aux quantités du quatrième ordre, si l'on représente la partie correspondante de aSw par
k'i^^e^e' cos[icv — iv -\- imv + c'mv — 2nT — m') H- AV"e2e'cos(2Cf — o-v ■+- imv — c'mv — ins + nj').
SECONDE PARTIE. - LIVRE Vil. 255
l'équation différentielle en u devient
dv^ a, I 5A'*' i4,(2> I X-^c'mv-iTs-JS
r7('2 + ii m-f-8m2) 7(io-4-i9m-t-8m2)~| Bm^l " ^6 8l26--2 + 3m) 1
"/ I ^^\ iA"'^* I
nio + i9m + 8/n2 2 + 11 m-i-S/n^"!
io + i9m + 8/n2 2 + 11 m-i-S/n^
/ 2 ce — iv + imv e^e'cos
C me — 2GJ-hSj'
on aura donc
,(2) — 3w2 p7('2 + iim-!-8m2) 7(io4-ipm-h 8m2)-!-4oA',*'
I — fm^ — (2c — '2H-3/w)2 L i^ 8(2C — 2 + 3/w
,(3, — 3m2 rio + ï9/n + 8m2 — 4oA',^' 2.4-1 1 w 4-8/n2"
Si l'on désigne la partie correspondante de nt -\- s par
CV^'e2e'cos(2cc^ — 2c -h 2mf 4- c'mv — im — xs' ) -+- Cf^^e-e' cos{icv — 2f -h imv — c'mv — 2ct + gt' ),
on aura, par le n° 15,
!2im2(io-f-i9m-+-8m2)4-i2om2A',®' 2im2(24-3/n) 63m2
i6(2c — 2 + 3m) 4('^ — 3*^ — <^) 16(2 — 3mj
