AV^) + 3A'/' - 3A'2'' 4- 3 A',»' A

2 c — 2 4- 3 wi

!— 3m2(io4-i9m4-8m-)4-i2om2A',"' , 3^m2(2 + /n) 9/122

- 2 A'/3) 4- 3 A'«-' ~ 3 Aij3' 4- 3 A'»> A V ' )

^j'ia; . 1 1 __1 1 '

En réduisant ces formules en nombres, on trouve

AV^'= 0,744932, A'/^'— - — o,oi 53320, CV"= o, 563 137,

CV"=r: -0,0235572,

d'où résultent, dans nt -f- s, les deux inégalités

18", i5.sin(2Ct' — -iv -\- imv -+- c'mv — im — vs') — o" ,'j6.s\n[ic^> ^ IV -\- imv ~ c'mv — ^gj-Hcj').

Les inégalités dépendantes des arguments acç» ± c'mr — arrzp cy' sont très-faciles à déterminer par la considération de l'expression de dt du n° 15. Cette expression donne, dans celle de nt + t, les inégalités

— smiicv -{- c mv — ivs — vs ]

H siniicv — c'mv — irs -h rn'].

et il est aisé de voir que ce sont les seuls termes du quatrième ordre qui dépendent de ces arguments. En les réduisant en nombres, on a, dans nt-\- z, les deux inégalités suivantes

— 9", 75. sin( 9, cf H- c'mc — 9. TïT — nj') + i3",89.sin(9.ct' — c'mv — 9gt + cj').

Il est facile de voir, par l'expression de dt du n" 15, que l'inégalité dépendante de l'argument l\v — l^mv — w 4- cr doit être sensible. Pour la déterminer, nommons

A3'*'ecos(4f — ^mv — cv h- ni)

le terme correspondant de «Sm. Il est clair qu'il ne peut en résulter de semblables dans l'équation différentielle en u que par la variation des termes de la seconde des équations (L) du n° 1, dus à la force perturbatrice. Nous avons développé ces variations dans le n'' 8. La première

est

3m'M''ÔM

et elle ne produit aucun terme du quatrième ordre dépendant de cos(4^ — kTTU' — cv + xs). La seconde variation est

qm'u'^ ^ , ,. dm'u'^ ^ , . , ,,

— — Tv~r ou. cosiiv — iv]-\ — ,„ .. ôv .smiiv — iv ]î

SECONDE PARTIE. - LIVRE Vil. 257

elle produit le terme

3 jyj2

-. — (3 — 4/n) AV'ecos(4f — ^mv — cv -^ js) .

La troisième variation est

6m'u'^ eu du . , ,. 3m'u'^d§u . , ,. 3m'u'^èv' du , ,,

h^u" u dv ^ ' -xh.^u'' dv ^ ' h^u" dv ^ '

elle produit le terme

y — {1 — im — c) AV'ecos(4f — ^mv — cf H- gt).

Enfin la quatrième variation est

.sinl^t/ — 2r );

elle produit le terme

— 7 , A'/'ecos(4f — ^mv — cv -\-ts).

L'équation différentielle en u deviendra donc, en n'ayant égard qu'à ces différents termes,

o = ~7—- +u T— 5 — 6m — c+ -r^—y \ k\^ e cosiiv — Lmv — cv + 7s).

dv^ i\a, \ ^ — \m — c < v-^ -r

En y substituant

k'^''^ e Q,os[^v ~ ^mv — cv -[- m)

pour aSw, on aura

Si l'on nomme ensuite

C3'^'esin(4t' — 4''**' — «^t'-Hcî)

CîEKfrw de L. — UI, 33

le terme correspondant de nt -h e, on aura, par le n° 15,

En réduisant ces formules en nombres, on trouve

d'où résulte, dans l'expression de nt H- s, l'inégalité io3",oi.sin(4t' ~ ^mv — cv ^ Tjs) .

L'inégalité dépendante de [\v — [\mv — icv + ivs peut encore être sensible : l'expression de nc?^ du n° 15 contient le terme

f (AV')2e2É?(;.cos(4f — kfnv — icv -\- -anj),

d'où résulte dans nt H- e le terme

3(A',")^e2 sin(4f — ^mv — icv + anj) 2(4 — f\fn — ic)

Il est aisé de voir que c'est le seul terme du quatrième ordre, dépendant du même argument, qui entre dans l'expression de nt -4- e. En le réduisant en secondes, il devient

68",7o.sin(4f — ^mv — icv -\- 1rs].

On verra ci -après que les Tables de Mason et de Biirg s'accordent à ne donner que 46" environ pour le coefficient de cette inégalité, ce qui semble indiquer que ce coefficient est bien déterminé par les observations. Ainsi la différence 22", qui existe entre leur résultat et celui de notre analyse, vient en grande partie des quantités du cinquième ordre, que nous avons négligées dans le calcul. Pour le prouver, et faire voir en même temps qu'une plus grande approximation diminue les différences entre la théorie et les observations, nous allons

déterminer ce coefficient, en ayant égard aux quantités du cinquième ordre.

Désignons par

le terme correspondant de a'^u; il est clair qu'il ne peut en résulter de semblables, dans l'équation différentielle en u, que par la vaHation des termes de la seconde des équations (L) du n° 1, dus à la force perturbatrice. Nous venons de donner les quatre variations de ces termes : la première ne produit aucun terme du cinquième ordre dépendant de cos(4^ — 4^^^ — 2w + 2ct). La seconde variation produit le terme

^ — (-i A'/' — A'/*')e2 cos(4i' — ^rnv — icv + ixs].

Les termes du cinquième ordre, dépendants de cos [[\v—[\mv—:icv+ivi), et produits par la troisième variation, se détruisent mutuellement, aux quantités près du sixième ordre. Enfin, la quatrième variation produit le terme

3m^r5AV' — ■lA'/^^ (i-2m)(3 — :?m)(ioH-i9m+8/ni')^^^o, A'/" H ^

Lv — Lmv cos I ^ ^

L'équation différentielle en u devient donc, en n'ayant égard qu'à ces termes,