PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL

cosinus (le l'angle p — rr et de ses multiples. Pour cela, nous commencerons par développer — - — — ^- dans une série semblable.

' ' ^ I + ecos(i' — cj)

Si l'on fait

i-\- \ji — e'^ on aura

i + ecos(v — cj) ^iI ea\^i4->,c(''-^)v/-< n Xc-(''~f')v'-«

c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. En développant le second membre de cette équation en série, savoir, le premier terme relativement aux puissances de c^^-^)^\ et le second terme relativement aux puissances de c-'^^-^^sJ-^ ^ et en substituant ensuite, au lieu des exponentielles imaginaires, leurs expressions en sinus et cosinus, on trouvera

— ; ] r= -ri--2AC0S(t^ — 5T]4-2>i^C0S2(t^ — ro) -- aX^ cosSft' — Gj) 4-...'|.

Nommons ç le second membre de cette équation, et faisons y= -; nous aurons généralement

[n-ecos(f — d)]"*"*"* 1.1.3. . .mdq'"

dq étant supposé constant, et les signes + ou — ayant lieu, suivant que m est pair ou impair. De là il est aisé de conclure que, si l'on fait

ITT—T^T n^=(i — ^^) ''ri + E(Ocos((^-cj)+E(2)cos2(p-nj)+E(3>cos3(t/--CT) +...],

ln-ecos(t' — GJJj^ V / L \ i \ } \ I !■>

on aura, quel que soit i,

le signe + ayant lieu si i est pair, et le signe — ayant lieu si i est

impair; en supposant donc n^=^a "^ vV' ^^ ^^^'^

ndt=.dv\\ H-E^'^cos^t- — îD; + E^^) cos2(t' — cj) + E^^^ cos3(i' — gï; +..•],

et, en intégrant,

rt/-{-e = t^ + E('^sini> — Gi) +^E(2;sin2f t' — gt) +^E^3)sin3{i' — cj) 4-. . .,

£ étant une arbitraire. Cette expression de nt-\-t est fort convergente lorsque les orbites sont peu excentriques, telles que les orbites des planètes et des satellites; et l'on peut, par le retour des suites, en conclure la valeur de ^' en ^ : nous nous occuperons de cet objet dans les numéros suivants.

Lorsque la planète revient au même point de son orbite, v est augmenté de la circonférence, que nous représenterons toujours par ax; en nommant donc T le temps d'une révolution, on aura

Cette expression de T peut être immédiatement déduite de l'expression différentielle de dt, sans recourir aux séries. Reprenons, en effet,

l'équation dt= v-^? ou c?i = ~a~' ^^"^ donne T= ^^-'^; jr'^dv est le double de la surface de l'ellipse, et par conséquent il est égal à 2r«* y/i — «*; de plus, h^ est égal à \j.a{\ — e^); on aura ainsi la même expression de T que ci-dessus.

Si l'on néglige les masses des planètes relativement à celle du Soleil, on a ^(J^ = v^î la valeur de y/^ est alors la même pour toutes les jph-

nètes; T est donc proportionnel alors à a-, et par conséquent les carrés des temps des révolutions sont comme les cubes des grands axes des orbites. On voit que la même loi a lieu dans le mouvement des satellites autour de leur planète, en négligeant leurs masses relativement à celle de la planète.