PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL
17. On peut encore intégrer de cette manière les équations du mouvement de deux corps M et m, qui s'attirent en raison réciproque du carré des distances. Reprenons les équations (i), (2) et (3) du n° 9; elles deviennent, en ne considérant que l'action des deux corps M et m, et faisant M 4- m ^ [x,
/ d'^x fxx
dt-
d-^z ~dt^
Les intégrales de ces équations donneront, en fonction du temps t, les trois coordonnées x, y, z du corps m, rapportées au centre de M; on aura ensuite, par le n° 9, les coordonnées C, H et y du corps M, rapportées à un point fixe, au moyen des équations
Ç ^ : a -r ht —
mx
mz
Enfin, on aura les coordonnées de m par rapport au même point fixe, en ajoutant œ k ^, y k U, et z k y; on aura ainsi le mouvement relatif des corps M et m et leur mouvement absolu dans l'espace. Tout se réduit donc à intégrer les équations différentielles (0).
Pour cela, nous observerons que, si l'on a, entre les n variables x^'K , x'"\ et la variable t dont la différence est supposée con-
stante, un nombre n d'équations différentielles données par la suivante
d^x'^') dti'
di
dt'
dans laquelle on suppose s successivement égal à i, 2, 3,..., n-, A, B, . . ., H étant des fonctions des variables ^ '^ x^'^\ ... et de t, symétriques par rapport aux variables x^^\ x^^', . . ., x^"\ c'est-à-dire telles qu'elles restent les mêmes lorsque l'on y change une quelconque de
ces variables dans une autre et réciproquement, on peut supposer
a^*\ U*\ . . ., A''^; œ^\ U^\ . . . étant des arbitraires dont le nombre est i{n — i). Il est clair que ces valeurs satisfont au système proposé d'^s équations différentielles; de plus, elles réduisent ces équations à «équations différentielles entre les t variables x^"~'^^\ a?'""'^^ , . . . , x^"K Leurs intégrales introduiront r nouvelles arbitraires, qui, réunies aux i(n — i] précédentes, formeront les in arbitraires que doit donner l'intégration des équations différentielles proposées.
Si l'on applique ce tbéorème aux équations (0 , on voit que z ~ aœ ■+- by, a et b étant deux arbitraires. Cette équation est celle d'un plan passant par l'origine des coordonnées: ainsi l'orbite de m est tout entière dans un même plan.
Les équations (0) donnent
dt^
lidx,
= dlr^
d'^y dr^
F-dj\
d^z dt^
lidz.
Or, en différentiant deux fois de suite l'équation rdr=xda-{-ydy-\-zdz, on a
rd^r-\-'idrd'^rrzzzxd^x -hyd^y + zd'^z -+- 3{dxd^x -h dyd'^yn-dzd-z,
et par conséquent
En substituant dans le second membre de cette équation, au lieu de
