PREMIERE PARTIE. - LIVRE II

d^x, d^y, d^z, leurs valeurs données par les équations (0'), et ensuite, au lieu de d^x, d^y, d^z, leurs valeurs données par les équations (0), on trouvera

Si l'on compare cette équation aux équations (0'), on aura, en vertu

, ., , , ' • 1 . -, . . dx dr dz dr

du théorème expose ci-dessus, en considérant -t-^ -jp -iri -t. comme

autant de variables particulières a?^'', x^^\ x^^\ a?^*^ et r comme fonction du temps t,

dr=^ldx -\~ydy,

X, Y étant des constantes, et, en intégrant,

étant une constante. Cette équation, combinée avec celles-ci

z = ax -\- by,

donne une équation du second degré, soit en x et y, soit en x et z, soit Qw y Qi z-, d'où il suit que les trois projections de la courbe décrite par m autour de M sont des lignes du second ordre, et qu'ainsi, cette courbe étant toute dans un même plan, elle est elle-même une ligne du second ordre ou une section conique. Il est facile de s'assurer, par la nature de ce genre de courbes, que, le rayon vecteur r étant exprimé par une fonction linéaire des coordonnées x, j, l'origine de ces coordonnées doit être au foyer de la section. Maintenant l'équation

r = v-lx -hyr

donne, en vertu des équations (0),

dt^

OEuvres de L. — \.

En multipliant cette équation par dr et en l'intégrant, on aura

a étant une constante arbitraire. De là on tire

rdr

dt =

cette équation donnera r en fonction de t\ et, comme x, y, 5 sont donnés, par ce qui précède, en fonction de r, on aura les coordonnées de m en fonction du temps.

18. On peut parvenir à ces diverses équations par la méthode suivante, qui a l'avantage de donner les arbitraires en fonction des coordonnées X, y, z et de leurs premières différences, ce qui nous sera très-utile dans la suite.

Supposons que V = const. soit une intégrale du premier ordre des

flic flv* Cm %

équations (0), V étant une fonction de x, y, s, -j-t — j -t-\ nommons

x\ y', z' ces trois dernières quantités. L'équation V~ const. donnera par sa différentiation

â\dx à\dr àW^dz^ J^^ ^^ ^^i.'. ~~ dx dt dy dt dz dt dx' dt dy' dt ôz' dt '

mais les équations (0) donnent

dx' ^x dy' yiy dz' yiz

IF ~~"r^^ ~dr ~ ~ ~r^' ~di'~~7^^

on a donc l'équation identique aux différences partielles

' dx -^ ôy dz r^\ dx' -^ dy' dz' j

Il est clair que toute fonction de x, y, z, x' , y', z' qui, substituée