PREMIERE PARTIE. - LIVRE II
pour V dans cette équation, la rend identiquement nulle devient, en l'égalant à une constante arbitraire, une intégrale du premier ordre des équations (0).
Supposons
U étant fonction des trois variables se, y, z; U' étant fonction des six variables ce, y, z, se', y', z' , mais du premier ordre relativement à x' , y' , z' ; U" étant fonction des mêmes variables, et du second ordre relativement à x' , y', z'; et ainsi de suite. Substituons cette valeur dans l'équation (I), et comparons séparément : i° les termes sans x', y', z'; 2° ceux qui renferment la première puissance de ces variables; 3° ceux qui renferment leurs carrés et leurs produits, et ainsi de suite; nous aurons
dx
dU' au'
-^ dy' dz'
,d\J dx
dU ,dU dy dz
Ij. ( dW d\}" dW\ " r^X^'àx' ' ^ dy' ' '^ dz' )'
dx
d\}' , r)U' dy^ dz
fj. ( dW" d\}"' dm\ r^X" dx' ^ ^ dy' ' ^ dz'T
, dU" dx
d\]" ^, au"
dy " dz
r'^ \ dx' dy' " dz' / '
L'intégrale de la première de ces équations est, comme Ton sait par la théorie des équations à différences partielles,
U' = fonct. (^j' — ;^^', xz' — zx'., yz' — zy', x, y, z).
La valeur de U' devant être linéaire en x', y', z', nous la supposerons de cette forme
l}' = A[xy'~yx') ^Blxz' — zx') -h C{yz' — zy'),
A, B, G étant des constantes arbitraires. Arrêtons ensuite la valeur de V au terme U", en sorte que U", U'"", . . . soient nuls; la troisième des
équations (F) deviendra
,dU' ,d\]' ,dV' ox oy oz
La valeur précédente de U' satisfait encore à cette équation. La quatrième des équations (F) devient
, d\]" , d\}" , dV>"
OX oy oz
équation dont l'intégrale est
\]''=z{onQX.[xy' — yx' , xz' — zx' , yz' — zy' , x' , y' , z').
Cette fonction doit satisfaire à la seconde des équations (T), et le premier membre de cette équation multipliée par dt est évidemment égal à d\]\ le second membre doit donc être la différentielle exacte d'une fonction de x, y, z. Or il est facile de voir que l'on satisfait à la fois à cette condition, à la nature de la fonction U", et à la supposition que cette fonction doit être du second ordre en œ\ y', z', en faisant
\]"={Dy'-.Ex'){xy'--yx')-^{î)z'-¥x'){xz'-zx') -h (Ez' - ¥y') [yz' - zy') + G(^'2 -\-y'^ + z'^),
D, E, F, G étant des constantes arbitraires, et alors, r étant égal à ^a?'H-/'-+-z', on a
U~- ^ (Da;-[-E/ + Fz-i-2G);
on aura donc ainsi les valeurs de U, U', U", et l'équation V - const. deviendra
const. = — ^ (Da: + Ej-f- Yz h- 2G) H- (A -H D7' — E^') [xy' --yx')
+ (Bh-Dz'— Fo:') [xz'—zx']-\~[C-\-'E.z'—¥r') [yz'-'Zy')-\-(j[x'^^y'^ + z"'
Cette équation satisfait à l'équation (I), et par conséquent aux équations différentielles (0), quelles que soient les arbitraires A, B, C, D,
