PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL
E, F, G. En les supposant toutes nulles, i*" à l'exception de A, 2*^ à l'exception de B, 3" à l'exception de C, etc., et restituant -7-5 -4-i -.j au lieu de x\ y', s', on aura les intégrales
xdy— rdx , xdz — zdx „ ydz — zdy
dy"^ -\- dz-\ ydfdx zdzdx
dt^
dt'^
dp
„, ( u. dx^ -^ dz'^\ xdxdr zdzdr
-.„ l'fx dx^ -i' dy^\ xdxdz ydydz ^=-^ "'" ^ Vr ~ - dt^' ^ dfr -"' —di^'
2jUt. dx^ -h df"^ -[ dz"^
c, c\ c", f, f\ f" et a étant des constantes arbitraires.
Les équations différentielles (0) ne peuvent avoir que six intégrales distinctes du premier ordre, au moyen desquelles, si l'on élimine les différences dx^ dy, dz, on aura les trois variables œ, y, z en fonction du temps t; il faut donc qu'au moins l'une des sept intégrales précédentes rentre dans les six autres. On voit même a priori que deux de ces intégrales doivent rentrer dans les cinq autres. En effet, puisque l'élément seul du temps entre dans ces intégrales, elles ne peuvent pas donner les variables x, y, z en fonction du temps, et par conséquent elles sont insuffisantes pour déterminer complètement le mouvement de m autour de M. Examinons comment ces intégrales n'équivalent qu'à cinq intégrales distinctes.
Si l'on multiplie la quatrième des équations (P) par — û — ' ^^
qu'on l'ajoute à la cinquième multipliée par -," » on aura
.zdy — ydz ., xdz ~ zdx
dt
dt
xdy — ydx / fx dx- h dy-\ xdy — ydx I xdxdz ydy^dz
, . ,. , xdy — rdx xdz — zdx rdz — zdy , En substituant, au lieu de ——jf- — -^ j^ ' ' J^ — ^' leurs valeurs données par les trois premières des équations (P), on aura
fc' — fc" (ix dx'^-^dY-\ xdxdz rdydz
° "- '' V" ^ ^ \r df^ / '^ df^ ' dt^
Cette équation rentre dans la sixième des intégrales (P), en y faisant f"=^ • ^ ~ ^ ou o^=fc"—f'c-\-f"c. Ainsi la sixième des intégrales (P) résulte des cinq premières, et les six arbitraires c, c', c", /'/'/' sont liées entre elles par l'équation précédente.
Si l'on prend les carrés des valeurs de/,/ ,/ ', données par les équations (P), qu'ensuite on les ajoute ensemble, et que, pour abréger, on fasse p +/'- +/"^ = /^ on aura
o r 2 ^"^^ '^ ^T^ ^~ ^^' (rdr\'^~^ fdx- + dy'^ + dz^ ->.u.
mais, si l'on carre les valeurs de c, c', c" , données par les mêmes équations, qu'ensuite on les ajoute, et que l'on fasse c^ -h c''^ -hc"^ = A-,
2 dx"^ -hdr'^-^-dz^ ( rdr
dt^ \ dt
l'équation précédente devient ainsi
dx^ -f- dy"^ -hdz^ 'yfx fx- — f^
En comparant cette équation à la dernière des équations (P), on aura l'équation de condition
La dernière des équations (P) rentre conséquemment dans les six premières, qui n'équivalent elles-mêmes qu'à cinq intégrales distinctes, les sept arbitraires c, c , c", / /', /" et a étant liées par les deux équations de condition précédentes. De là il résulte que l'on aura l'exprès-
