LIVRE II
sion la plus générale de V qui satisfasse à l'équation (I), en prenant pour cette expression une fonction arbitraire des valeurs de c, c', c\ f et/' données par les cinq premières des équations (P).
19. Quoique ces intégrales soient insuffisantes pour déterminer x\ y, z en fonction du temps, elles déterminent cependant la nature de la courbe décrite par m autour de M. En effet, si l'on multiplie la première des équations (P) par z, la seconde par —y, et la troisième par X, on aura, en les ajoutant.
Or=CZ
cy
équation à un plan dont la position dépend des constantes c, c', c" .
Si l'on multiplie la quatrième des équations (P) para?, la cinquième par y, et la sixième par z, on aura
o . fx -i-/y -:- /"z + fx r - r2 mais on a, par le numéro précédent,
dx"^ + dy'^ + dzdF
'dF~'
dx^ -+- fi?j2 4 dz^ r^dr^ . ^ — -- Il ;
df^
dt
partant,
o =r: |:xr - A2 -vfx 4-/'j -\-f"z.
Cette équation, combinée avec celles-ci
o=zc"x — c'y-\-cz, r"^ -— x^ -\- y^ -\- z"^ ,
donne l'équation aux sections coniques, l'origine des r étant au foyer. Les planètes et les comètes décrivent donc à très-peu près, autour du Soleil, des sections coniques dont cet astre occupe un des foyers, et ces astres s'y meuvent de manière que les aires décrites par les rayons vecteurs croissent comme les temps. En effet, si l'on nomme dv l'angle infiniment petit intercepté par les rayons r et r 4- dr, on aura
dx"^ ->rdy^-\-dz^ ----- r^dv"^ + dr^\
l'équation
df^ df^
deviendra ainsi r'^dv'^ = h'^dt'^, partant
, hdt
dv — -~- .
On voit par là que l'aire élémentaire {r'^dv, décrite par le rayon vecteur r, est proportionnelle à l'élément de temps dt; l'aire décrite pendant un temps fini est donc proportionnelle à ce temps. On voit encore que le mouvement angulaire de m autour de M est, à chaque point de l'orbite, réciproque au carré du rayon vecteur; et comme on peut, sans erreur sensible, prendre des intervalles de temps très-courts pour des instants infiniment petits, on aura, au moyen de l'équation précédente, les mouvements horaires des planètes et des comètes dans les divers points de leurs orbites.
Les éléments de la section conique décrite par m sont les constantes arbitraires de son mouvement; ils sont par conséquent fonctions des
arbitraires précédentes c, c\ c",/,/',/" et ^; déterminons ces fonctions. Soit 6 l'angle que forme avec l'axe des a: l'intersection du plan de l'orbite avec celui des x et des j, intersection que l'on nomme ligne des nœuds; soit (p l'inclinaison mutuelle des deux plans. Si l'on nomme x' et y' les coordonnées de m, rapportées à la ligne des nœuds comme axe des abscisses, on aura
On a d'ailleurs on aura donc
jr' ---- y CCS Q — X sin 6.
z ~j' tang<jp;
z =:/cos0lang(p — xsin0lang(p.
En comparant cette équation à celle-ci
o -- c"x — c' y : cz,
on aura
d'où l'on tire
