PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

c' = ccosôtangtp, c"— c sinôtangcp,

langô = —,

tango

Ainsi la position des nœuds et l'inclinaison de l'orbite sont déterminées en fonction des constantes arbitraires c, c\ c". Au péribélie, on a

rdr-=o, ou x dx -\- y dy -\- z dz ^=^ o ',

soient donc X, Y, Z les coordonnées de la planète à ce point; la quatrième et la cinquième des équations (P) du numéro précédent donneront

Mais si l'on nomme I la longitude de la projection du périhélie sur le plan des x et des y, cette longitude étant comptée de l'axe des x, on a

;^=:langl, parlant, tangl=^;

ce qui détermine la position du grand axe de la section conique. Si de l'équation

df^ dt'i

on élimine - --.^ ^^ au moyen de la dernière des équations (P),

dp

on aura

OEuvres de L. \.

mais dr est nul aux extrémités du grand axe; on a donc à ces points

aho = r^ — 9.ar ^

La somme des deux valeurs de r dans cette équation est le grand axe de la section conique, et leur différence est le double de l'excentricité; ainsi a est le demi-grand axe de l'orbite ou la distance moyenne de m

à M, et 1/ r est le rapport de l'excentricité au demi-grand axo.

Soit e ce rapport; on a, par le numéro précédent,

a lion aura donc ^e = l. On connaîtra ainsi tous les éléments qui déterminent la nature de la section conique et sa position dans l'espace;

20. Les trois équations finies trouvées dans le numéro précédent entre x, j, 2 et r donnent x, y, z en fonction de r; ainsi, pour avoir ces coordonnées en fonction du temps, il suffit d'avoir le rayon vecteur r dans une fonction semblable, ce qui exige une nouvelle intégration. Pour cela, reprenons l'équation

ar- r^dr- ,„ 7.1X1' — ' ,— -: «2;

on a, par le numéro précédent, on aura donc

rdr

dt =

ar ai

Pour intégrer cette équation, soit r= a(i — ecosw); on aura

, d' du ,

dt — __ I ecosM),