r- e cos t

Si l'on fixe l'origine du temps t à l'instant même du passage du corps w

par le périhélie, T sera nul, et, en faisant pour abréger '^ = n, on

aura nt = u — e?>mu. En rassemblant ces équations du mouvement

de m autour de M, on aura

nt~u — e€\x\u, r = a{i-' ecosu),

tang^t' — \/ lang^^f ,

Vr

l'angle nt étant ce que l'cm nomme anomalie moyenne. La première de ces équations donne u en fonction du temps t, et les deux autres donneront r et (^, lorsque u sera déterminé. L'équation entre u ei t est transcendante, et ne peut être résolue que par approximation. Heureusement les circonstances des mouvements célestes donnent lieu à des approximations rapides. En effet, les orbes des corps célestes sont ou presque circulaires, ou fort excentriques, et dans ces deux cas on peut déterminer u en t par des formules très-convergentes que nous allons développer. Pour cela, nous donnerons sur la réduction des fonctions en séries quelques théorèmes généraux qui nous seront utiles dans la suite.

21. Soit u une fonction quelconque de a, que l'on propose de développer par rapport aux puissances de a. En représentant ainsi cette suite,

u~u^ ocg, -h oc^q-i -f- cc^q^ h-. . .h- aJ^qn -\- oi"^'q,i+i -+-•.,

u, q,, q.2,.. . étant des quantités indépendantes de a, il est clair que u est ce que devient u lorsqu'on y suppose a = o, et que l'on a, quel que soit n,

-r-y- ;= 1.2.3. . .nq„ -i- 2.3. . .(n h- r) ocqn^i -+-...,

la différence -r-^ étant prise en faisant varier tout ce qui dans u doit