PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II
varier avec a. Partant, si l'on suppose après les différentiations a = o d"u doc"
dans l'expression de -t-^, on aura
qn
Si u est fonction des deux quantités a et a', et que l'on propose de le développer par rapport aux puissances et aux produits de % et de x, en représentant ainsi cette suite,
-^ oc'qa.i H- c(.c^'q^,^ — . . .
le coefficient qn,n' du produit %"yf sera pareillement égal à
a et a' étant supposés nuls après les dilTérentiations.
En général, si u est fonction de a, a', a/, . . . , et qu'en le développant dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits
de 50, x' , %",..., on représente par a"a'"a"" . . .qn,n',n",... ^^ terme de
II' II" cette suite qui a pour facteur le produit a"a' a" ..., on aura
^n-^u'-^n"+-- Il
da'^dc^:"'ôa"""...
qn.ii'.n".... ^ -^ 3; - Y^ ^ 3 ,,'.,. 2. :i. . . ^:, . '
pourvu que l'on suppose a, a', a", . . . nuls après les ditférentiations.
Supposons maintenant que u soit fonction de a, a, a", ... et des variables /, t\ t",...; si, par la nature de cette fonction ou par une équation aux différences partielles qui la représente, on parvient à obtenir
()n+>i'-^...ll
'dcc"'doL'"'T7.
en fonction de u et de ses différences prises par rapport \t,t,...\ en nommant F cette fonction lorsqu'on y change u dans u, u étant ce que devient u lorsqu'on y suppose a, a', . . . égaux à zéro, il est visible que l'on aura ç'^j, „'..., en divisant F par le produit i.2.3.../i.i.2.3...7i'...; on aura donc la loi de la série dans laquelle u est développé.
Soit d'abord u égal à une fonction quelconque de ^-t-a, /'-f-^a', /" + a", ..., que nous désignerons par 9(^-1- a, /' h a', /'-i- a", . . .); dans ce cas, la différence quelconque i'^™* de w, prise par rapport à a et divisée par dy}, est évidemment égale à cette même différence prise par rapport à / et divisée par dt. La même égalité a lieu entre les différences prises par rapport à a' et t\ ou par rapport à a" et t" , etc. ; d'où il suit que l'on a généralement
doc"d<x"' doc"" . . . dt"di'" dt""". . .
En changeant dans le second membre de cette équation w en u, c'està-dire en 9(^ /', /",...), on aura, par ce qui précède,
dt''dt'"'di'^"'~
gii.n'.ii",... -~
Si n est seulement fonction de /-ha, on aura
partant
' ^ ^' ^^ ' dt ï.j. dt^ 1.2.3 dt^
Supposons ensuite que w, au lieu d'être donné immédiatement en a et t comme dans le cas précédent, soit une fonction de x, x étant donné
par l'équation aux différences partielles |^"^ ^ ^' «l^ns laquelle z est
une fonction quelconque de x. Pour réduire u dans une suite ordonnée
par rapport aux puissances de a, il faut déterminer la valeur de ^"
