PREMIERE PARTIE. - LIVRE IL

dans le cas de y. — o; or on a, en vertu de l'équation proposée aux différences partielles,

du du ôx du dx

ôa. dx d<x dx dt '

on aura donc

du d.fzdu

doc " dt

En différentiant cette équation par rapport à a, on aura

d-u d- . fzdu dx- dxdt

or l'équation [k) donne, en y changeant u en Jzdu^

d.fzdu d.fz^du

dx ""^ ~'^t '

partant,

dx' ' d7'

En différentiant encore par rapport à a, on aura

d^u dKfz^du dx^ ~" ~ dxdf'^ '

or l'équation [k] donne, en y changeant u en Jz'^du,

d.fz^du d.fz^du dx ~ di '

partant,

d^H dK/z^du dx^ " dt'^

En suivant ce procédé, il est aisé d'en conclure généralement

-, du d^u dn.fz^du __<^ fJa« " dt»^ ~ dt"-*

Supposons maintenant qu'en faisant a = o on ait x \\ T étant

une fonction de /; on substituera cette valeur de x dans z et dans u. Soient Z et u ce que deviennent alors ces quantités; on aura, dans la supposition de a =^ o,

d'^u __ dt

et par conséquent on aura, par ce qui précède,

dt

ce qui donne

rfZ^^ d^ Z=' —

, , ^rfu «2 "^"^ dt oC^ "^ ^ dt

Il ne s'agit plus maintenant que de déterminer la fonction de / et de a que x représente, en intégrant l'équation aux différences partielles -^ =z z-x- Pour cela, on observera que

da. dt

, dx j <)x j dx ^=^ -T-r dt -{- -T- dix ; ôt da

en substituant, au lieu de -c- 5 sa valeur z-r-? on aura

ax Ot

^(rf/ + zrf«) = ^k/ + a.)-a^

on aura donc

dx

-, dit -+- az' dt ^

dz dx

dx dt

ce qui donne, en intégrant, ic = ç(/ -1- as), 9(z + as) étant une fonction arbitraire de t-hccz, en sorte que la quantité que nous avons nommée T est égale à c^{t). Ainsi, toutes les fois que l'on aura entre x et a une équation réductible à cette forme x = a^ (t -]- olz) , la valeur