PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL

de u sera donnée par la formule (/?), dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de a.

Supposons maintenant que u soit une fonction des deux variables x et œ\ ces variables étant données par les équations aux différences

partielles

dx dx dx' , dx'

dans lesquelles z et z' sont fonctions quelconques de x et x'. Il est facile de s'assurer que les intégrales de ces équations sont

X =^<^[t -{- xz), x' --=^[t' -+- oc' z'),

(p(/-t- a^) et <|/(?'+ a'^') étant des fonctions arbitraires, l'une de t-hcLz, et l'autre de t' -+- cc'z'. On a de plus

du ^ du du , du

di ''^dt' d^' ~~^ dF'

Gela posé, si l'on conçoit x' éliminé de ï^ et de s au moyen de l'équation x' =^i{t' -h ol'z'), u et z deviendront des fonctions de x, a' et t', sans a ni ^; on aura donc, par ce qui précède,

^ , du

d"-*.z''-çd"u dt

dôc" ~~ d;«-'

Si l'on suppose a ^ o après les différentiations, et si, de plus, on fait dans le second membre de cette équation x~ (p(^-4-a2''), et par conséquent x^ = ^'';ï7' on aura dans ces suppositions

et par conséquent

^ , du d" u doc

doc" " '&P^-^ '

f)n-^ à ce'

d"-*-"' U doc

doc" doc'"' àtn-^

OEtwres de L. — I.

On aura pareillement

d"'u dot!

doc'"' dt"

en supposant a' nul après les différentiations, et en supposant de plus, dans le second membre de cette équation, x' ~ ^]^ (f -{- ce' z'" ) ; on aura donc

d"-^"'u ôxôx'

doc" doc'"' dt'^-'dt'"'"'

pourvu que l'on fasse a et a' nuls après les différentiations, et que, de plus, on suppose dans le second membre de cette équation

x = (f{t + az"), x'=^{t'-\-a'z'"'),

ce qui revient à supposer dans ce second membre, comme dans le premier,

X = (f[t-hOCZ), X'=:^{t'-i- OC'Z'),

et à changer, dans la différence partielle -, — j-^ de ce second membre,

z en z" et z' en z'" . On aura ainsi dans ces suppositions, et en changeant de plus z en Z, z' en Z', et u en u,

qii. n'

docdoc'

En suivant ce raisonnement, il est facile d'en conclure que, si l'on a les r équations

x -- (f{t -\- ocz), x' ■=. '^[t' -\- oc'z')f x"=U{t"~hoc"z"),

z, z', z", . . . étant des fonctions quelconques de œ, x\ x", . . . , et si l'on