PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL

suppose u fonction des mêmes variables, on aura généralement

_________ dondcf! dot." . . .

qn.n'.n"....— ^^^ .n.i.2.3. . . n'. 1 . 2 . 3 . . . n". ..()<«-< df'"'"' d/""""'. ..'

pourvu que, dans la différence partielle „ — , on change z en z",

z' en z'" , . . . , et qu'ensuite on change z en Z, z' en Z', z" en Z", ... et m en u.

S'il n'y a qu'une variable Xy on aura

35=^37; P"'™' ^"=^',... 3... „.<)<-.• S'il y a deux variables x et a?', on aura

du du

en différentiant cette équation par rapport à a', on aura

d'^u dz du d'^u

dadoc' doc' dt dx'dt'

or on a ^ = z' -r-7 ; et, en changeant dans cette équation u en z, on a

dz ,dz ,

gj=2g^; donc

d^u dï' , dz du

â^dZ ~ ^ '^dt ^ "^ dt' dt '

En supposant dans le second membre de cette équation a et a! nuls, et en y changeant z en Z", z' en Z'"', et m en u, on aura la valeur de

j-j-r dans les mêmes suppositions, ce qui donne

/ n' d-^xx r„n'à.l" dn ^ f).Z"'' d\x\

o...-.[znz- ^^ -hz- -^ ^ -'-z"-^ ^)

En continuant ainsi, on aura la valeur de qn,n',n",... pour un nombre quelconque de variables.

Quoique nous ayons supposé u, z, z', s",... fonctions de œ, œ', x", . . . , sans t, t' , t", . . . , on peut cependant supposer qu'elles renferment ces dernières variables; mais alors, en y désignant ces variables par ?, , t\ , f , . . . , il faudra supposer t^, t[ , /',... constants

dans les différentiations, et restituer après ces opérations t, t' au

lieu de ^,, ( ,

22. Appliquons ces résultats au mouvement elliptique des planètes. Pour cela, nous reprendrons les équations (/) du n° 20. Si l'on compare l'équation

nt -- u — e sin u, ou u = ni -f e sin u

avec celle-ci

X = <û(t -+- ccz).

X se changera en m, i en nt, a en e, z en sinw, et (p(/ + a^) en nt-^ eûwu\ la formule [p] du numéro précédent deviendra donc

\q) 'i^[u) = 'if[nt)'\-e^'[ni)^\Vint-v

e"^ d\^"\nt]%\xi''-nt\ e» d"-\^'[nt]^\n^nt\

ndt

n^dt^

^'(nt) étant égal à \jf ■ Pour développer cette formule, nous observerons que , c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, on a

sin'wi = f — ==;:: )î cos'n/

.nt\f~~i ^ c-«^/

i étant quelconque. En développant les seconds membres de ces équations et en substituant ensuite, au lieu de c''"'^-' et de c~'«'v^' , leurs

valeurs cos mt -}- y/— i sïnrnt et cosrnt— \/— i sinm^, r étant quelconque, on aura les puissances i de sïnnt et de cosnt développées en