sinn/ cos2n^ — i

sin3n? — 3sinn^l

„ , ^ .. sin 5 n^ — 5 sin 3/1? -h ^^"'^ sin «^^

o / /- /• ^ COSD/lf — DC0S4w? H C0S2Wf ^

Soit P cette fonction; on la multipliera par ^'{nt), et l'on différentiera chacun de ses termes, par rapport à t, un nombre de fois indiqué par la puissance de e qui le multiplie, dt étant supposé constant; on divisera ces différentielles par la puissance correspondante de ndt. Soit P' la somme de ces différentielles ainsi divisées; la formule {q) deviendra

^[u] = ']^[nt) -h-eP'.

Il sera facile d'obtenir par cette méthode les valeurs de l'angle u et des sinus et cosinus de cet angle et de ses multiples. En supposant, par exemple, '|(w) - sinm, on aura ^'(/i^) = icosmif. On multipliera la valeur précédente de P par icosm/, et l'on développera ce produit en sinus et cosinus de l'angle nt et de ses multiples. Les termes multipliés par les puissances paires de e seront des sinus, et les termes multipliés par les puissances impaires seront des cosinus. On changera ensuite un terme quelconque de la forme ILe"^^ ^rnsnt dans ±: ILe^'' s-'' ûnsnt , le signe -h ^yant lieu si r est pair, et le signe — ayant lieu si r est impair. On changera pareillement un terme quelconque de la forme Ke^'^^' co^snt dans h= Ke-'"^'.?^'^' %msnt, le signe — ayant lieu si /• est

pair, et le signe -+- ayant lieu si r est impair. La somme de tous ces termes sera la valeur de P', et l'on aura

sin/« = sin/nf H- eP'.

Si l'on suppose ^{u) = u, on aura '^'{nt) = i, et l'on trouvera

M = w/-hesinn/-t 2sin2n/+ „ — - (S^sinSn/ — Ssinn^i

^^ sin^nt — ^.9.^ sin-int]

'5*sin5n; — 5.3*sin3n/+ — ^sinn/

Cette série est fort convergente pour les planètes. Ayant ainsi déterminé u pour un instant quelconque, on en tirera, au moyen des équations (/) du n° 20, les valeurs correspondantes de r et de p; mais on peut avoir directement ces dernières quantités en séries convergentes, de cette manière.

Pour cela, nous observerons que l'on a, parle n°20, r — «(i — ecosu); or si, dans la formule (q), on suppose <)/(«) = i — ecosw, on aura 'ii'{nt) — es'mnt, et par conséquent

„ . „ e' ds'm^nt e'> d'-H\x\'>nt

I — e cosa = 1 — e cosnt -\- e- s\n-nt h , \ — :-7-. 1- . . . .