PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

Considérons présentement la troisième des équations (/) du n^ 20; elle donne

sin^

CCS

e sin^M e cos^a

En substituant dans cette équation, au lieu des sinus et des cosinus, leurs valeurs en exponentielles imaginaires, on aura

«yZ-l ,

en supposant donc

on aura

et par conséquent

log(i — lc~'^\/'> ) — logfr -- Xc^v'-i

d'où l'on tire, en réduisant les logarithmes en séries,

V = u -}- 2.1 s'm u -\ sin2a h — — - sin3M h — — sinAu -4-

On aura, par ce qui précède, w, sinw, sin2w, ..., en séries ordonnées par rapport aux puissances de e, et développées en sinus et cosinus de l'angle nt et de ses multiples; il ne s'agit donc, pour avoir v exprimé dans une suite semblable, que de développer les puissances successives de X en séries ordonnées par rapport aux puissances de e.

L'équation m = 2 donnera, par la formule (/>) du numéro précédent,

et, comme on a u -- i -i- y i — e , on aura

Cela posé, on trouvera, en ne portant l'approximation que jusqu'aux quantités de l'ordre e^ inclusivement,

/ I 5 \ . /5 „ II , 17 \ . /r3 43 \

vz.-nt H- ( 2e — -j e^-T- -^ e5 \ smnt -i- ( y e^ - --j e'' + —'- e» 1 sma «/ -; I — e^ — i^e^ sinSn^

^- — Tï-e' — ^hr-e'^ sin4«^-i Ti^-e^ smont -\ — -tî— e» smont.

Les angles ^ et nt sont ici comptés du périhélie; mais, si l'on veut compter ces angles de l'aphélie, il est clair qu'il suffit de faire e négatif dans les expressions précédentes de r et de v. Il suffirait encore d'augmenter, dans ces expressions, l'angle nt de la demi -circonférence, ce qui rend négatifs les sinus et les cosinus des multiples impairs de nt; ainsi, les résultats de ces deux méthodes devant être identiques, il faut que, dans les expressions de r et de p, les sinus et les cosinus des multiples impairs de nt soient multipliés par des puissances impaires de e, et que les sinus et cosinus des multiples pairs du même angle soient multipliés par des puissances paires de cette quantité. C'est, en effet, ce que le calcul confirme a posteriori.

Supposons qu'au lieu de compter l'angle v du périhélie on fixe son origine à un point quelconque; il est clair que cet angle sera augmenté d'une constante, que nous désignerons par tj, et qui exprimera la longitude du périhélie. Si, au lieu de fixer l'origine de ^ à l'instant du pasvsage au périhélie, on la fixe à un instant quelconque, l'angle nt sera augmenté d'une constante, que nous désignerons par e — ct; les expressions précédentes de - et de p deviendront ainsi

-=i + -e2— ( e — ô^^l cos(n/ 4- e — cr) - ( -e-— -^e* \ cost. [nt 1- e — cj) — i; =: nt -h t -i- lae — j e^\ sin {nt -\- e — m) -i- (7^' 7^1 s'in 2 [nt -\- e — m] -h