PREMIERE PARTIE. - LIVRE II
(^ est la longitude vraie de la planète, etnt-+-t est sa longitude moyenne, ces deux longitudes étant rapportées au plan de l'orbite.
Rapportons maintenant le mouvement de la planète à un plan fixe, peu incliné à celui de l'orbite. Soit <p l'inclinaison mutuelle de ces deux plans, et 6 la longitude du nœud ascendant de l'orbite, comptée sur le plan fixe; soit ê cette longitude comptée sur le plan de l'orbite, en sorte que 9 soit la projection de ê; soit encore (^, la projection de ç sur le plan fixe. On aura
tang(t', — 6) = cos<plang(c' -— ê).
Cette équation donne ç^ en ç', et réciproquement; mais on peut avoir ces deux angles l'un par l'autre, en séries fort convergentes, de cette manière.
On a conclu précédemment la série
^v = ^u -h AsinwH sin2« + -^ sm3u -t-. . .
Si l'on change {v en c, — 0, {u en c — ê, et x/ en cos<p, on aura
COS<p 4-1 ° ^^
l'équation entre {v et {u se changera dans l'équation entre t», — 6 et r — ê, et la série précédente donnera
>', — 9 =: v — e — tang2{<p sina (t^ — 6) + ^lang*^(p sin4 (f — ê) — {tang'^cp sin6(f — 6) + Si dans l'équation entre ^v et {u on change {v en v — ê, {u en c, — 6 et
en ? on aura
— e COS9
>. = tang2|(p,
OEuvres de L. — \. 26
et
i^ — g = (;, — 5-i-lang2^9sin2(c', — 9)+^tang*f(psin4(^',~0) H-|tang8icp sin6(v,— 0) +...,
On voit ainsi que les deux séries précédentes se changent réciproquement l'une dans l'autre, en changeant le signe de tang^^cp et en changeant l'un dans l'autre les angles (^, — 9 et t^ — G. On aura v^ — ^ en fonction de sinus et de cosinus de nt et de ses multiples, en observant que l'on a, par ce qui précède,
V = nt ■+- e -i- eQ,
Q étant une fonction des sinus de l'angle nt -h e — cr et de ses multiples, et que la formule (i) du n^ 21 donne, quel que soit i,
s\ni{v — 6) =:sin/(n^H-e — ê-heQ) =- ( i— - -i — — ... i sin/(nM-£ — ê)
Enfin, s étant la tangente de la latitude de la planète au-dessus du plan
fixe, on a
s = lang^sin{v, — 9),
et, si l'on nomme r^ le rayon vecteur r projeté sur le plan fixe, on aura
on pourra donc ainsi déterminer r,, s et r, en séries convergentes de sinus et de cosinus de l'angle nt et de ses multiples.
23. Considérons présentement les orbites fort excentriques, telles que celles des comètes, et pour cela reprenons les équations du n° 20
i H- e cos V
langui' — \/ ^— — lang^M.
