PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

Dans le cas des orbites fort excentriques, e diffère très-peu de l'unité; nous supposerons ainsi i — e = a, a étant fort petit. Si l'on nomme D la distance périhélie de la comète, on aura D = a(i — e) -- %a; l'expression de r deviendra donc

2cos-^^' — acosv

cos^^t^ ( I H tang2^(;

ce qui donne, en réduisant en série,

--^\ I ?L tang2±p-f-(— ^^) lang^v— ... .

is^^t^ L 2 — a ^ ^ \2 — <xJ ^ J

cos-^

Pour avoir le rapport de v au temps t, nous observerons que l'expression de l'arc par la tangente donne

u = 2lang^M(i — ^lang2la -+- ^tang^a — . . .) ;

or on a

on aura donc

lang

langii^;

" = ' sJt^-o: ''"s^" [■ ~ 5 r^ «""S"" -*- 5

tangHt'-..];

on a ensuite

smw — ^ ."^^„" — 2lang|M(i — tang^^w + tang^^a

i-i- tang^^a

d'où l'on tire

esin

a=.2{i-a)4/^tang^c'[i-^^lang4(;-i-(^^^j lang'4i'-...j

En substituant ces valeurs de u et de esin m dans l'équation

nt=:u — csiriM,

on aura le temps t en fonction de l'anomalie v, par une suite très-con-

vergente; mais, avant que de faire cette substitution, nous observerons que l'on a, par le n° 20, w = a 2 y/^., et, comme D =-^ 'j.a, on aura

On trouvera, cela posé,

t— lang^

Si l'orbite est parabolique, a = o, et par conséquent

COS^^^f

VF

Le temps /, la distance D et la somme [a des masses du Soleil et de la comète sont des quantités hétérogènes qui, pour être comparables, doivent être divisées chacune par des unités de leur espèce. Nous supposerons donc que la moyenne distance du Soleil à la Terre est l'unité de distance, en sorte que D est exprimé en parties de cette distance. Nous observerons ensuite que, si l'on nomme T le temps d'une révolution sidérale de la Terre, que nous supposerons partir du périhélie, on aura, dans l'équation

n/ = a — e sin M,

M= G au commencement de la révolution, et m = 27u à la fin, % étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité; on aura donc nT=^ 2%;

mais on a w = a'^sf^. — y^, à cause de a = i; partant

La valeur de \i n'est pas exactement la même pour la Terre que pour